第一章1.当复合函数(fog)(x)=flg(x)的中间函数g(x)发生变化时，复合函数的图形也随之变形，试用计算机作出下列图形，并与y=sinx的图形比较之：(1)y=sinVx，显示区域为[0,400]×[-1.5,1.5];(2) y=sin x2,Ja(x)=sin x,f(x)=sin x在区间[0，400]比较sinx,sin，在区间[0，15]比较sinx,sinx2；在区间[-5，5]比较sin x, sin x?.程序如下：Clear["f*"]f1[x ]:=Sin[x]f2[x ]:=Sin[Sqrt[x]f3[x ]:=Sin[x^2]Plot[(f1[x],f2[x]),(x,0,400),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[(f2[x],f3[x)),(x,0,15),PlotRange->(-1.5,1.5]]Plot[(f1[x],f3[x]),(x,-5,5),PlotRange->(-1.5,1.5)]运动结果如图1-1、1-1、1-3所示：1.5r0.5-0.51-1.5图 1-11.510.50.511.5图 1-2
第一章 1.当复合函数 ( fog)(x) = f lg( x) 的中间函数 g(x) 发生变化时，复合函数的图形也随之 变形，试用计算机作出下列图形，并与 y = sin x 的图形比较之： （1） y = sin x ，显示区域为 [0,400][−1.5,1.5] ； （2） 2 y = sin x ， f (x) sin x 2 = ， 2 3 f (x) = sin x 在区间[0，400]比较 sin x,sin x ，在区间[0，15]比较 2 sin x,sin x ；在区间[-5，5]比较 2 sin x,sin x 。 程序如下： Clear["f*"] f1[x_]:=Sin[x] f2[x_]:=Sin[Sqrt[x]] f3[x_]:=Sin[x^2] Plot[{f1[x],f2[x]},{x,0,400},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[{f2[x],f3[x]},{x,0,15},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[{f1[x],f3[x]},{x,-5,5},PlotRange->{-1.5,1.5}] 运动结果如图 1-1、1-1、1-3 所示： 图 1-1 图 1-2
-1.5图 1-3其中：图1-1为sinx,sinx比较图，sinx比sinx振荡快图1-2为sinxsinx比较图，sinx?比sinx振荡快图1-3为sinx，sinx?比较图，sinx比sinx振荡快读者可以选择其它显示区域，运行之。2.利用计算机作函数的图形时必须注意选择好图形的显示区域，若选得不好，则显示的图形不能充分表示出所求作的图形的特点，甚至可能因机器误差产生变形，得出错误的图形，试用Mathematica在计算机上作下列图形：（1）y=x3-49x，显示区域分别取作：（1)[-10，10]×[-10，10]（II)[-10，10]×[-100，100]：（IⅡI）[-10，10]×[-200，200]，试对显示图形进行比较，哪一个能充分地反映所求的图形的特点？（2）y=sin50x，显示区域分别取作：（1）[-12，12]×[-1.5，1.5]（I）[-9，9]×[-1.5，1.5]：（IⅢI）[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]，试对显示图形进行比较，哪一个显示了真实的函数图形？解按题要求程序如上：Clear["f*"]f1[x ]:=x^3-49 xf2[x_:=Sin[50 x]Plot[f1[x], (x,-10,10],PlotRange->{-10,10]]Plot[f1[x], (x,-10,10),PlotRange->(-100,100)]Plot[f1[x], (x,-10,10],PlotRange->{-200,200]]Plot[f2[x], (x,-12,12),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[f2[x], (x,-9,9),PlotRange->(-1.5,1.5)]Plot[f2[x], (x,-0.25,0.25),PlotRange->(-1.5,1.5)]运行结果如图1-4~1-9共6个图形所示
图 1-3 其中： 图 1-1 为 sin x,sin x 比较图， sin x 比 sin x 振荡快 图 1-2 为 2 sin x,sin x 比较图， 2 sin x 比 sin x 振荡快 图 1-3 为 sin x ， 2 sin x 比较图， 2 sin x 比 sin x 振荡快 读者可以选择其它显示区域，运行之。 2.利用计算机作函数的图形时必须注意选择好图形的显示区域，若选得不好，则显示 的图形不能充分表示出所求作的图形的特点，甚至可能因机器误差产生变形，得出错误的 图形，试用 Mathematica 在计算机上作下列图形： （Ⅰ） y x 49x 3 = − ，显示区域分别取作：（1）[-10，10]×[-10，10] （Ⅱ）[-10，10]×[-100， 100]；（Ⅲ）[-10，10]×[-200，200]，试对显示图形进行比较，哪一个能充分地反映所求的 图形的特点？ （2） y = sin 50x ，显示区域分别取作：（Ⅰ）[-12，12]×[-1.5，1.5]；（Ⅱ）[-9，9]×[-1.5， 1.5]；（Ⅲ）[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]，试对显示图形进行比较，哪一个显示了真实的函数 图形？ 解 按题要求程序如上： Clear[“f*”] f1[x_]:=x^3-49 x f2[x_]:=Sin[50 x] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-10,10}] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-100,100}] Plot[f1[x],{x,-10,10},PlotRange->{-200,200}] Plot[f2[x],{x,-12,12},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[f2[x],{x,-9,9},PlotRange->{-1.5,1.5}] Plot[f2[x],{x,-0.25,0.25},PlotRange->{-1.5,1.5}] 运行结果如图 1-4~1-9 共 6 个图形所示
1017.52.5510-1052.5-5-7.5-10100755025-10-5510-25-50-75-10020015010050-10-551050-100-150-2001.5-10
1.11.51.5所以y=x3-49x，显示区域[-10，10]×[-200，200]最好；对于y=sin50x，显示区域[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]最好。3.利用Mathematica作出函数y=(1+1/x)*+1（1≤x≤100）的图形，观察当x→+0时y的变化趋势，并求出极限lim(1+1/x)*。解：程序如下：Clear["f*"]f[x 1:=(1+1/x)(1+x)Plot[f[x], (x,1,100]]Limit[f[x],x->Infinity]此程序运行后输出两个结果：4h3.83.63.43.2402060801002.8一个图形如图1-10所示，。二个结果为大写E，即数学常量e。tan4x4.（1）利用Mathematica作函数f(x)=的图形，并对图形与y轴的交点处作局x
所以 y x 49x 3 = − ，显示区域[-10，10]×[-200，200]最好； 对于 y = sin 50x ，显示区域[-0.25，0.25]×[-1.5，1.5]最好。 3.利用 Mathematica 作出函数 1 (1 1/ ) + = + x y x （1≤x≤100）的图形，观察当 x → + 时 y 的变化趋势，并求出极限 1 lim (1 1/ ) + →+ + x x x 。 解：程序如下： Clear[“f*”] f[x_]:=(1+1/x)^(1+x) Plot[f[x],{x,1,100}] Limit[f[x],x->Infinity] 此程序运行后输出两个结果： 一个图形如图 1-10 所示，一个结果为大写 E，即数学常量 e。 4.（1）利用 Mathematica 作函数 x x f x tan 4 ( ) = 的图形，并对图形与 y 轴的交点处作局
部放大，估计limf(x）。（2）利用Mathematica作函数g(x）=sin(元/x）的图形，选显示区域[-1，1]X[-1，1]，对坐标原点处作局部放大，观察x→0时，g(x)的变化情况。tan4x（1）分别让x在区间[-2，2]和（-0.1，0.1）作函数f(x)=的图形，程序如下：解xClear["*""g*"]f[x_]:=Tan[4 x]/xPlot[f[x], (x,-2,2)]Plot[f[x], (x,-0.1,0.1)]运行结果如图1-11和图1-12所示，即limf(x）=4。x-→a13020门1-10-204.24.154.14.050.10.050.050.1“的图形，程序如下：（2）分别让x在区间（-1，1）和（-0.1，0.1）作函数g(x)=sinxClear["f*", “"g*"]g[x ]:=S in[Pi/x]Plot[g[x], (x,-1,1),PlotRange->{-1,1)]Plot[g[x], (x,-0.1,0.1),PlotRange->(-1,1)]运行结果如图1-13和图1-14所示
部放大，估计 lim f (x) x→ 。 （2）利用 Mathematica 作函数 g(x) = sin( / x) 的图形，选显示区域[-1，1]×[-1，1]，对坐 标原点处作局部放大，观察 x →0 时， g(x) 的变化情况。 解 （1）分别让 x 在区间[-2，2]和（-0.1，0.1）作函数 x x f x tan 4 ( ) = 的图形，程序如下： Clear[“f*”,”g*”] f[x_]:=Tan[4 x]/x Plot[f[x],{x,-2,2}] Plot[f[x],{x,-0.1,0.1}] 运行结果如图 1-11 和图 1-12 所示，即 lim ( ) = 4 → f x x 。 （2）分别让 x 在区间（-1，1）和（-0.1，0.1）作函数 x g x ( ) = sin 的图形，程序如下： Clear[“f*”, “g*”] g[x_]:=Sin[Pi/x] Plot[g[x],{x,-1,1},PlotRange->{-1,1}] Plot[g[x],{x,-0.1,0.1},PlotRange->{-1,1}] 运行结果如图 1-13 和图 1-14 所示