Watt-Ⅰ型六杆刚体导引机构的解域综合方法

工程科学学报，第37卷，第5期：655660,2015年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.5:655-660,May 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.05.018:http://journals.ustb.edu.cn Watt-I型六杆刚体导引机构的解域综合方法 韩建友区，李人武，杨通，崔光珍 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:jyhan@ustb.cdu.cn 摘要给出了WtH型六杆机构尺寸综合的一种新方法.该方法对于刚体有限分离四位置问题通过建立机构解域，最终 能够得到满足给定设计条件的全部可行解.本文首先给出解曲线公式，并介绍解曲线的映射和构成平面解域的方法.然后给 出该类型机构的回路与分支缺陷判定方法.通过缺陷判定得到无缺陷的机构解可行域，从而使设计者能够得到满足更多设 计要求的更优机构，避免选择机构的盲目性，提高设计效率.最后，通过综合示例说明本文所提出方法的综合过程，证明了方 法的实用性和有效性。 关键词导引机构：刚体：求解方法：缺陷判定：可行域 分类号TH122 Solution-region synthesis approach of a Watt-I six-bar rigid-body guidance mechanism HAN Jian-you,LI Ren-wu,YANG Tong,CUI Guang-zhen School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:jyhan@ustb.edu.cn ABSTRACT A new approach of dimensional synthesis is introduced for Watt-I six-bar rigid-body guidance mechanisms.Through establishing the mechanism solution-region,this approach can get all feasible solutions for the finite separated four-position problem of the rigid-body in the end.This paper firstly gives the solution-curve formula and recommends the methods of solution-curve mapping and forming plane solution-region.After that,a circle and branch defects decision is proposed for this type of mechanism.Through this defect decision,the feasible region of no-defect mechanism solutions is acquired,which makes a designer be able to get much bet- ter mechanisms that meet much more design requirements,avoid the blindness of selecting mechanisms and improve the design effi- ciency.Finally,the synthesis process of the approach presented in this paper is illustrated through a synthesis example,which proves the practicability and effectiveness of this approach. KEY WORDS guidance mechanisms:rigid bodies;solution approach:defect decision;feasible region 刚体导引机构的四位置综合包括有限分离四位置 机构.由此可见，五位置问题的解决具有重要的理论 综合和复合四位置综合两类问题.本文就前者在 意义，而四位置问题的解决更具应用价值.对于四位 Wat-H型六杆机构中的应用进行了研究. 置综合问题，难点在于采用何种理论与方法以最终得 文献0-3]介绍了平面六杆和八杆机构的有限 到给定条件的最优机构. 分离五位置综合问题，其所获得机构的数目通常是有 在机构的综合过程中，对得到的机构进行缺陷判 限的几个确定解，而四位置问题可以获得无穷多机构 定是必不可少的.机构的缺陷包括回路缺陷、分支缺 解，大大增加了设计者的机构选择空间，再通过全解域 陷、运动顺序缺陷等.在机构的精确点位置综合中，如 遍历计算优选，最终可获得满足多种性能要求的最优 果其设计位置位于不同的回路，则说明机构存在回路 收稿日期：201402-16 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275034)

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期: 655--660，2015 年 5 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 5: 655--660，May 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 05． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 韩建友，李人武，杨 通，崔光珍 北京科技大学机械工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: jyhan@ ustb． edu． cn 摘 要 给出了 Watt--I 型六杆机构尺寸综合的一种新方法． 该方法对于刚体有限分离四位置问题通过建立机构解域，最终 能够得到满足给定设计条件的全部可行解． 本文首先给出解曲线公式，并介绍解曲线的映射和构成平面解域的方法． 然后给 出该类型机构的回路与分支缺陷判定方法． 通过缺陷判定得到无缺陷的机构解可行域，从而使设计者能够得到满足更多设 计要求的更优机构，避免选择机构的盲目性，提高设计效率． 最后，通过综合示例说明本文所提出方法的综合过程，证明了方 法的实用性和有效性． 关键词 导引机构; 刚体; 求解方法; 缺陷判定; 可行域 分类号 TH122 Solution-region synthesis approach of a Watt--I six-bar rigid-body guidance mechanism HAN Jian-you ，LI Ｒen-wu，YANG Tong，CUI Guang-zhen School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: jyhan@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A new approach of dimensional synthesis is introduced for Watt--I six-bar rigid-body guidance mechanisms． Through establishing the mechanism solution-region，this approach can get all feasible solutions for the finite separated four-position problem of the rigid-body in the end． This paper firstly gives the solution-curve formula and recommends the methods of solution-curve mapping and forming plane solution-region． After that，a circle and branch defects decision is proposed for this type of mechanism． Through this defect decision，the feasible region of no-defect mechanism solutions is acquired，which makes a designer be able to get much bet￾ter mechanisms that meet much more design requirements，avoid the blindness of selecting mechanisms and improve the design effi￾ciency． Finally，the synthesis process of the approach presented in this paper is illustrated through a synthesis example，which proves the practicability and effectiveness of this approach． KEY WOＲDS guidance mechanisms; rigid bodies; solution approach; defect decision; feasible region 收稿日期: 2014--02--16 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51275034) 刚体导引机构的四位置综合包括有限分离四位置 综合和 复 合 四 位 置 综 合 两 类 问 题． 本 文 就 前 者 在 Watt--I 型六杆机构中的应用进行了研究． 文献［1 － 3］介绍了平面六杆和八杆机构的有限 分离五位置综合问题，其所获得机构的数目通常是有 限的几个确定解，而四位置问题可以获得无穷多机构 解，大大增加了设计者的机构选择空间，再通过全解域 遍历计算优选，最终可获得满足多种性能要求的最优 机构． 由此可见，五位置问题的解决具有重要的理论 意义，而四位置问题的解决更具应用价值． 对于四位 置综合问题，难点在于采用何种理论与方法以最终得 到给定条件的最优机构． 在机构的综合过程中，对得到的机构进行缺陷判 定是必不可少的． 机构的缺陷包括回路缺陷、分支缺 陷、运动顺序缺陷等． 在机构的精确点位置综合中，如 果其设计位置位于不同的回路，则说明机构存在回路

·656· 工程科学学报，第37卷，第5期 缺陷：如果其设计位置位于同一回路的不同分支，由于 机构处在静止位形时，其运动存在不确定性，则说明机 构存在分支缺陷.在单自由度连杆机构中，回路 问题与主动杆的选取无关，而分支问题则相反 文献5]介绍了Wa型六杆机构的回路问题，其 0 数目取决于机构中两四杆机构的回路特性及两者公共 (b) 铰链的运动范围，而对分支问题未进行研究，且文中局 限于公共铰链为主动铰链的机构：对于给定各杆长尺 寸及初始位形的Wat型六杆机构，文献[6]给出了其 主动杆运动范围的确定方法，这一范围可用于分支缺 a 陷判定，而不能用于回路缺陷判定；文献]通过建立 0 函数判别式求解出六杆机构奇异位置所对应的输入角 和机构主动杆的运动范围：文献8]利用RS方法判 图13R开链及两种Wat-I型六杆机构.(a)3R开链：(b) 断六杆机构和齿轮五杆机构是否存在曲柄：文献9] Watt-la;(c)Watt-Ib 采用结式消元的方法来判断Stephenson型六杆机构的 Fig.I 3R open chain and two kinds of Watt-I six-bar mechanisms. 死点位置：文献0]通过先建立输入一输出的一元六 (a)3R open chain:(b)Watt-la:(c)Watt-Ib 次方程，然后利用Surm定理判断机构的死点位置的 的杆长不变条件得其分布曲线方程 构型特点的方法，得到Stephenson-Ⅲ型六杆机构的死 点位置存在的充要条件：文献1]介绍了一种Ste- H(x+xy2)+(y+xy)++ phenson-Ⅱ型六杆机构的函数生成综合方法：文献 H4y2+Hxey。+H6x。+Hy。+Hs=0（1) 其中，曲线方程的具体推导过程和系数H(i=1,2,…, 2]借助软件系统对球面Wat-I型六杆机构的五位 8)的含义请参考文献3-15]，本文限于篇幅不再赘 置运动综合进行了研究：文献ǖ3-14]介绍了四杆机 构的解域综合方法；文献5]给出了基于四杆机构的 述。在此，铰链点C。的分布曲线表示为解曲线02-2， 前两个数字表示构件0和构件2，后一个数字表示该 六杆机构解域综合方法，即首先得到四杆机构，在此基 础上得到构成六杆机构的三次曲线，然后在曲线上选 点是在构件2上.在确定C。点位置时，与构件2上该 点对应的在构件0上有一对应点也同时确定.因此， 择合适的点，最终得到六杆机构. 本文在文献03-15]的基础上，将解域方法推广 铰链点A,的分布曲线，即解曲线02-0可以被求得和 应用于Wat-I型六杆机构，直接构成六杆机构的 绘制.考虑到两解曲线上点的一一对应关系，故只需 解域. 给出一条.从解曲线02-2和020上选取一组点，即 添加完RR杆A,Ca· 1有限分离四位置综合 第二步，添加RR杆B。B,在第一步中，已获得铰 在WatH型六杆机构的有限分离四位置综合中， 链点A。、C。的第一位置坐标，由三铰链杆ACB2的位 参考文献4-5]，给定3R开链（如图1(a)所示）的四 移矩阵可得铰链点C。的其余三位置坐标，即可确定铰 个位置，再向其上添加两RR杆来获得所需机构，且两 链点C。的四个位置坐标及杆件A,C。的四个角位置， RR杆的添加存在先后顺序.根据主动杆的选择情况， 又已知铰链点B,的四个位置坐标以及杆件B2P,的四 可将Wal-型六杆机构分为Wa-Ha和Wat-b型两 个角位置，设铰链点B,的第一位置坐标为(x。,y),由 类，分别如图1(b)和(c)所示.以下就这两种Wat型 RR杆B,B,的杆长不变条件得其分布曲线方程 六杆机构的有限分离四位置综合进行介绍 H(x3+x2)+H(y3+x2y）+Hx2+ 1.1 Watt-la型六杆机构的四位置综合 Hiye+Hixcye+Hoxc+Hiy+Hs=0. (2) 在图1(b)中，3R开链的四个位置的给定方法为： 在此，铰链点B,的分布曲线表示为解曲线35-3， 铰链点B2的四个位置坐标，杆件AB2和B,Py的四个 同样可以确定铰链点B。的分布曲线，表示为解曲线 角位置，以及杆件A,A2、A2B2和B,P,的长度，则其四位 35-5,且两解曲线上的点是一一对应的，两者的具体 置综合需分两步来完成 推导过程和H:(i=1,2,…,8)的含义请参考文献 第一步，添加RR杆A,C。在图1(b)中，已知铰链 13-15].从解曲线35-3和35-5上选取一组点，即 点B,的四个位置坐标及杆件A,B,的四个角位置，设 添加完RR杆BB.至此，综合得到满足上述四位置 铰链点C。的第一位置坐标为(x,y),由RR杆A,Co 要求的Watt-Ia型六杆机构

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 缺陷; 如果其设计位置位于同一回路的不同分支，由于 机构处在静止位形时，其运动存在不确定性，则说明机 构存在分支缺陷［4 － 5］． 在单自由度连杆机构中，回路 问题与主动杆的选取无关，而分支问题则相反． 文献［5］介绍了 Watt 型六杆机构的回路问题，其 数目取决于机构中两四杆机构的回路特性及两者公共 铰链的运动范围，而对分支问题未进行研究，且文中局 限于公共铰链为主动铰链的机构; 对于给定各杆长尺 寸及初始位形的 Watt 型六杆机构，文献［6］给出了其 主动杆运动范围的确定方法，这一范围可用于分支缺 陷判定，而不能用于回路缺陷判定; 文献［7］通过建立 函数判别式求解出六杆机构奇异位置所对应的输入角 和机构主动杆的运动范围; 文献［8］利用 JＲS 方法判 断六杆机构和齿轮五杆机构是否存在曲柄; 文献［9］ 采用结式消元的方法来判断 Stephenson 型六杆机构的 死点位置; 文献［10］通过先建立输入--输出的一元六 次方程，然后利用 Sturm 定理判断机构的死点位置的 构型特点的方法，得到 Stephenson--III 型六杆机构的死 点位置存在 的 充 要 条 件; 文 献［11］介 绍 了 一 种 Ste￾phenson--II 型六杆机构的函数生成综合方法; 文 献 ［12］借助软件系统对球面 Watt--I 型六杆机构的五位 置运动综合进行了研究; 文献［13 － 14］介绍了四杆机 构的解域综合方法; 文献［15］给出了基于四杆机构的 六杆机构解域综合方法，即首先得到四杆机构，在此基 础上得到构成六杆机构的三次曲线，然后在曲线上选 择合适的点，最终得到六杆机构． 本文在文献［13 － 15］的基础上，将解域方法推广 应用于 Watt--I 型 六 杆 机 构，直 接 构 成 六 杆 机 构 的 解域． 1 有限分离四位置综合 在 Watt--I 型六杆机构的有限分离四位置综合中， 参考文献［4 － 5］，给定 3Ｒ 开链( 如图 1( a) 所示) 的四 个位置，再向其上添加两 ＲＲ 杆来获得所需机构，且两 ＲＲ 杆的添加存在先后顺序． 根据主动杆的选择情况， 可将 Watt--I 型六杆机构分为 Watt--Ia 和 Watt--Ib 型两 类，分别如图 1( b) 和( c) 所示． 以下就这两种 Watt 型 六杆机构的有限分离四位置综合进行介绍． 1. 1 Watt--Ia 型六杆机构的四位置综合 在图 1( b) 中，3Ｒ 开链的四个位置的给定方法为: 铰链点 B2 的四个位置坐标，杆件 A2 B2和 B2 PM的四个 角位置，以及杆件 A1A2、A2B2和 B2PM的长度，则其四位 置综合需分两步来完成． 第一步，添加 ＲＲ 杆 A0C0 ． 在图1( b) 中，已知铰链 点 B2 的四个位置坐标及杆件 A2B2 的四个角位置，设 铰链点 C0 的第一位置坐标为( xc，yc ) ，由 ＲＲ 杆 A0C0 图 1 3Ｒ 开链及两种 Watt--I 型 六 杆 机 构． ( a) 3Ｒ 开 链; ( b) Watt--Ia; ( c) Watt--Ib Fig． 1 3Ｒ open chain and two kinds of Watt--I six-bar mechanisms． ( a) 3Ｒ open chain; ( b) Watt--Ia; ( c) Watt--Ib 的杆长不变条件得其分布曲线方程 H1 ( x 3 c + xc y 2 c ) + H2 ( y 3 c + x 2 c yc ) + H3 x 2 c + H4 y 2 c + H5 xc yc + H6 xc + H7 yc + H8 = 0 ( 1) 其中，曲线方程的具体推导过程和系数 Hi ( i = 1，2，…， 8) 的含义请参考文献［13 － 15］，本文限于篇幅不再赘 述． 在此，铰链点 C0 的分布曲线表示为解曲线 02--2， 前两个数字表示构件 0 和构件 2，后一个数字表示该 点是在构件 2 上． 在确定 C0 点位置时，与构件 2 上该 点对应的在构件 0 上有一对应点也同时确定． 因此， 铰链点 A0的分布曲线，即解曲线 02--0 可以被求得和 绘制． 考虑到两解曲线上点的一一对应关系，故只需 给出一条． 从解曲线 02--2 和 02--0 上选取一组点，即 添加完 ＲＲ 杆 A0C0 ． 第二步，添加 ＲＲ 杆 B0B1 ． 在第一步中，已获得铰 链点 A0、C0 的第一位置坐标，由三铰链杆 A2C0B2 的位 移矩阵可得铰链点 C0 的其余三位置坐标，即可确定铰 链点 C0 的四个位置坐标及杆件 A0C0 的四个角位置， 又已知铰链点 B2 的四个位置坐标以及杆件 B2PM的四 个角位置，设铰链点 B1 的第一位置坐标为( x'c，y'c ) ，由 ＲＲ 杆 B0B1 的杆长不变条件得其分布曲线方程 H'1 ( x'c 3 + x'c y'c 2 ) + H'2 ( y'c 3 + x'c 2 y'c ) + H'3 x'c 2 + H'4 y'c 2 + H'5 x'c y'c + H'6 x'c + H'7 y'c + H'8 = 0． ( 2) 在此，铰链点 B1 的分布曲线表示为解曲线 35--3， 同样可以确定铰链点 B0 的分布曲线，表示为解曲线 35--5，且两解曲线上的点是一一对应的，两者的具体 推导过程和 H'i ( i = 1，2，…，8) 的含义请参考文献 ［13 － 15］． 从解曲线 35--3 和 35--5 上选取一组点，即 添加完 ＲＲ 杆 B0B1 ． 至此，综合得到满足上述四位置 要求的 Watt--Ia 型六杆机构． · 656 ·

韩建友等：WatH型六杆刚体导引机构的解域综合方法 ·657 1.2 Watt-Ib型六杆机构的四位置综合 的选择空间 在图1(c)中，3R开链的四个位置的给定方法为： 铰链点B。,B,的四个位置坐标，杆件AB和B,Pu的四 2机构解解域的构成及机构解可行域的确定 个角位置及其长度，则其四位置综合亦需分两步完成 2.1机构解解域的构成 第一步，添加RR杆CB2:第二步，添加RR杆AA2 Wat-Ha型六杆刚体导引机构的有限分离四位置 在两步骤中，运用的条件也是杆长(RR杆CB2、 综合可以获得无穷多解，可通过解域图来表示满足给 A,A2)不变条件，同样得到两组解曲线，在此，铰链点 定条件的全部机构解.下面给出解域的构成方法 C。和B2的分布曲线分别表示为解曲线13-一和13-3， 为了得到预期的铰链点C。的位置，给出由点 铰链点A,和A,的分布曲线分别表示为解曲线040 P。和P,所确定的解曲线02-2的限定选取框1，如 和044，且两组解曲线上的点分别一一对应.需要注 图2(a)所示（为了节省篇幅，不失一般性，我们用 意的是，在第二步中，事先得从解曲线13-」和13-3选 下面综合示例中的解曲线图进行说明)：为了得到 取一组点. 预期的铰链点B,的位置，给出由点P。和P:所确 在Wt-I型六杆机构的四位置综合中，解曲线 定的解曲线35-3的限定选取框2，如图2(b)和 02-2和020（对Wat-Ha)或13-1和13-3（对Watt- (c)所示.将选取框1和2内的解曲线都向水平直 山)取决于给定的初始条件，是唯一确定的一组解曲 线映射，然后分别作为横轴和纵轴.注意，图2(a) 线，其上的每一组点都对应着一组解曲线35一3和 中解曲线02-2上每一点都对应一条解曲线35-3， 35-5或040和04-4.以下为书写和叙述方便，对两 则选取框1内解曲线02-2对应一族解曲线35-3 支具有一一对应点关系的解曲线只讨论一支.又由于 (图2中只给出两条).因此，通过上述映射，对横 两种Wt-I型六杆机构解域的建立方法基本相同，则 轴的每一点都对应纵轴的一条直线，最后由这一系 下文关于解域的建立过程只针对Wata型六杆机构 列的直线形成一平面解域（如图3所示，坐标轴数 叙述讨论.因此，对解曲线02-2上的不同点能得到 值构成见图4)，其上每个坐标点都对应着一个 35-3的曲线族，可获得无穷多机构，大大提高了机构 Wat-H型六杆机构. 1950r 横轴区段 1800 一非横轴区段 1650 a a段-200-167 非纵轴区段 b段59-200 2050- 2050- 非纵轴区段 1500 无运动缺路区段 无运动缺路区段 选取框1 有运动缺路区段 1950- 1950 有运动缺陷区段 1350 (b) 解曲线35-3)， (c) '段：-169-23 1200 解曲线02-2 1800 Pa段：-211-121 1800 Pb'段：-191-25 c B b段：-239--233 1050 P(-200.1200) 1650 选取 c段：-239--141 1650 <解曲线65-3 900 P200.1600) 框2 P-345.1500 P-345.1500 C(131,1540.52) 1500 P'100.1800, 1500 P'100.1800) 750 C145,1315.20) B,(-195.1730.74) 。选取框2 B,(-55.00.1570.09 6 135 135 450 150 150 450750 450 -150 150 450 450 -150 L50 450 图2解曲线及选取框1和2.(a)解曲线02-2及选取框1：(b)解曲线(35-3)1及选取框2：(c)解曲线(35-3)2及选取框2 Fig.2 Solution-curve and Marquee 1 and 2:(a)solution-curve 02-2 and Marquee 1:(b)solution-curve (35-3)and Marquee 2:(c)solution- curve (35-3)2 and Marquee 2 由于解曲线均为三次曲线，因此当限定铰链点横 的解曲线355处在选取框2内的区段存在差异，因此 坐标在一定范围内连续取值时，解关于其纵坐标的一 上述所得无穷多直线的长度是不同的，即解域纵轴坐 元三次方程可能存在一解或三解（无重根或一个重 标是随着解域横轴坐标变化而变化的 根).现对解曲线映射到水平方向后各区段的划分及 2.2机构解可行域的确定 相加作如下规定：(1)存在一解时将铰链点归为区段 对于已知各杆尺寸及初始位形的Wtt型六杆机 1:存在三解且无重根时，按纵坐标从小到大，将铰链点 构，主动杆的运动范围是唯一的，主动杆在此范围内运 依次归为区段1、2和3（存在一重根时，只需区段1和 动，能保证机构在其同一回路的同一分支上运行，从而 2).(2)将选取框1内各区段映射相加作为横轴，将选 可避免分支缺陷的产生，故该范围可用于分支缺陷的 取框2内各区段映射相加得到对应横轴不同点的无穷 判定.对于WtH型六杆机构的回路和分支缺陷的判 多竖直直线（纵轴），由于对应解曲线02一2上不同点 定，其基本步骤如下：

韩建友等: Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 1. 2 Watt--Ib 型六杆机构的四位置综合 在图 1( c) 中，3Ｒ 开链的四个位置的给定方法为: 铰链点 B0，B1 的四个位置坐标，杆件 A0B0和 B1PM的四 个角位置及其长度，则其四位置综合亦需分两步完成． 第一步，添加 ＲＲ 杆 C0B2 ; 第二步，添加 ＲＲ 杆 A1A2 ． 在两步骤中，运用的条件也是杆长( ＲＲ 杆 C0B2、 A1A2 ) 不变条件，同样得到两组解曲线，在此，铰链点 C0 和 B2 的分布曲线分别表示为解曲线 13--1 和 13--3， 铰链点 A1 和 A2 的分布曲线分别表示为解曲线 04--0 和 04--4，且两组解曲线上的点分别一一对应． 需要注 意的是，在第二步中，事先得从解曲线 13--1 和 13--3 选 取一组点． 在 Watt--I 型六杆机构的四位置综合中，解曲线 02--2 和 02--0 ( 对 Watt--Ia) 或 13--1 和 13--3 ( 对 Watt-- Ib) 取决于给定的初始条件，是唯一确定的一组解曲 线，其 上 的 每 一 组 点 都 对 应 着 一 组 解 曲 线 35--3 和 35--5 或 04--0 和 04--4． 以下为书写和叙述方便，对两 支具有一一对应点关系的解曲线只讨论一支． 又由于 两种 Watt--I 型六杆机构解域的建立方法基本相同，则 下文关于解域的建立过程只针对 Watt--Ia 型六杆机构 叙述讨论． 因此，对解曲线 02--2 上的不同点能得到 35--3 的曲线族，可获得无穷多机构，大大提高了机构 的选择空间． 2 机构解解域的构成及机构解可行域的确定 2. 1 机构解解域的构成 Watt--Ia 型六杆刚体导引机构的有限分离四位置 综合可以获得无穷多解，可通过解域图来表示满足给 定条件的全部机构解． 下面给出解域的构成方法． 为了得到 预 期 的 铰 链 点 C0 的位 置，给 出 由 点 P0 和 P1 所确定的解曲线 02--2 的限定选取框 1，如 图 2( a) 所 示( 为 了 节 省 篇 幅，不 失 一 般 性，我 们 用 下面综合示例 中 的 解 曲 线 图 进 行 说 明) ; 为了 得 到 预期的铰链 点 B1 的位 置，给 出 由 点 P'0 和 P'1 所确 定的 解 曲 线 35--3 的 限 定 选 取 框 2，如 图 2 ( b) 和 ( c) 所示． 将选取框 1 和 2 内的解曲线都向水平直 线映射，然后分别作为横轴和纵轴． 注 意，图 2 ( a) 中解曲线 02--2 上每一点都对应一条解曲线 35--3， 则选取框 1 内 解 曲 线 02--2 对 应 一 族 解 曲 线 35--3 ( 图 2 中只给 出 两 条) ． 因 此，通 过 上 述 映 射，对 横 轴的每一点都对应纵轴的一条直线，最后由这一系 列的直线形成 一 平 面 解 域( 如 图 3 所 示，坐 标 轴 数 值构 成 见 图 4 ) ，其 上 每 个 坐 标 点 都 对 应 着 一 个 Watt--I 型六杆机构． 图 2 解曲线及选取框 1 和 2． ( a) 解曲线 02--2 及选取框 1; ( b) 解曲线( 35--3) 1及选取框 2; ( c) 解曲线( 35--3) 2及选取框 2 Fig． 2 Solution-curve and Marquee 1 and 2: ( a) solution-curve 02--2 and Marquee 1; ( b) solution-curve ( 35--3) 1 and Marquee 2; ( c) solution￾curve ( 35--3) 2 and Marquee 2 由于解曲线均为三次曲线，因此当限定铰链点横 坐标在一定范围内连续取值时，解关于其纵坐标的一 元三次方程可能存在一解或三解( 无重根或一个重 根) ． 现对解曲线映射到水平方向后各区段的划分及 相加作如下规定: ( 1) 存在一解时将铰链点归为区段 1; 存在三解且无重根时，按纵坐标从小到大，将铰链点 依次归为区段 1、2 和 3( 存在一重根时，只需区段 1 和 2) ． ( 2) 将选取框 1 内各区段映射相加作为横轴，将选 取框 2 内各区段映射相加得到对应横轴不同点的无穷 多竖直直线( 纵轴) ，由于对应解曲线 02--2 上不同点 的解曲线 35--5 处在选取框 2 内的区段存在差异，因此 上述所得无穷多直线的长度是不同的，即解域纵轴坐 标是随着解域横轴坐标变化而变化的． 2. 2 机构解可行域的确定 对于已知各杆尺寸及初始位形的 Watt 型六杆机 构，主动杆的运动范围是唯一的，主动杆在此范围内运 动，能保证机构在其同一回路的同一分支上运行，从而 可避免分支缺陷的产生，故该范围可用于分支缺陷的 判定． 对于 Watt--I 型六杆机构的回路和分支缺陷的判 定，其基本步骤如下: · 756 ·

·658 工程科学学报，第37卷，第5期 (1)确定给定各杆尺寸及初始位形的Wat-I型 六杆机构主动杆的运动范围四： (2)比较主动杆的运动范围与给定的主动杆的四 个角位置的关系，如果主动杆的运动范围不包括其四 个角位置，则这一机构存在分支缺陷，反之，不存在分 支缺陷，需进行第(3)步的判定： (3)判定机构在四个位置的位形是否发生变化. 本文通过计算两向量的叉积来判断机构位形，如在图 1(b)中，需计算A,C。×AC。和B2B,×BB,在四个位置 的值（在图1(c)中，需计算CoA,×A42和BB,× 解曲线02-2的横坐标x B,B),若两者都不发生符号变化，则这一机构不存在 图3平面解域 回路缺陷，反之，存在回路缺陷 Fig.3 Plane solution-region 除满足运动要求以外，设计者还可根据实际需要， (a) (b) K(145 55) -121 -121. -121 -121 Dk,131.-195 (-239 100 -239) 0 (191 13 13 (-239. -239) -345 -345 -345 -345 -200 131167145,* -200 131167,145 (59)200 (59.) 200, 0一无机构：1一回路缺陷： 0一不满足设计要求：1一满足设计要求 2一分支缺路：3一无运动缺陷 图4解域分布图.()机构解解域：(b)机构解可行域 Fig.4 Distribution of solution-region:(a)solution-region of mechanism solutions:(b)feasible solution-region of mechanism solutions 给予这些机构其他一些附加性能要求，比如杆长比 此机构结合使用便可实现车辆的转向.给定3R链A, (L几)，从机构解解域中剔除不满足要求的机构， AB,PPP,(P为车轮的几何中心)的四位置参数见 最终得到机构解可行域. 表1~表3. 3综合示例 表1较链点B,的四个位置坐标 Table 1 Four position-coordinates of hinge point B2 为某类型赛车车辆设计一Wat-la型六杆转向机 位置i x/mm y/mm 构四，其工作示意图如图5所示，PP,为车轮部分，两 -229.20 1603.20 9P8 -307.04 1607.45 3 -561.11 1505.46 -634.77 1408.24 表2杆件A2B2及B2PM的四个角位置 Table 2 Four angular-positions of link AB2 and B2PM 位置i杆件A,品，的角位置a,/(o杆件B,PM的角位置/() 6 1 149.40 223.90 2 156.30 200.00 图5Wat-Ia型六杆转向机构的工作示意图 3 174.50 164.10 4 182.32 150.92 Fig.5 Schematie diagram of the Watt-la six-bar steering mechanism

工程科学学报，第 37 卷，第 5 期 图 3 平面解域 Fig． 3 Plane solution-region ( 1) 确定给定各杆尺寸及初始位形的 Watt--I 型 六杆机构主动杆的运动范围［6］; ( 2) 比较主动杆的运动范围与给定的主动杆的四 个角位置的关系，如果主动杆的运动范围不包括其四 个角位置，则这一机构存在分支缺陷，反之，不存在分 支缺陷，需进行第( 3) 步的判定; ( 3) 判定机构在四个位置的位形是否发生变化． 本文通过计算两向量的叉积来判断机构位形，如在图 1( b) 中，需计算A2C →0 × A0C →0和B2B →1 × B0B →1在四个位置 的值( 在 图 1 ( c ) 中，需 计 算 C0A →2 × A1A →2 和 B0B →1 × B2B →1 ) ，若两者都不发生符号变化，则这一机构不存在 回路缺陷，反之，存在回路缺陷． 除满足运动要求以外，设计者还可根据实际需要， 图 4 解域分布图． ( a) 机构解解域; ( b) 机构解可行域 Fig． 4 Distribution of solution-region: ( a) solution-region of mechanism solutions; ( b) feasible solution-region of mechanism solutions 给予这些机构其他一些附加性能要求，比如杆长比 ( lmax /lmin ) ，从机构解解域中剔除不满足要求的机构， 最终得到机构解可行域． 图 5 Watt--Ia 型六杆转向机构的工作示意图 Fig． 5 Schematic diagram of the Watt--Ia six-bar steering mechanism 3 综合示例 为某类型赛车车辆设计一 Watt--Ia 型六杆转向机 构［2］，其工作示意图如图 5 所示，P2P3 为车轮部分，两 此机构结合使用便可实现车辆的转向． 给定 3Ｒ 链 A1 A2B2PM P2P3 ( PM为车轮的几何中心) 的四位置参数见 表 1 ～ 表 3． 表 1 铰链点 B2 的四个位置坐标 Table 1 Four position-coordinates of hinge point B2 位置 i xi /mm yi /mm 1 － 229. 20 1603. 20 2 － 307. 04 1607. 45 3 － 561. 11 1505. 46 4 － 634. 77 1408. 24 表 2 杆件 A2B2 及 B2PM 的四个角位置 Table 2 Four angular-positions of link A2B2 and B2PM 位置 i 杆件 A2B2 的角位置 θi /( °) 杆件 B2PM的角位置 θ' i /( °) 1 149. 40 223. 90 2 156. 30 200. 00 3 174. 50 164. 10 4 182. 32 150. 92 · 856 ·

韩建友等：Wt-型六杆刚体导引机构的解域综合方法 ·659* 表3杆件AA2,A2B2,B2PM及P2P的长度 至此，用于机构综合的解域图建立完毕.下面给 Table 3 Lengths of link AA2,A2B2,B2 Py and P2P 出两个综合示例.从可行域中选取一点K,(131, 杆件 长度/mm -195),则综合得到图6(a)所示的Wat-Ia型六杆转 AA2 273.98 向机构，图中给出了机构的首末位置位形及点P的运 A2B2 273.97 动轨迹 B2Py 132.96 为了便于理解，简要说明如下：根据前文可知，K, P2P: 531.84 点的横坐标对应图2(a)中曲线上一点的横坐标，在此 由解曲线方程(1)和(2)可以得到铰链点C。和B, 为铰链点C(131.00,1540.52).K,点所在的竖直线 的分布曲线，即解曲线02-2（如图2(a)所示）和一簇 为铰链点C:所对应的解曲线35-3（如图2(b)所示， 解曲线35-3（如图2(b)和(c)所示，图中只给出了 表示为(35-3)，)通过映射而得到，则图2(b)中曲线 两条). 上一点的横坐标对应着K,点的纵坐标，在此为铰链点 通过遍历计算解曲线02-2上处在选取框1内的 B,（-195,1730.74).图2(b)与图4(a)中的a、b和c 所有点，且根据机构解解域的构成方法及对解域中每 分别对应 个位置点所对应的机构进行回路和分支缺陷判定，最 从可行域中另选一点K2(145,-55),则综合得到 终可得图4(a)所示的机构解解域.从解域图4(a)中 6(b)所示的转向机构.同理可知，K2点的横、纵坐标 标示为3的区域中任选一点都能得到满足给定条件的 可参考K点来理解，分别对应图2(a)中铰链点C 无运动缺陷的机构.如果再附加杆长比l几m≤5并 （145.00,1315.20)的横坐标和图2(c)中解曲线 剔除不满足要求的机构就能得到图4(b)所示的机构 (35-3)2上铰链点B,（-55.00,1570.09)的横坐标. 解可行域.图4中的横轴区段1和2（横轴数值的下 图2(c)与图4(a)中的a和b分别对应.因此，从机构 标)分别对应图2(a)中的a和b段.若对机构提出其 解可行域中任选一点都能得到满足运动要求和杆长比 他性能要求，则可行域的区域将发生相应的改变 l几na≤5的Wat-la型六杆转向机构. (aK点对应的机构 b),点对应的机构 图6综合所得机构.()K点对应的机构：(b)K2点对应的机构 Fig.6 Synthesized mechanisms:(a)K mechanism:(b)K2 mechanism 运用基于MFC的VC++6.0及OpenGL编程，可 附加性能的不同及选取范围的变化，将得到不同的机 实现上述全过程的计算机自动实现及其可视化，从而 构解可行域.所研发程序可以直接根据给定条件生成 大大提高了设计人员的设计效率 可行域，而不需要绘制解曲线.综合示例表明了本文 所提出的方法及所开发的综合程序的实用性和有 4结论 效性. 本文实现了Wt一I型六杆刚体导引机构的有限 参考文献 分离四位置综合，并获得无穷多种Wal一I型六杆机 [Soh CS,McCarthy J M.The synthesis of six-bar linkages as con- 构，为设计者提供了机构的选择空间：建立了显示回路 strained planar 3R chains.Mech Mach Theory,2008,43(2): 缺陷、分支缺陷及无运动缺陷分布的机构解解域，从而 160 避免了设计者选择机构的盲目性；根据实际工程需要， MeCarthy J M,Soh G S.Geometric Design of Linkages.2nd Ed New York:Springer-Verlag,2010 设计者可给予机构其他附加性能，并剔除不满足要求 B3]Soh G S,Ying FT,MeCarthy J M.Dimensional synthesis of pla- 的机构，这将获得满足实际要求的机构解可行域，根据 nar six-bar linkages by mechanically constrain a PRR serial

韩建友等: Watt--I 型六杆刚体导引机构的解域综合方法 表 3 杆件 A1 A2，A2B2，B2PM及 P2P3的长度 Table 3 Lengths of link A1 A2，A2B2，B2PM and P2P3 杆件 长度/mm A1 A2 273. 98 A2B2 273. 97 B2PM 132. 96 P2P3 531. 84 由解曲线方程( 1) 和( 2) 可以得到铰链点 C0 和 B1 的分布曲线，即解曲线 02--2( 如图 2( a) 所示) 和一簇 解曲线 35--3 ( 如图 2 ( b) 和( c) 所示，图中只给出了 两条) ． 通过遍历计算解曲线 02--2 上处在选取框 1 内的 所有点，且根据机构解解域的构成方法及对解域中每 个位置点所对应的机构进行回路和分支缺陷判定，最 终可得图 4( a) 所示的机构解解域． 从解域图 4( a) 中 标示为 3 的区域中任选一点都能得到满足给定条件的 无运动缺陷的机构． 如果再附加杆长比 lmax /lmin≤5 并 剔除不满足要求的机构就能得到图 4( b) 所示的机构 解可行域． 图 4 中的横轴区段 1 和 2( 横轴数值的下 标) 分别对应图 2( a) 中的 a 和 b 段． 若对机构提出其 他性能要求，则可行域的区域将发生相应的改变． 至此，用于机构综合的解域图建立完毕． 下面给 出两个 综 合 示 例． 从 可 行 域 中 选 取 一 点 K1 ( 131， － 195) ，则综合得到图 6( a) 所示的 Watt--Ia 型六杆转 向机构，图中给出了机构的首末位置位形及点 PM的运 动轨迹． 为了便于理解，简要说明如下: 根据前文可知，K1 点的横坐标对应图 2( a) 中曲线上一点的横坐标，在此 为铰链点 C01 ( 131. 00，1540. 52) ． K1 点所在的竖直线 为铰链点 C01所对应的解曲线 35--3( 如图 2( b) 所示， 表示为( 35--3) 1 ) 通过映射而得到，则图 2( b) 中曲线 上一点的横坐标对应着 K1 点的纵坐标，在此为铰链点 B1 ( － 195，1730. 74) ． 图 2( b) 与图 4( a) 中的 a、b 和 c 分别对应． 从可行域中另选一点 K2 ( 145，－ 55) ，则综合得到 6( b) 所示的转向机构． 同理可知，K2 点的横、纵坐标 可参考 K1 点来理解，分别对应图 2 ( a) 中铰链点 C02 ( 145. 00，1315. 20 ) 的 横 坐 标 和 图 2 ( c ) 中 解 曲 线 ( 35--3) 2上铰链 点 B1 ( － 55. 00，1570. 09) 的横 坐 标． 图 2( c) 与图 4( a) 中的 a'和 b'分别对应． 因此，从机构 解可行域中任选一点都能得到满足运动要求和杆长比 lmax /lmin≤5 的 Watt--Ia 型六杆转向机构． 图 6 综合所得机构． ( a) K1点对应的机构; ( b) K2点对应的机构 Fig． 6 Synthesized mechanisms: ( a) K1 mechanism; ( b) K2 mechanism 运用基于 MFC 的 VC + + 6. 0 及 OpenGL 编程，可 实现上述全过程的计算机自动实现及其可视化，从而 大大提高了设计人员的设计效率． 4 结论 本文实现了 Watt--I 型六杆刚体导引机构的有限 分离四位置综合，并获得无穷多种 Watt--I 型六杆机 构，为设计者提供了机构的选择空间; 建立了显示回路 缺陷、分支缺陷及无运动缺陷分布的机构解解域，从而 避免了设计者选择机构的盲目性; 根据实际工程需要， 设计者可给予机构其他附加性能，并剔除不满足要求 的机构，这将获得满足实际要求的机构解可行域，根据 附加性能的不同及选取范围的变化，将得到不同的机 构解可行域． 所研发程序可以直接根据给定条件生成 可行域，而不需要绘制解曲线． 综合示例表明了本文 所提出的方法及所开发的综合程序的实用性和有 效性． 参 考 文 献 ［1］ Soh G S，McCarthy J M． The synthesis of six-bar linkages as con￾strained planar 3Ｒ chains． Mech Mach Theory，2008，43 ( 2 ) : 160 ［2］ McCarthy J M，Soh G S． Geometric Design of Linkages． 2nd Ed． New York: Springer-Verlag，2010 ［3］ Soh G S，Ying F T，McCarthy J M． Dimensional synthesis of pla￾nar six-bar linkages by mechanically constrain a PＲＲ serial · 956 ·