第三章量子统计物理学基础·热力学和统计物理：热力学：从若于（宏观）经验定律出发，通过数学上的推导获得系统的宏观性质：统计物理：从单个微观粒子的力学运动规律出发，加上统计的假设，来描述宏观物理量的行为。宏观量是相应微观物理量的统计平均值。·经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子）力学规律。·平衡态统计物理和非平衡态统计物理：研究系统与时间无关的性质或系统的时间演化行为（如前两章我们已讲述的从现在开始我价们的讨论仅限于平衡态统计物理
第三章 量子统计物理学基础 • 热力学和统计物理： 热力学：从若干（宏观）经验定律出发，通过数学上的推导获得系统的宏观性质； 统计物理：从单个微观粒子的力学运动规律出发，加上统计的假设，来描述宏观物理量的 行为。宏观量是相应微观物理量的统计平均值。 • 经典统计物理和量子统计物理：粒子遵从经典（量子）力 学规律。 • 平衡态统计物理和非平衡态统计物理：研究系统与时间无 关的性质或系统的时间演化行为（如前两章我们已讲述的） 从现在开始我们的讨论仅限于平衡态统计物理
3.1经典统计系综先从经典统计出发：给定系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。对由N个粒子组成的系统，可记为q1,q2，..，qN;P1,P2，，PN）=（q,P)，其中（qi;Pi)为第i个粒子的坐标和动量。(,p)是6N维的相空间(空间)的一个代表点，称为相点，它代表系统的一个微观状态。代表点在厂空间的运动反映系统微观状态的演化系统的动力学函数或力学量：表征系统的状态，并能加以观测的量，它是q,p的函数，可记为b(q,p)。其中，表征系统能量的动力学函数H(,p)非常重要，称为哈密顿量(Hamiltonian)。系统的运动方程（哈密顿正则方程）aH(q,p)aH(q,p)where i=1,...,3N.qi=PiOpiqi任意力学量b(g,p)的运动方程3N0bbOHOHdb(q, p)=[b,H}dtOqnOpnOpnaqnn=上面后两式称为力学量b和H的泊松符号(Poissonbracket)
3.1 经典统计系综 先从经典统计出发： 给定系统的动力学状态可用系统的广义坐标q和与之共轭的广义动量p来确定。 对由N个粒子组成的系统，可记为 其 中 为第 i 个粒子的坐标和动量。(q, p)是6N维的相空间( Γ 空间)的一个 代表点，称为相点，它代表系统的一个微观状态。代表点在Γ 空间的运动反 映系统微观状态的演化。 系统的动力学函数或力学量：表征系统的状态，并能加以观测的量，它是q, p 的函数，可记为b(q, p)。其中，表征系统能量的动力学函数H(q, p)非常重要， 称为哈密顿量(Hamiltonian)。 系统的运动方程（哈密顿正则方程）： 任意力学量b(q, p)的运动方程: 上面后两式称为力学量b和H的泊松符号(Poisson bracket)
统计系综：统计物理认为系统的动力学状态遵从统计规律性（对比牛顿力学的确定性）。即在一定的宏观条件下，某一时刻系统以一定的概率处于某一状态或某种状态范围内。并假设，宏观量是相应微观量对系统可能处的所有动力学状态的统计平均值。如何获得统计平均值？大量的独立重复测量！统计系综：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一微观状态、并各自独立的系统的集合。系综在相空间里的儿何表示是无数多个相点的集合。密度函数D(q,p,t)：相点(q,p)附近单位相体积元内相点的数目。特别地，概率密度函数p(q,p,t)满足归一化条件（D=Np,N为总相点数）：p(p,q,t)dqdp=1.任意宏观量A(t）的测量值为：A(t) = / p(q,p,t) A(q,p,t) dqdp
统计系综： 统计物理认为系统的动力学状态遵从统计规律性（对比牛顿力学的确定性）。 即在一定的宏观条件下，某一时刻系统以一定的概率处于某一状态或某种状态 范围内。并假设，宏观量是相应微观量对系统可能处的所有动力学状态的统计 平均值。 如何获得统计平均值？ 大量的独立重复测量！ 统计系综：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一微观状态、 并各自独立的系统的集合。系综在相空间里的几何表示是无数多个相点的集合。 密度函数 D(q,p,t)：相点(q,p)附近单位相体积元内相点的数目。 特别地，概率密度函数 ρ(q,p,t) 满足归一化条件（D = Nρ, N 为总相点数）： 任意宏观量A(t)的测量值为：
刘维尔定理系综的概率密度函数在运动中不变，即dp/dt=0Opdtd2,在体积元dQ=dqdp里，经过时间dt后，代表点的增加为NOt而通过平面qi(对应的面积为dA=dq1...dqi-1dqi+1...dqfdp1...dpf)进入的代表点为NpqidtdA,通过平面qi+dqi走出的代表点为：O[oi ia a dd,N(pi):+dq: dtdA=N.8因此净进入的代表点数为：-N(pqi）dtd2,考虑所有qi.pi我们发现Oqiaadt=NdtdA(pqi)ppi)ataqiaiOpiQqi利用正则方程及其推论：=0.我们发现（刘维尔定理）：apiaqiapdpOpp0pN+(p,H)=0pqidtOtOtaqiOpi3
刘维尔定理 系综的概率密度函数在运动中不变，即 在体积元dΩ = dqdp里，经过时间dt后，代表点的增加为 而通过平面 (对应的面积为 )进入的代 表点为 通过平面 走出的代表点为： 因此净进入的代表点数为： 考虑所有 我们发现 利用正则方程及其推论： 我们发现（刘维尔定理）：
3.2量子统计系综由N个粒子组成的系统的状态用波函数来描写：亚(q1q2，..，qN，t)，时刻t在(q1,q2，...,QN）找到该N个粒子的概率为亚(q1，..,qN,t)/2.纯粹系综和混合系综：纯粹系综：每次测量，系统总是处于同一态），可以用单一态矢量（可能为叠加态）来描写：）=c亚），这里亚)是纯态态矢量。混合系综：每次测量，系统以一定的概率可处于多个态上。混合系综是由若于纯态混合来描写，即参加混合的态：[亚],[亚2],··,,·P1,P2,，，., Pi,，..且P=1各态混合的概率：几个例子：1.考虑位置空间x，找到粒子处于x的概率密度为：纯粹系综：W(α)=Kαd)/2=/ci(α亚i>2,各[亚)间有干涉。混合系综：W(α）=Pia亚i>12，各[亚）间没有干涉。2
3.2 量子统计系综 由N个粒子组成的系统的状态用波函数来描写： 时刻t 在 找到该N个粒子的概率为 纯粹系综和混合系综： 纯粹系综：每次测量，系统总是处于同一态 ，可以用单一态矢量（可 能为叠加态）来描写： 这里 是纯态态矢量。 混合系综：每次测量，系统以一定的概率可处于多个态上。混合系综是由 若干纯态混合来描写，即 参加混合的态： 各态混合的概率： P1, P2, , ., Pi, . 且 几个例子： 1. 考虑位置空间x，找到粒子处于x的概率密度为： 纯粹系综： 各 间有干涉。 混合系综： 各 间没有干涉