2.算符的系综平均值：考虑算符A，其平均值为：纯粹系综：《A)=(亚A|亚)，各|亚;)间有干涉。混合系综：《A）=P(亚A|亚）=PiAi，各|亚）间没有干涉。统计算符统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵形式称为密度矩阵。对混合系综，我们定义统计算符为：p=/亚)P;(亚.若[n）为完全正交归一的基矢（lpn）《pnl=1），我们有：《A)=P(/A|d)=ZP(lenpn/A|d;)nZZ(n/A|)P(;lon)=《pn/Aplon)=Tr(Ap)2nn
2. 算符的系综平均值： 考虑算符 ，其平均值为： 纯粹系综： 各 间有干涉。 混合系综： 各 间没有干涉。 统计算符 统计算符对应于经典统计物理里的概率密度函数，其在任意表象中的矩阵 形式称为密度矩阵。 对混合系综，我们定义统计算符为： 若 为完全正 交归一的基矢（ ），我们有：
特点：1.若亚是正交归一的态失量，则亚是统计算符的本征，这时密度矩阵为pii=Pioi2统计算符的求和中若只有一项i不为零，我们回到了纯粹系综。因此我们上面的定义对两种系综都成立。3.统计算符的迹为1，与表象无关。即：Trp=pnn=Z《pnlplon)=ZZ《on/;)P(;lon)=ZP(;/)=ZP,=11.统计算符平方的迹对混合系综小于1，对纯粹系综等于1。2．统计算符是厄密算符，故其本征值为实数。求统计算符的两个例子：见杨展如书第8-9页。系综的熵算符：熵算符的定义为S=-kBlnp,而系综的熵由此为：S=(S)= Tr(pS) =-kB P; ln Pi.2上式最后一个等式我们已取1>，亚2)，...，，...为P的正交归一的本征态天量。这称作vonNeumann
特点： 1. 若 是正交归一的态矢量，则 是统计算符的本征矢，这时密度 矩阵为 2. 统计算符的求和中若只有一项 i 不为零，我们回到了纯粹系综。因此我 们上面的定义对两种系综都成立。 3. 统计算符的迹为1，与表象无关。即： 1. 统计算符平方的迹对混合系综小于1，对纯粹系综等于1。 2. 统计算符是厄密算符，故其本征值为实数。 求统计算符的两个例子：见杨展如书第8-9页。 系综的熵算符：熵算符的定义为 而系综的熵由此为： 上式最后一个等式我们已取 为 的正交归一的本征 态矢量。这称作von Neumann熵
量子统计里的刘维尔定理我们可以采用两种绘景：薛定鄂绘景：态矢量显含时间，而算符不显含时间：海森堡绘景：态矢量不显含时间，而算符显含时间。用哪个？注意到β=/）P(亚il，我们采用薛定鄂绘景。此时：ip(t) =/更;(t)P;(更;(t)l.业;(t))=H亚;(t)，直为系统的哈密顿算符，可得由薛定鄂方程otop(t)[:() (;(0) + ;(), ((Zin=(-)iototatiop(t)1)=[,,所以iot这就是量子刘维尔方程，其中[H]为量子泊松符号
注意到 我们采用薛定鄂绘景。此时： 由薛定鄂方程 为系统的哈密顿算符，可得 所以 这就是量子刘维尔方程，其中 为量子泊松符号。 量子统计里的刘维尔定理 我们可以采用两种绘景： 薛定鄂绘景：态矢量显含时间，而算符不显含时间； 海森堡绘景：态矢量不显含时间，而算符显含时间。 用哪个？
1.刘维尔方程的形式解：我们可以定义演变算符：/亚;(t))=U(t)/亚;(O))，则p(t)=(t))p(0)+(t)代入到薛定鄂方程中我们得到au(t)H(t)(t)ihot若H不显含t，则U(t) = exph统计算符的形式解为：p(t)=exp(0)exh如用能量表象的完备正交矢展开，我们发现：pnm(t)=<pnlp(t)lm)=pnm(O)exp[-i(En-Em)t/h].2．统计平衡时（定态），统计算符不随时间变化，这时统计算符和系统的哈密顿算符对易。若无简并，则统计算符是哈密顿算符的任意函数：若有简并，统计算符是哈密顿算符和所有与哈密顿算符对易的算符的函数。反之，若统计算符是哈密顿算符的任意函数，则其不随时间变化！
1. 刘维尔方程的形式解： 我们可以定义演变算符： ，则 代入到薛定鄂方程中我们得到 若H不显含t，则 统计算符的形式解为： 如用能量表象的完备正交矢展开，我们发现： 2. 统计平衡时（定态），统计算符不随时间变化，这时统计算符和系统的哈密 顿算符对易。若无简并，则统计算符是哈密顿算符的任意函数；若有简并， 统计算符是哈密顿算符和所有与哈密顿算符对易的算符的函数。反之，若统 计算符是哈密顿算符的任意函数，则其不随时间变化！
3.3几种平衡态量子统计系综3.3.1微正则系综考虑一个由封闭的、能量孤立的系统组成的系综。系统体积为V，总粒子数为N。而能量有微小变化（在E到E+△E之间）。等概率假设：孤立系达到平衡态时，系统处于任一可能状态的概率相等。平衡时统计算符和哈密顿算符对易，因此在能量表象里pnm=Pnonm.若总状态数为2E），由等概率假设有1/2(E),E<En<E+△E.P0,others.任何一个物理量的平均值为：《A)=Tr(pA)特别地，系统的为：S= (S) = -kB Zn(E)-kB2(E)kBln2(E)2(E)2(E)2(E
3.3 几种平衡态量子统计系综 考虑一个由封闭的、能量孤立的系统组成的系综。系统体积为V，总粒子数 为N。而能量有微小变化（在E到E+ΔE之间）。 等概率假设:孤立系达到平衡态时，系统处于任一可能状态的概率相等。 平衡时统计算符和哈密顿算符对易，因此在能量表象里 若总状 态数为 Ω(E)，由等概率假设有 任何一个物理量的平均值为： 特别地，系统的熵为： 3.3.1 微正则系综