双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析

D01:10.13374j.isml00103x.2006.06.014 第28卷第6期 北京科技大学学报 Vol.28 Na 6 2006年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jum.2006 双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲 应力的有限元分析 肖望强李威李梅 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要推导出双压力角非对称渐开线齿轮系统全齿廓方程，以及在单，双齿啮合上、下界点处坐 标和载荷角的计算公式，编制了相应的参数化程序.对实例的有限元分析表明非对称渐开线齿轮 的齿根弯曲强度比对称齿轮有较大提高.计算结果揭示了由于时变啮合刚度的影响齿根弯曲应力 在一个啮合周期的变化规律 关键词非对称齿轮：齿廓：齿根弯曲应力：时变啮合刚度：有限元分析 分类号TH132413 渐开线圆柱齿轮的承载能力主要依赖于分度 圆压力角.轮齿齿面压力角的增加增大了工作和 非工作齿侧曲率半径，降低了赫兹接触应力，增大 了齿面的中心油膜厚度，使得齿根变厚，这与航空 d2 齿轮通常选择大压力角的设计趋势是相吻合的. -d2 基于这种思想设计了双压力角非对称渐开线圆柱 ∠d2 直齿轮并进行了一些研究工作.Litvin刂和 图1非对称齿轮渐开线齿廓坐标系 Kapelevich在20O0年提出了非对称齿轮的设计 Fig I Involute profile coordinate system with usymmetric teeth 方法并对非对称齿轮降低噪音和振动作了分析. Deng和Nakanish到在2003年探讨了应用非对 在非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿廓上 称齿轮能提高齿根弯曲应力，但没有对由于刚度 任意取一点M,经推导，非对称渐开线圆柱直齿 影响非对称齿轮在不同啮合位置的齿根应力变化 轮工作齿侧曲线方程为： 进行研究.本文首先建立非对称齿轮系统的工作 XM mz cosad 齿侧与非工作齿侧齿廓和齿根过渡曲线方程并 2cosaMd 推导出在单齿啮合上、下界点，双齿啮合上、下界 sin(tan a-ad) cos(tama△ac△d] 点和节点的坐标和载荷角计算公式，用MATLAB cos(tan a4y一c4d sin(tanaA-) 编制了一套参数化程序，最后应用有限元分析软 cos(tanamd-amd) 件ANSYS进行了计算分析9. (1) sin(tan aMd-amd) 1 齿廓和齿根过渡曲线方程 式中，XM,YM为非对称齿轮工作齿侧任意点横 11齿廓曲线方程 坐标、纵坐标：m为非对称齿轮模数：z为非对称 齿轮齿数：是非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿 非对称渐开线齿廓是由不同直径的基圆展成 的渐开线所组成.首先以齿轮中心O为坐标原 侧分度圆压力角；Q1是非对称齿轮工作齿侧齿尖 点，以齿顶变尖点F与O的连线作为纵坐标建 角：aM为非对称齿轮工作齿侧在任意点M的齿 立如图1所示的直角坐标系. 形角. 由于非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧的齿 收稿日期：2005-07-11修回日期：3005-09-14 顶高相同，所以非对称系数为： 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50575021) 作者简介：肖望强(1981一)，男，博士研究生；李威(1967一)，男， k=dis=cosaac cosae (2) 教授，博士 dbd cosaAd cosad

双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲 应力的有限元分析 肖望强 李 威 李 梅 北京科技大学机械工程学院, 北京 100083 摘 要 推导出双压力角非对称渐开线齿轮系统全齿廓方程, 以及在单、双齿啮合上、下界点处坐 标和载荷角的计算公式, 编制了相应的参数化程序.对实例的有限元分析表明非对称渐开线齿轮 的齿根弯曲强度比对称齿轮有较大提高.计算结果揭示了由于时变啮合刚度的影响齿根弯曲应力 在一个啮合周期的变化规律. 关键词 非对称齿轮;齿廓;齿根弯曲应力;时变啮合刚度;有限元分析 分类号 TH 132.413 收稿日期:2005 07 11 修回日期:2005 09 14 基金项目:国家自然科学基金资助项目( No .50575021) 作者简介:肖望强( 1981—) , 男, 博士研究生;李威( 1967—) , 男, 教授, 博士 渐开线圆柱齿轮的承载能力主要依赖于分度 圆压力角 .轮齿齿面压力角的增加增大了工作和 非工作齿侧曲率半径, 降低了赫兹接触应力, 增大 了齿面的中心油膜厚度, 使得齿根变厚, 这与航空 齿轮通常选择大压力角的设计趋势是相吻合的. 基于这种思想设计了双压力角非对称渐开线圆柱 直齿轮 并进 行了一 些研 究工 作.Litvin [ 1] 和 Kapelevich 在 2000 年提出了非对称齿轮的设计 方法并对非对称齿轮降低噪音和振动作了分析. Deng 和 Nakanishi [ 3] 在 2003 年探讨了应用非对 称齿轮能提高齿根弯曲应力, 但没有对由于刚度 影响非对称齿轮在不同啮合位置的齿根应力变化 进行研究 .本文首先建立非对称齿轮系统的工作 齿侧与非工作齿侧齿廓和齿根过渡曲线方程, 并 推导出在单齿啮合上 、下界点, 双齿啮合上 、下界 点和节点的坐标和载荷角计算公式, 用 MATLAB 编制了一套参数化程序, 最后应用有限元分析软 件ANSYS 进行了计算分析[ 4] . 1 齿廓和齿根过渡曲线方程 1.1 齿廓曲线方程 非对称渐开线齿廓是由不同直径的基圆展成 的渐开线所组成 .首先以齿轮中心 O 为坐标原 点, 以齿顶变尖点 F 与O 的连线作为纵坐标, 建 立如图 1 所示的直角坐标系[ 5] . 图 1 非对称齿轮渐开线齿廓坐标系 Fig.1 Involute profile coordinate system with unsymmetric teeth 在非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿廓上 任意取一点 M, 经推导, 非对称渐开线圆柱直齿 轮工作齿侧曲线方程为: X M Y M = mz cosαd 2cosαM d · -sin(tan αΔd -αΔd) cos(tan αΔd-αΔd) cos(tan αΔd -αΔd) sin( tanαΔd -αΔd) · cos(tanαM d -αM d ) sin( tan αMd -αMd) ( 1) 式中, X M , Y M 为非对称齿轮工作齿侧任意点横 坐标 、纵坐标;m 为非对称齿轮模数;z 为非对称 齿轮齿数;αd 是非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿 侧分度圆压力角;αΔd是非对称齿轮工作齿侧齿尖 角;αM d为非对称齿轮工作齿侧在任意点 M 的齿 形角 . 由于非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧的齿 顶高相同, 所以非对称系数为 : k = d bc dbd = cosαΔc cosαΔd = cosαc cosαd ( 2) 第 28 卷 第 6 期 2006 年 6 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.6 Jun.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.06.014

Vol.28 No.6 肖望强等：双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 571。 式中，dd是非对称齿轮工作齿侧基圆直径，dbe是 与齿轮的加工节圆相切纯滚.如图2所示，过渡 非对称齿轮非工作齿侧基圆直径，是非对称齿 曲线部分由刀具的圆角部分切出，P是节点，m 轮非工作齿侧分度圆压力角，a。是非工作齿侧齿 是刀具圆角与非对称渐开线齿轮工作齿侧过渡曲 尖角. 线接触点的公法线，a(i=d,c)是nn与刀具加工 在一对非对称渐开线圆柱直齿轮啮合过程 节线间的夹角.加工过程中，刀具圆角将描出延 中，应避免过渡曲线干涉，即避免一个齿轮的齿顶 伸渐开线，所以齿轮的过渡曲线是延伸渐开线的 与另一个齿轮齿根的非渐开线部分啮合.用齿条 等距曲线.本文采用的齿条形刀具齿廓的顶部只 形刀具加工非对称渐开线齿轮时，设其工作齿廓 有一个圆角，加工出的过渡曲线为一整段延伸渐 上渐开线与非渐开线的连接点为A1,则A1点压 开线的等距曲线可.若选取OXY坐标系如图2 力角为： 所示，则非对称齿轮工作齿侧任意一点U(x,y) a1=arctan[tanad4(hai-xm )/mz sin2aa)] 的延伸渐开线等距曲线方程为： (3) 式中，h为非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿 顶高系数，x为非对称齿轮变位系数.故在式(1) 中，变量aMa取值范围为aA1≤aMdCad,cad为非 对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿顶圆压力角. 线 刀具加1节线 在非对称渐开线圆柱直齿轮非工作齿侧齿廓 2 齿轮加I节圆 上任意取一点N,同理可推出非对称渐开线圆柱 直齿轮非工作齿侧曲线方程为： XN 图2非对称齿轮过渡曲线坐标系 mzC0sCe。 2cos aNe Fig 2 Transition curve coordimate system with unsymmetric teeth sin(tanae-a) 一cos(tana4.-&4J XU -sin P cos ad-Pa) _cos(t an aAe-a sin(tan aAe-a cos Pd -sin(ad-pa) cos(tan aNe-aN mz/2 (4) (8) sin(tanaNe-aNe +(a-xm)/sin(ad) 式中，Xw,Yw为非对称齿轮非工作齿侧任意点 式(8)中，XU,Yu为非对称齿轮工作齿侧过渡曲 横坐标、纵坐标.设非工作齿廓上渐开线与非渐 线任意点横坐标、纵坐标 开线的连接点为B1;则在(4)式中，非对称齿轮非 工作齿侧在任意点N的齿形角aw取值范围为 mal(a-xm)egaiausina 9a= 2「 cosad g1≤cw≤ac,&c为非对称渐开线圆柱直齿轮非 (9) a,Pa可由下面两个式子求得： 工作齿侧齿顶圆压力角.其中B1点压力角为： ag1=arctan[tan ae-4(hac-xm)/(mz sin2a)] (mo (10 (5) 式中，hc为非对称渐开线圆柱直齿轮非工作齿侧 m(hed )(tanoa tana,)m/2 tanaa十tan ae-seca一sec de 齿顶高系数 (1) aNe=arccos(kcosaMa) (6) 式中，c为非对称齿轮工作齿侧径向间隙系数. 由于式(6)是超越方程，无法直接求解，故通 在式(8)中，ad是变参数a在a~90°范围内变 过编制程序逐点搜寻满足方程(7)的aM即为 化. a4d继而可以求得a4e 在非对称齿轮非工作齿侧齿根过渡曲线上任 tan-cd十tane-ce- 取一点'，同理可推出非对称齿轮非工作齿侧任 意一点V的延伸渐开线等距曲线方程为： (tan aMd-aMa十tanaNe-cwd=π/z (7) 1.2齿根过渡曲线方程 X7「sin9。-cos(a-9. 用齿条型刀具加工齿轮，使刀具的加工节线 YrLcos9。-sinag-pe

式中, dbd是非对称齿轮工作齿侧基圆直径, dbc是 非对称齿轮非工作齿侧基圆直径, αc 是非对称齿 轮非工作齿侧分度圆压力角, αΔc是非工作齿侧齿 尖角 . 在一对非对称渐开线圆柱直齿轮啮合过程 中, 应避免过渡曲线干涉, 即避免一个齿轮的齿顶 与另一个齿轮齿根的非渐开线部分啮合 .用齿条 形刀具加工非对称渐开线齿轮时, 设其工作齿廓 上渐开线与非渐开线的连接点为 A 1, 则 A 1 点压 力角为: αA1 =arctan[ tanαd-4( h ＊ ad -xm )/ ( mzsin2αd)] ( 3) 式中, h ＊ ad为非对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿 顶高系数, x 为非对称齿轮变位系数 .故在式( 1) 中, 变量 αMd取值范围为 αA1 ≤αM d ≤αad, αad为非 对称渐开线圆柱直齿轮工作齿侧齿顶圆压力角. 在非对称渐开线圆柱直齿轮非工作齿侧齿廓 上任意取一点 N , 同理可推出非对称渐开线圆柱 直齿轮非工作齿侧曲线方程为 : X N Y N = mz cosαc 2cos αN c · sin( tanαΔc -αΔc ) -cos( tanαΔc -αΔc ) cos( tan αΔc -αΔc ) sin( tan αΔc -αΔc ) · cos( tan αNc -αN c ) sin( tanαN c -αNc ) ( 4) 式中, X N , Y N 为非对称齿轮非工作齿侧任意点 横坐标、纵坐标.设非工作齿廓上渐开线与非渐 开线的连接点为 B 1 ;则在( 4) 式中, 非对称齿轮非 工作齿侧在任意点 N 的齿形角 αNc取值范围为 αB1 ≤αNc ≤αac , αac为非对称渐开线圆柱直齿轮非 工作齿侧齿顶圆压力角.其中 B 1 点压力角为 : αB1 =arctan[ tan αc -4( h ＊ ac -xm) / ( mzsin2 αc)] ( 5) 式中, h ＊ ac为非对称渐开线圆柱直齿轮非工作齿侧 齿顶高系数. αNc =arccos( k cosαMd) ( 6) 由于式( 6)是超越方程, 无法直接求解, 故通 过编制程序逐点搜寻满足方程( 7) 的 αMd 即为 αΔd , 继而可以求得 αΔc . tan αd -αd +tan αc -αc - (tan αMd -αMd +tanαN c -αN c ) =π/ z ( 7) 1.2 齿根过渡曲线方程 用齿条型刀具加工齿轮, 使刀具的加工节线 与齿轮的加工节圆相切纯滚.如图 2 所示, 过渡 曲线部分由刀具的圆角部分切出, P 是节点, nn 是刀具圆角与非对称渐开线齿轮工作齿侧过渡曲 线接触点的公法线, α′i( i =d, c)是nn 与刀具加工 节线间的夹角.加工过程中, 刀具圆角将描出延 伸渐开线, 所以齿轮的过渡曲线是延伸渐开线的 等距曲线 .本文采用的齿条形刀具齿廓的顶部只 有一个圆角, 加工出的过渡曲线为一整段延伸渐 开线的等距曲线[ 6] .若选取 OXY 坐标系如图 2 所示, 则非对称齿轮工作齿侧任意一点 U ( x , y ) 的延伸渐开线等距曲线方程为 : 图 2 非对称齿轮过渡曲线坐标系 Fig.2 Transition curve coordinate system with unsymmetric teeth XU Y U = -sin φd cos( α′d -φd) cos φd -sin( α′d -φd) · mz/2 ρa +( a1 -xm) / sin( α′d ) ( 8) 式( 8) 中, X U, Y U 为非对称齿轮工作齿侧过渡曲 线任意点横坐标、纵坐标 . φd = 2 mz ( a1 -xm) ctg α′d + 2( ρa +a1sin αd) cosαd ( 9) a1, ρa 可由下面两个式子求得 : a1 = πmk cosαd -2ρa( 1 +k ) 2k (tan αd +tan αc) cosαd ( 10) ρa = m( h ＊ ad +c ＊ d )(tan αd +tanαc ) -πm/2 tanαd +tan αc -secαd -secαc ( 11) 式中, c ＊ d 为非对称齿轮工作齿侧径向间隙系数. 在式( 8)中, α′d 是变参数, α′d 在 αd ～ 90°范围内变 化. 在非对称齿轮非工作齿侧齿根过渡曲线上任 取一点 V, 同理可推出非对称齿轮非工作齿侧任 意一点 V 的延伸渐开线等距曲线方程为: X V Y V = sin φc -cos( α′c -φc) cos φc -sin( α′c -φc ) · Vol.28 No.6 肖望强等:双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 · 571 ·

。572 北京科技大学学报 2006年第6期 mz/2 结果输入到ANSYS前处理模块中，产生齿轮的 +(a-xm)/sin(a) (12) 几何模型. 在式(12)中，Xg,Y,为非对称齿轮非工作齿侧 22约束条件和边界处理 过渡曲线任意点横坐标、纵坐标， 当轮齿受力时，齿轮体不可能是绝对刚性，与 mz (a-xm)aga2asina 2「 轮齿相连部分也有变形，当离齿根的深度大于或 cos a 等于模数的4.5倍时基本上不再受影响，可以近 (13) 似看作该处的实际位移为零.另外，两侧齿间中 a1,Pa可由式(10)，(11)求得，在式(12)中，a。是 点处的位移很小，也可以认为该处的实际位移为 变参数a在a。~90范围内变化. 零.这样即可划定其零位移约束边界。若模数为 m,即横向宽取5m,纵深方向距齿根圆弧最低点 2 有限元模型 取45m. 2.1几何模型 23有限元模型的网格化 根据双压力角非对称齿轮两侧的齿廓渐开线 在有限元计算模型中，选择具有8个节点24 方程以及齿根过渡曲线方程，用MATLAB语言 个自由度的四边形单元.由于齿轮在受力时，轮 编制了生成非对称渐开线齿轮齿廓的计算机程 齿应力在齿根过渡曲线和靠近齿面处变化梯度较 序.此程序不但能生成非对称渐开线齿轮的齿廓 大，而在齿顶附近和离齿根深度大于等于模数的 曲线，而且还能生成对称渐开线齿轮的齿廓曲线。 3.5倍时变化梯度较小，所以网格的划分分5个 该程序适用于任何模数、齿数、压力角的对称与非 层次.在离齿根深度为模数的05倍以内并且离 对称渐开线圆柱直齿轮.该程序将基本参数存放 齿轮中线距离为模数的2~25倍时，单元划分的 在一个数据文件之中，便于修改以生成满足不同 最粗：其次在离齿根深度为模数的0.5~3.5倍 需要的齿轮齿廓.本文选用的非对称渐开线齿轮 时，把单元细化1倍，在齿顶与节线之间的部分单 和标准渐开线齿轮的数据见表1. 元再细化1倍：在齿根过渡曲线靠近齿面处和中 表1双压力角非对称齿轮和标准渐开线齿轮几何参数 间部分分别再细化单元.这样的划分更符合齿轮 Table 1 Geometric parameters of unsymmetric and symmetric in- 受载时的真实情况.非对称模型共有单元7668 volute gear 个，节点23159个；对称模型共有单元6402个， 齿轮类型m/mm:a/心) ha 节点19451个.根据表1所建立的非对称与对称 非对称齿轮3.52330/201.0W0950.25/0.3 齿轮模型如图3 对称齿轮 3.523 20 1.0 025 3特殊啮合点的载荷角和坐标计算 注：非对称齿轮的工作齿侧与非工作齿侧的压力角分别为30和 20°，非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧齿顶高系数分别为1.0 公式 和095.非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧径向间隙系数分别 由于常用的直齿圆柱齿轮传动的重合度系数 为025和03. 在一般情况下处于1~2间，因此会出现单、双齿 当输入初始参数运算完毕后，将得到的坐标 交替啮合，齿轮危险截面上应力的大小与啮合位 AN N b 图3非对称齿轮与对称齿轮有限元模型.()非对称齿轮模型：(b)对称齿轮模型 Fig.3 FEM model of unsymmetric and symmetric gears:(a)unsymmetric gear;(b)symmetric gear

mz/2 ρa +( a1 -xm)/ sin( α′c) ( 12) 在式( 12) 中, X V, Y V 为非对称齿轮非工作齿侧 过渡曲线任意点横坐标、纵坐标, φc = 2 mz ( a1 -xm) ctgα′c + 2( ρa +a1sinαc) cos αc ( 13) a1, ρa 可由式( 10), ( 11)求得, 在式( 12) 中, α′c 是 变参数, α′c 在 αc ～ 90°范围内变化. 2 有限元模型 2.1 几何模型 根据双压力角非对称齿轮两侧的齿廓渐开线 方程以及齿根过渡曲线方程, 用 M ATLAB 语言 编制了生成非对称渐开线齿轮齿廓的计算机程 序.此程序不但能生成非对称渐开线齿轮的齿廓 曲线, 而且还能生成对称渐开线齿轮的齿廓曲线. 该程序适用于任何模数、齿数 、压力角的对称与非 对称渐开线圆柱直齿轮.该程序将基本参数存放 在一个数据文件之中, 便于修改, 以生成满足不同 需要的齿轮齿廓 .本文选用的非对称渐开线齿轮 和标准渐开线齿轮的数据见表 1 . 表 1 双压力角非对称齿轮和标准渐开线齿轮几何参数 Table 1 Geometric parameters of unsymmetric and symmetric in￾volute gear 齿轮类型 m/ mm z α/ (°) h ＊ a c ＊ 非对称齿轮 3.5 23 30/20 1.0/ 0.95 0.25/ 0.3 对称齿轮 3.5 23 20 1.0 0.25 注:非对称齿轮的工作齿侧与非工作齿侧的压力角分别为 30°和 20°, 非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧齿顶高系数分别为 1.0 和 0.95, 非对称齿轮工作齿侧与非工作齿侧径向间隙系数分别 为 0.25 和 0.3. 图 3 非对称齿轮与对称齿轮有限元模型.( a) 非对称齿轮模型;( b) 对称齿轮模型 Fig.3 FEM model of unsymmetri c and symmetri c gears:( a) unsymmetric gear;( b) symmetric gear 当输入初始参数运算完毕后, 将得到的坐标 结果输入到 ANSYS 前处理模块中, 产生齿轮的 几何模型 . 2.2 约束条件和边界处理 当轮齿受力时, 齿轮体不可能是绝对刚性, 与 轮齿相连部分也有变形, 当离齿根的深度大于或 等于模数的 4.5 倍时基本上不再受影响, 可以近 似看作该处的实际位移为零.另外, 两侧齿间中 点处的位移很小, 也可以认为该处的实际位移为 零.这样即可划定其零位移约束边界.若模数为 m, 即横向宽取 5 m, 纵深方向距齿根圆弧最低点 取 4.5 m . 2.3 有限元模型的网格化 在有限元计算模型中, 选择具有 8 个节点 24 个自由度的四边形单元 .由于齿轮在受力时, 轮 齿应力在齿根过渡曲线和靠近齿面处变化梯度较 大, 而在齿顶附近和离齿根深度大于等于模数的 3.5 倍时变化梯度较小, 所以网格的划分分 5 个 层次 .在离齿根深度为模数的 0.5 倍以内并且离 齿轮中线距离为模数的 2 ～ 2.5 倍时, 单元划分的 最粗;其次在离齿根深度为模数的 0.5 ～ 3.5 倍 时, 把单元细化 1 倍, 在齿顶与节线之间的部分单 元再细化 1 倍;在齿根过渡曲线靠近齿面处和中 间部分分别再细化单元.这样的划分更符合齿轮 受载时的真实情况 .非对称模型共有单元 7 668 个, 节点 23 159 个;对称模型共有单元 6 402 个, 节点 19 451 个.根据表 1 所建立的非对称与对称 齿轮模型如图 3 . 3 特殊啮合点的载荷角和坐标计算 公式 由于常用的直齿圆柱齿轮传动的重合度系数 在一般情况下处于 1 ～ 2 间, 因此会出现单 、双齿 交替啮合 .齿轮危险截面上应力的大小与啮合位 · 572 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 6 期

Vol.28 No.6 肖望强等：双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 573。 置有关.因为弯曲应力取决于弯矩，所以需要同 E= 时考虑载荷及弯曲力臂.在齿顶啮合时，弯曲力 臂最大，但由于重合度e>1,所传递的载荷由两 ++小最-a。 对齿承担，故此时弯矩并不一定最大.在单齿啮 (17) 合区上界点啮合时弯曲力臂虽较齿顶啮合时小， 式(17)中，r1,r2分别是小齿轮和大齿轮的分度 但载荷最大，为所传递载荷的全部，故此时弯曲力 圆半径；r2,b2分别是大齿轮工作齿侧齿顶圆直 臂也可能最大).由于齿轮在啮合过程中是由双 径和基圆直径.将rE代到式14)可求得P进而 齿啮合到单齿啮合再到双齿啮合，本文主要研究 可以求得E点的坐标 在一些特殊点时的情况如图4所示. 4 实例计算及分析 K 双压力角非对称与对称齿轮的几何参数可见 双齿 双齿 表L,弹性模量为1.96×10MPa泊松比025. 合 碱合 当齿轮的传递功率P=45kW,齿轮转速n= 单齿做合区 1000rmin,齿宽b=30mm时，应用ANSYS 软件对所建立的两种模型进行分析.图5中的 B D 响介线位移，s AN 图4刚度变化曲线 Fig.4 Stiffness transformation curve 图4中，Na,N2a为工作齿侧极限啮合点，A 点是工作齿侧双齿啮入点，B点是工作齿侧单齿啮 合上界点，C点是工作齿侧节点，D点是工作齿侧 单齿啮合下界点，E点是工作齿侧双齿啮出点， 0.208406123.733247.259370.784494309 61971185.496309.021432546556.071 设啮合点M处的载荷角为M,由图1可推 导出 N Py=arccos -inv /hd arccos rM) (14) 式中，ru是非对称齿轮工作齿侧基圆半径，rM是 啮合点处的向径 轮齿的模型是通过齿廓曲线方程和齿根过渡 0.180921114997229814344.63459447 曲线方程求出齿廓曲线和齿根过渡曲线上点的坐 37589172.4028722240203851655 标建立的，因此对于双齿啮合上界点A和节点C 所对应的r4和rc比较容易求出. C AN 单齿啮合上界点B的压力角经推导得： ag=arctan g一 (15) 将g代到式(1)中可求得B点坐标和rB,再代到 (12)中可求得9g 单齿啮合下界点D的压力角经推导得： 0.0449,2748254916382352509.788 o=ardan o-2红(e- 63.76219,198318634446.07573500 (16) 图5非对称齿轮在特殊啮合点B(a),C(,和D(c)的应力云图 式中，为非对称齿轮重合度.将代到式(1)中 Fig.5 Distribution of stress of an unsymmetric gear at special 可求得D点坐标和rD,再代到式(14)中可求得9o mesh points:(a)mesh point B;(b)mesh point C:(c)mesh 双齿啮合下界点E的向径经推导得： point D

置有关.因为弯曲应力取决于弯矩, 所以需要同 时考虑载荷及弯曲力臂.在齿顶啮合时, 弯曲力 臂最大, 但由于重合度 εa >1, 所传递的载荷由两 对齿承担, 故此时弯矩并不一定最大.在单齿啮 合区上界点啮合时弯曲力臂虽较齿顶啮合时小, 但载荷最大, 为所传递载荷的全部, 故此时弯曲力 臂也可能最大[ 7] .由于齿轮在啮合过程中是由双 齿啮合到单齿啮合再到双齿啮合, 本文主要研究 在一些特殊点时的情况, 如图 4 所示. 图 4 刚度变化曲线 Fig.4 Stiffness transformation curve 图 4 中, N1d, N2d为工作齿侧极限啮合点, A 点是工作齿侧双齿啮入点, B 点是工作齿侧单齿啮 合上界点, C 点是工作齿侧节点, D 点是工作齿侧 单齿啮合下界点, E 点是工作齿侧双齿啮出点 . 设啮合点 M 处的载荷角为 φM , 由图 1 可推 导出 φM =arccos r bd rM -invαΔd +inv arccos r bd rM ( 14) 式中, r bd是非对称齿轮工作齿侧基圆半径, rM 是 啮合点处的向径 . 轮齿的模型是通过齿廓曲线方程和齿根过渡 曲线方程求出齿廓曲线和齿根过渡曲线上点的坐 标建立的, 因此对于双齿啮合上界点 A 和节点C 所对应的rA 和 rC 比较容易求出. 单齿啮合上界点 B 的压力角经推导得: αB =arctan tgαad - 2π z ( 15) 将 αB 代到式( 1) 中可求得 B 点坐标和 rB , 再代到 ( 12) 中可求得 φB 单齿啮合下界点 D 的压力角经推导得: αD =arctan tgαad - 2π( εf -1) z ( 16) 式中, εf 为非对称齿轮重合度.将 αD 代到式( 1)中 可求得 D 点坐标和 rD,再代到式( 14)中可求得 φD . 双齿啮合下界点 E 的向径经推导得: rE = 1 +r 2 1 + 2r 1 r 2 [ r 2 2 -r 2 b2 - ( r 2 2 -r 2 b2)( r 2 a2-r 2 b2)] ( 17) 式( 17)中, r 1, r 2 分别是小齿轮和大齿轮的分度 圆半径 ;r a2, r b2分别是大齿轮工作齿侧齿顶圆直 径和基圆直径 .将 rE 代到式( 14)可求得 φE 进而 可以求得 E 点的坐标. 图5 非对称齿轮在特殊啮合点 B( a) , C( b) 和 D(c) 的应力云图 Fig.5 Distribution of stress of an unsymmetric gear at special mesh points:( a) mesh point B ;( b) mesh point C;( c) mesh point D 4 实例计算及分析 双压力角非对称与对称齿轮的几何参数可见 表 1, 弹性模量为 1.96 ×10 5 M Pa, 泊松比 0.25 . 当齿轮的传递功率 P =45 kW, 齿轮转速 n = 1 000 r·min -1 , 齿宽 b =30 mm 时, 应用 ANSYS 软件对所建立的两种模型进行分析 .图 5 中的 Vol.28 No.6 肖望强等:双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应力的有限元分析 · 573 ·

。574 北京科技大学学报 2006年第6期 (a)~(c)为非对称系数k为1.085的双压力角非 趋势.而对称齿根的最大应力缓缓下降且保持基 对称齿轮在特殊点B,C和D的应力云图，图6 本不变 中的(a)~(c)为对称渐开线齿轮在特殊点B,C 300 和D的应力云图 星洲 一非对称 ★一对称 AN 200 1504 50 0.2 0.4 0.6 0.8 0 量纲为1的哄合线位移 图7非对称与对称齿轮在一个啮合周期中的齿根应力变化 曲线 .3307271T2012239908359.697479486 60225180.014299.80341959253938 Fig.7 Transformation curves of tooth root bending stress of unsymmetric and symmetric gear in one engagement period AN 由图7可以看出，双压力角非对称齿轮的单 齿啮合区间比对称齿轮要大.这是因为双压力角 非对称齿轮的压力角变大，非对称齿轮传动系统 重合度降低，所以单齿啮合区BD变大.从A点 到E点，对称齿轮齿根应力分别为非对称齿轮的 138,1.19,1.53,1.59,1.33倍.这说明一对轮 齿自开始啮合至全脱开的整个接触过程中，齿根 弯曲应力的变化是比较大的，而且最大齿根应力 N 出现在单齿啮合上界点处.当工作齿侧压力角由 20°上升到30°时，非对称齿轮齿根应力在一个啮 合周期中的最大值比对称齿轮齿根应力降低了 123%,平均应力约降低了28.7%. 5结论 常隔7骆羽贵聚7 (1)推导出双压力角非对称齿轮系统工作与 非工作齿廓方程和齿根过渡曲线方程以及在单、 图6对称齿轮在特殊啮合点B(a),C(b)和D(c)的应力云图 双齿啮合上、下界点处坐标和载荷角的计算公式 Fig.6 Distribution of stress of a symmetric gear at special mesh 同时用MATLAB编制了相应的参数化程序以便 points (a)mesh point B:(b)mesh point C;(c)mesh point D 建模和力的加载. 将非对称系数为1.085的非对称齿轮与对称 (2)通过计算实例，对比了在7个特殊点对称 齿轮在啮合线上不同位置的齿根应力经过量纲为 与非对称齿轮系统应力、位移云图，结果表明非对 1化处理，所得的曲线如图7所示.由图4和图7 称渐开线齿轮的齿根弯曲强度比对称齿轮有较大 可以看出齿根应力分布的大致规律：当齿轮从双 提高.计算同时揭示了由于刚度的影响齿根应力 齿啮入点A进入单齿啮合上界点B前，齿根应力 在一个啮合周期的变化规律 呈下降趋势：当齿轮进入单齿啮合上界点B时， 参考文献 齿根最大应力发生突变，达到整个啮合周期的最 大值：当齿轮从单齿啮合上界点B经过节点C再 I]Litvin F L Lian Q M.Asymmetric modified gear drives:re- duction of mise,localization of contact,simulat ion of meshing 经过单齿啮合下界点D前，齿根应力仍呈下降趋 and stress analysis Comput Methods Appl Mech Eng 2000. 势：在齿轮进入单齿啮合下界点D时，齿根应力 188:363 发生突变：当齿轮从单齿啮合下界点D进入双齿 [2 kapelevich A.Geometry and design of spur gears with asym- 啮合点E时，非对称齿轮齿根的最大应力呈上升 metric teeth.Mech Mach Theory,2000(35):117

( a) ～ ( c) 为非对称系数 k 为 1.085 的双压力角非 对称齿轮在特殊点 B , C 和D 的应力云图, 图 6 中的( a) ～ ( c) 为对称渐开线齿轮在特殊点 B, C 和D 的应力云图. 图6 对称齿轮在特殊啮合点 B( a) , C( b) 和 D( c) 的应力云图 Fig.6 Distribution of stress of a symmetric gear at special mesh points:( a) mesh point B ;(b) mesh point C ;( c) mesh point D 将非对称系数为 1.085 的非对称齿轮与对称 齿轮在啮合线上不同位置的齿根应力经过量纲为 1 化处理, 所得的曲线如图 7 所示 .由图 4 和图 7 可以看出齿根应力分布的大致规律:当齿轮从双 齿啮入点 A 进入单齿啮合上界点B 前, 齿根应力 呈下降趋势 ;当齿轮进入单齿啮合上界点 B 时, 齿根最大应力发生突变, 达到整个啮合周期的最 大值 ;当齿轮从单齿啮合上界点 B 经过节点 C 再 经过单齿啮合下界点D 前, 齿根应力仍呈下降趋 势;在齿轮进入单齿啮合下界点 D 时, 齿根应力 发生突变 ;当齿轮从单齿啮合下界点 D 进入双齿 啮合点E 时, 非对称齿轮齿根的最大应力呈上升 趋势, 而对称齿根的最大应力缓缓下降且保持基 本不变. 图7 非对称与对称齿轮在一个啮合周期中的齿根应力变化 曲线 Fig.7 Transformation curves of tooth root bending stress of unsymmetri c and symmetri c gear in one engagement period 由图 7 可以看出, 双压力角非对称齿轮的单 齿啮合区间比对称齿轮要大.这是因为双压力角 非对称齿轮的压力角变大, 非对称齿轮传动系统 重合度降低, 所以单齿啮合区 BD 变大.从 A 点 到E 点, 对称齿轮齿根应力分别为非对称齿轮的 1.38, 1.19, 1.53, 1.59, 1.33 倍.这说明一对轮 齿自开始啮合至全脱开的整个接触过程中, 齿根 弯曲应力的变化是比较大的, 而且最大齿根应力 出现在单齿啮合上界点处 .当工作齿侧压力角由 20°上升到 30°时, 非对称齿轮齿根应力在一个啮 合周期中的最大值比对称齿轮齿根应力降低了 12.3 %, 平均应力约降低了 28.7 %. 5 结论 ( 1)推导出双压力角非对称齿轮系统工作与 非工作齿廓方程和齿根过渡曲线方程, 以及在单、 双齿啮合上、下界点处坐标和载荷角的计算公式, 同时用 MATLAB 编制了相应的参数化程序以便 建模和力的加载. ( 2)通过计算实例, 对比了在 7 个特殊点对称 与非对称齿轮系统应力、位移云图, 结果表明非对 称渐开线齿轮的齿根弯曲强度比对称齿轮有较大 提高 .计算同时揭示了由于刚度的影响齿根应力 在一个啮合周期的变化规律. 参 考 文 献 [ 1] Lit vin F L, Lian Q M .Asymmetric modified gear drives:re￾duction of noise, localization of cont act, simulation of meshing and stress analysis.Comput Methods Appl Mech Eng, 2000, 188:363 [ 2] kapelevich A .Geometry and design of spur gears w ith asym￾metric teeth.Mech Mach Theory, 2000( 35) :117 · 574 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 6 期