现在我们看看,这一变换是否符合我们一开始提 出的由模拟滤波器设计数字滤波器时,从S平面到Z平 面映射变换的二个基本要求: ①当z=e时,得: 21-e102 J TI+e o T 2)0+ 对单位圆,=0即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 s=O+ iQ2 IOT+J 2 T TQ 2 2 T QT TO nQ 2 2 σ<0时|=1>O时,z|>1
现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提 出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到Z平 ① 当 时，得： j z = e = + = + − = − − jtg j e T e T s j j 2 2 1 2 1 s = + j 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 , | | 2 2 1 2 2 1 + − + + = − − + + = T T T T z T j T T j T z 0 | z |1; 0时,| z |1 对单位圆 , = 0 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 时 ②
即s左半平面映射在单位圆内,s右半平面映射在单位圆外, 因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后,所得到的数字滤波 器也是稳定的。如图1 --------------1----4-“““- 图双线性变换的频率非线性关系
即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外， 因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波 器也是稳定的。如图1。 图 双线性变换的频率非线性关系
小结 1)与脉冲响应不变法相比,双线性变换的主要优点:S平 面与Z平面是单值的一一对应关系(靠频率的严重非线性关系得 到的),即整个j≌轴单值的对应于单位圆一周,关系式为: 2 可见,Q和g为非线性关系,如图2
小结 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得 到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周， 可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。 = 2 2 tg T
s2/ 1.0 Q2=tg(o) 0 .00/ 图2双线性变换的频率非线性关系 由图中看到,在零频率附近,g~o接近于线性关系,g进 步增加时,ω增长变得缓慢,Ω→>∞时,ω飨止于折叠 频率处),所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率 而混淆到低频部分去的现象
图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进 一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠 频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率 → 时, →
2)双线性变换缺点:Ω与0成非线性关系,导致: a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸 变,(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上 发生畸变)。 例如,一个模拟微分器,它的幅度与频率是直线关系, 但通过双线性变换后,就不可能得到数字微分器 H(_2)=k2+b H(e)=H(j2) ktv +6 b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后,得到的数字滤波器为 非线性相位 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的,故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器
2)双线性变换缺点： Ω与ω成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸 变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上 发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 H e H j ktg b H j k b t g j = = + = + = 2 ( ) ( ) ( ) 2 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为 非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器