第八章1.利用计算机作出下列二元函数的图形以及它们的等量线图：-3y(1) f(x, y) = -xye-r(2) f(x,y) =x2 + y2+1(3) f(x, J)=sin /x2 +y2解这三题作图方法一样，先定义函数，再作等量线图，所选区域不同。(1)键入Clear[f];f[x_,y_]:=-x y Exp[-x^2-y^2];ContourPlot[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1),ContourShading->False]等量线见图8-1.(2)源程序为Clear[f];f[x_,y_]:=-3 y/(x^2+y^2+1)ContourPlot[f[x,y],(x,-10,10),(y,-5,5),ContourShading->False,Contours->20]等量线见图8-2.(3）源程序为Clear[f]; f[x_y_ ]:=Sin[(x^2+y^2)(1/2)]ContourPlot[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1),ContourShading->False]等量线见图8-3.0.50.5图8-1图8-2图8-321.设f(x,)=x2+xy3-2y2，求出f，J,JyJ和,并用计算机作出这5个函数的图形，从图上观察偏导数的几何解释解计算f，f,f,fy,fu和fw，源程序为Clear["*",x,y];f[x_,y_]:=x±2+x2 y^3-2 y^2fx[x_,y_ J-D[f[x,y],x];fy[x_,y ]=D[f[x,y],y];fxx[x_,y_J=D[fx[x,y],x];fxy[x_,y_]=D[fx[x,y],y];fyy[x_y_]-D[f[x,y],(y,2];定义函数前，首先要清除已定义的函数，否则无法重新定义函数．f(x,J)的作图程序为Plot3D[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1)]
第八章 1. 利用计算机作出下列二元函数的图形以及它们的等量线图： (1) 2 2 ( , ) x y f x y xye − − = − ; (2) 1 3 ( , ) 2 2 + + − = x y y f x y ; (3) 2 2 f (x, y) = sin x + y . 解 这三题作图方法一样，先定义函数，再作等量线图，所选区域不同． (1)键入 Clear[f];f[x_,y_]:=-x y Exp[-x^2-y^2]; ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourShading->False] 等量线见图 8-1． (2) 源程序为 Clear[f];f[x_,y_]:=-3 y/(x^2+y^2+1) ContourPlot[f[x,y],{x,-10,10},{y,-5,5},ContourShading->False,Contours->20] 等量线见图 8-2． (3) 源程序为 Clear[f]; f[x_,y_]:=Sin[(x^2+y^2)^(1/2)] ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourShading->False] 等量线见图 8-3． 图 8-1 图 8-2 图 8-3 21.设 2 2 3 2 f (x, y) = x + x y − 2y ，求出 x y xy xx f , f , f , f 和 yy f 并用计算机作出这 5 个函数的 图形，从图上观察偏导数的几何解释． 解 计算 x y xy xx f , f , f , f , f 和 yy f ，源程序为 Clear[“f*”,x,y]; f[x_,y_]:=x^2+x^2 y^3-2 y^2 fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; fxx[x_,y_]=D[fx[x,y],x]; fxy[x_,y_]=D[fx[x,y],y]; fyy[x_,y_]=D[f[x,y],{y,2}]; 定义函数前，首先要清除已定义的函数，否则无法重新定义函数． f (x, y) 的作图程序为 Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]
其它函数的作图程序相似，f，f,f,,f和f,的图形见图8-4一8-9图8-4图8-5图8-5图8-6图8-7图8-9偏导数]()为交线[=*+-2产在(g)点沿本轴方向的切线斜率y=yo2.在同一屏幕上显示下列曲面、曲面在指定点处的切平面和法线，注意选取恰当的视角以清楚地显示这些图形：(1) = = 2x2 +y2,点(1,1,3),(2)xyz=6,点(1,2,3);(3)z=x3 +2xy,点(1,2,5)解（1）先定义函数及其一阶偏导数，键入Clear["f*",“"x*", “"y*", "z*", “"s*"]f[x_y_]:=2 x^2+y^2;fx[x_,y_]=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]-D[f[x,y],y];求切平面如下x0=1; y0=1; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_J=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0),显示曲面及指定点处的切平面和法线程序s1=Plot3D[f[x,y], (x,-1,2),(y,-1,2),PlotRange->(0,10]]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,-1,2),(y,-1,2)]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.5,0.5)]叠加图程序Show[sl,s2,s3]叠加图见图8-10（2）与（1）的方法一样，源程序为Clear["f*",“"x*",“y*"“"z*"“"g*
其它函数的作图程序相似， x y xy xx f , f , f , f , f 和 yy f 的图形见图 8-4—8-9 图 8-4 图 8-5 图 8-5 图 8-6 图 8-7 图 8-9 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 为交线 = = + − 0 2 2 3 2 2 y y z x x y y 在 ( , ) 0 0 x y 点沿 x 轴方向的切线斜率． 2. 在同一屏幕上显示下列曲面、曲面在指定点处的切平面和法线，注意选取恰当的视 角以清楚地显示这些图形： (1) 2 2 z = 2x + y ,点(1,1,3); (2)xyz=6,点(1,2,3)； (3) z x 2xy 3 = + ,点(1，2，5). 解 (1) 先定义函数及其一阶偏导数，键入 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”] f[x_,y_]:=2 x^2+y^2; fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; 求切平面如下 x0=1; y0=1; z0=f[x0,y0]; fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); 显示曲面及指定点处的切平面和法线程序 s1=Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2},PlotRange->{0,10}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.5,0.5}] 叠加图程序 Show[s1,s2,s3] 叠加图见图 8-10 （2）与（1）的方法一样，源程序为 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”]
x0=1;y0=2;f[x_y_ 1:=6/(xy);fx[x_,y_J=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]=D[f[x,y],y];z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0);s1=Plot3D[f[x,yl,(x,0.1,3),(y,0.1,3),PlotRange->(1,4)]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,0.1,3),(y,0.1,3]]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.6,0.6)]Show[s1,s2,s3]输出见图8-11.（3）源程序为Clear["*", “x*", "y*", “z*",“"s*"]x0=1;y0=2; f[x_y_]:=x^3+2 xy;fx[x_y_]=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]=D[f[x,y],y];z0=f[x0,y0];fq[x_,y_=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0);s1=Plot3D[f[x,y], (x,0,4),(y,1,3)]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,0,4),(y,1,3]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.2,0.2)]Show[sl,s2,s3]输出见图8-12.20图8-11图8-12图8-10
x0=1;y0=2;f[x_,y_]:=6/(x y); fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); s1=Plot3D[f[x,y],{x,0.1,3},{y,0.1,3},PlotRange->{1,4}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,0.1,3},{y,0.1,3}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.6,0.6}] Show[s1,s2,s3] 输出见图 8-11. （3）源程序为 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”] x0=1;y0=2; f[x_,y_]:=x^3+2 x y; fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); s1=Plot3D[f[x,y],{x,0,4},{y,1,3}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,0,4},{y,1,3}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.2,0.2}] Show[s1,s2,s3] 输出见图 8-12． 图 8-10 图 8-11 图 8-12
第九章1.利用Mathematica求二重积分[ydo的近似值，其中D为由曲线y=1-x?和y=e所D围成的区域（先利用计算机画出积分区域D，估计出边界交点坐标）解先画出积分区域D，Mathematica程序为Plot[(1-x/2,EAx),(x,-1,1)]输出见图9-11.51.250.750.50.250.50.5图 9-1显然y=1-x?和y=e有一交点(0,1)，解方程1-x=e，可求另一交点设为x=a，则 [ do = [dLdyMathematica程序键入：Clear["a*"]a=x/.FindRoot[1-x^2==Exp[x],(x,- 9) ];NIntegrate[y^2, (y,Exp[a],1),(x,-(1-y)(1/2),Log[y])]结果[ydg~0.051212D2.利用Mathematica求出三重积分[,dy/。dx(xy+zsin4y)dz解Mathematica程序Clear[x,y,z];NIntegrate[x2 y+z Sin[4y], (y,0,1),(x,0,Exply]),(z,x,y^2)]J,dyf。dxf, (x*y+zsin 4y)dz ~-1.6904结果：3.利用Mathematica计算顶点为(0,0,0)，（1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)的四面体的重心坐标，该四面体的体密度为p(x,y,)=x2+y+=解四面体由平面x=0,y=0,z=0和三+兰+号=1围成，根据重心公式，计算如下：1+2+3Clear[x,y,z,"w*"];w=Integrate[x^2+y^2+z^2,(x,0,1),(y,0,2-2*x),(z,0,3-3*x-3*y/2)];wx=Integrate[x(x^2+y^2+z/2),(x,0,1),(y,0,2-2*x),(z,0,3-3*x-3*y/2)]wy=Integrate[y(x^2+y^2+z/2),(x,0,1), (y,0,2-2 x),(z,0,3-3 x-3 y/2)];wz-lntegrate[z(x^2+y^2+z/2),(x,0,1),(y,0,2-2x),(z,0,3-3x-3y/2)];x=wx/w,y=wy/w,z=wz/w,Print[x]; Print[y]; Print[z];
第九章 1.利用 Mathematica 求二重积分 D y d 2 的近似值，其中 D 为由曲线 2 y =1− x 和 x y = e 所 围成的区域（先利用计算机画出积分区域 D，估计出边界交点坐标）. 解 先画出积分区域 D， Mathematica 程序为 Plot[{1-x^2,E^x},{x,-1,1}] 输出见图 9-1 图 9-1 显然 2 y =1− x 和 x y = e 有一交点(0,1)，解方程 x − x = e 2 1 ，可求另一交点设为 x = a， 则 − − = y e y D y d dy y dx a ln 1 2 1 2 Mathematica 程序键入： Clear[“a*”] a=x/.FindRoot[1-x^2==Exp[x],{x,- 9}]; NIntegrate[y^2,{y,Exp[a],1},{x,-(1-y)^(1/2),Log[y]}] 结果 D y d 2 ≈0.051212. 2. 利用 Mathematica 求出三重积分 + 2 ( sin 4 ) 2 0 1 0 y x e dy dx x y z y dz y . 解 Mathematica 程序 Clear[x,y,z]; NIntegrate[x^2 y+z Sin[4 y],{y,0,1},{x,0,Exp[y]},{z,x,y^2}] 结果： + 2 ( sin 4 ) 2 0 1 0 y x e dy dx x y z y dz y ≈-1.6904 3. 利用 Mathematica 计算顶点为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)的四面体的重心坐标， 该四面体的体密度为 2 2 2 (x, y,z) = x + y + z . 解 四面体由平面 x=0,y=0,z=0 和 1 1 2 3 + + = x y z 围成，根据重心公式，计算如下： Clear[x,y,z,"w*"]; w=Integrate[x^2+y^2+z^2,{x,0,1},{y,0,2-2*x},{z,0,3-3*x-3*y/2}]; wx=Integrate[x(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2*x},{z,0,3-3*x-3*y/2}]; wy=Integrate[y(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2 x},{z,0,3-3 x-3 y/2}]; wz=Integrate[z(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2 x},{z,0,3-3 x-3 y/2}]; x=wx/w;y=wy/w;z=wz/w;Print[x]; Print[y]; Print[z];
4118重心（21217第十章1.莫比乌斯(Mobius)带是一种所谓的单侧曲面，这种曲面的特点形象地说，就是置于曲面上的一只小虫可以不越过曲面的边界而爬到它所在位置的背面，对于这种曲面，就不能定向，也不能讨论通过曲面一侧流到另一侧的流量，因而不能在这类曲面上定义第二类曲面积，其中分，莫比乌斯带的参数方程是：x=r(t,v),y=r(t,v)sint,z=bvsin2r(t,v)=a+bvcos=,a、b为常数，tE[0,2π],vE[-1,1]，试用计算机作出这个曲面的图形，2并观察图形的特点.解取a=2，b=1利用参数方程作图源程序为如下：Clear[r,a,b]a=2;b=1;r[t_,v_]:=a+bvCos[t/2];ParametricPlot3D[(r[t,v]Cos[t],r[t,v]Sin[t],b v Sin[t/2]),(t,02 Pi),(v,-1,1),PlotPoints->20]得图形见图10-1，分别取的（a,b）为（-2，1）（2，4）（2，6）（0，1）（2，100）图形如图10-2—10-6.图10-1图10-2图10-3图10-4图10-5图10-62.（1）使用斯托克斯公式计算曲线积分F.dr，其中：F(x,y,=)=xzi+xy"j+2k，r为平面x+y+z-1和柱面x2+y?=9的交线，若从z轴正向看去，r取逆时针方向；（2）利用计算机画出（1）中的平面和柱面，请仔细选择作图范围以清楚显示交线及（1）中所用积分曲面；
重心 ) 7 8 , 21 11 , 21 4 ( 第十章 1. 莫比乌斯(Mobius)带是一种所谓的单侧曲面，这种曲面的特点形象地说，就是置于曲 面上的一只小虫可以不越过曲面的边界而爬到它所在位置的背面，对于这种曲面，就不能定 向，也不能讨论通过曲面一侧流到另一侧的流量，因而不能在这类曲面上定义第二类曲面积 分 ， 莫 比 乌 斯 带 的 参 数 方 程 是 ： 2 ( , ), ( , )sin , sin t x = r t v y = r t v t z = bv , 其 中 2 ( , ) cos t r t v = a + bv ,a、b 为常数，t∈[0,2π],v∈[-1,1]，试用计算机作出这个曲面的图形， 并观察图形的特点． 解 取 a=2 ，b=1 利用参数方程作图源程序为如下： Clear[r,a,b] a=2;b=1;r[t_,v_]:=a+b v Cos[t/2]; ParametricPlot3D[{r[t,v]Cos[t],r[t,v]Sin[t],b v Sin[t/2]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->20] 得图形见图 10-1，分别取的（a,b）为（-2，1）（2，4）（2，6）（0，1）（2，100）图形如图 10-2—10-6． 图 10-1 图 10-2 图 10-3 图 10-4 图 10-5 图 10-6 2. （1）使用斯托克斯公式计算曲线积分 F d r ，其中： F i j k 2 2 2 (x, y,z) = x z + xy + z ， Γ为平面 x+y+z=1 和柱面 9 2 2 x + y = 的交线，若从 z 轴正向看去，Γ取逆时针方向； （2）利用计算机画出（1）中的平面和柱面，请仔细选择作图范围以清楚显示交线Γ及 （1）中所用积分曲面；