第二十九讲 Green函数(二 329.1稳定问题 Green函数的一般性质 建立了稳定问题的Gren函数概念之后,就需要讨论它的一般性质:Gren函数在点源附近 的行为以及Gren函数的对称性 1. Green函数在点源附近的行为 不妨仍然用静电场的语言来描述 Poisson方程第一边值问题的Gren函数.从上一节的分析可 以看到,在空间V中的点电荷,必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布,从而使边界面 成为等位面.当边界接地时,又会得有一部分电荷流失或流入,使得边界面的电势与地相等(取为 0).因此,决定 Green函数的定解问题又可以等价(在V内等价)地写成无界空间中的 Poisson方 v2G(r;r)=--[6(r-r1+(∑)] 其中a(2)是边界面∑上的感生面电荷密度相应地,(定义在V内的Gren函数G(r;r)就应该 是这两部分电荷电势的叠加:单位点电荷6(r-r)的电势Go(r;r)和边界面上的感生电荷(∑) 的电势g(r;r), G(r;r)=G0(r:r)9(r;r) Go(r r) 6(T-r), G0(r;r)= 和因为感生电荷o()只分布在曲面E上,所 以,g(r;r)及其一阶偏导数在曲面∑之外 所以,Go(r;r)在r=r点是不连续的 (特别是,在V内)是处处连续的 把这两部分综合起来,就有 1 tEo T 对于第三类边界条件,也有同样的结果.只不过9(r;r)的具体表达式会得有所不同 对于其他类型的稳定问题,例如 Helmholtz方程的 Green函数 2G(r;r3)+k2(r;r) 也可证明它们的Gre函数具有和 Poisson方程的 Green函数同样的连续性质.除了 T=r点外,G(r;r)在V内是处处连续的.令 0(r;r)=G(r;r')-G(r;r) G(r;r")是相应 Poisson方程的 Green函数.由G(r;r)和G(r;r)所满足的定解问题
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Green ✆✝ (✁ ) §29.1 ✞✟✠✡ Green ☛☞✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖✗✘✙ Green ✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✙✬✭✮✯✰ Green ✚✛✱✲✳✴✵ ✙✶✷✸✹ Green ✚✛✙✺✻✮✼ 1. Green ✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆ ❇❈❉❊❋● ❍■✙❏❑▲▼◆ Poisson❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✼❚❯✬❱✙❲❳❨ ✸❩❬✥✱❭❪ V ❫ ✙ ✲ ❍❴✥ ❵❊ ★✱❘❛❜❯❝❞✬✖✙❡❞ (❜ ) ❍❴❲❢✥ ❚❣❤❘❛❜ ✐✷❥❦❜✼❧❘❛♠♥♦✥ ♣qrs✬t❲ ❍❴✉✈✇✉①✥ ❤r❘❛❜✙ ❍②③♥④❥ (⑤ ✷ 0) ✼⑥⑦✥⑧✖ Green ✚✛✙✖⑨✗✘♣❨✸❥⑩ (✱ V ❶ ❥⑩) ♥❷✐❸❛❭❪ ❫✙ Poisson ❖ P ∇ 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ) + σ(Σ) , ❹ ❫ σ(Σ) ❺ ❘❛❜ Σ ❯✙❡❞❜ ❍❴❻❼✼④❽♥✥ (✖❾✱ V ❶ ✙ )Green ✚✛ G(r; r 0 ) ✦ ❽❿ ❺➀➁t❲ ❍❴ ❍②✙➂➃✰➄❦✲ ❍❴ δ(r − r 0 ) ✙ ❍② G0(r; r 0 ) ➅ ❘❛❜❯✙❡❞ ❍❴ σ(Σ) ✙ ❍② g(r; r 0 ) ✥ G(r; r 0 ) = G0(r; r 0 )g(r; r 0 ). ∇ 2G0(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), G0(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r 0 | ➆✸ ✥ G0(r; r 0 ) ✱ r = r 0 ✲❺❇➇➈✙✼ ➅ ∇2 g(r; r 0 ) = − 1 ε0 σ(Σ). ⑥✷❡❞ ❍❴ σ(Σ) ➉ ❲❢✱ ➊❜ Σ ❯ ✥ ➆ ✸ ✥g(r; r 0 ) ✹❹✬➋➌➍✛✱ ➊❜ Σ ✣➎ (➏➐❺✥✱ V ❶) ❺➑➑➇➈✙✼ ➒ ➀➁t❲➓➔→▲✥✦s G(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r 0 | + g(r; r 0 ). ✺➣◗↔↕❘❛➙➛✥➜s➝➞✙➟➠✼➉ ❇➡ g(r; r 0 ) ✙➢➤➥➦➧qrs➆❇➝✼ ✺➣❹➨↕➩✙✕✖✗✘✥➫➭ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛✥ ∇ 2Gˆ(r; r 0 ) + k 2Gˆ(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V, Gˆ(r; r 0 ) Σ = 0. ➜ ❨➯ ➲ ✫➳✙ Green ✚✛➢s ➅ Poisson ❖P✙ Green ✚✛➝➞✙➇➈✮✯✼➵✔ r = r 0 ✲➎✥ Gˆ(r; r 0 ) ✱ V ❶❺➑➑➇➈✙✼➸ gˆ(r; r 0 ) = Gˆ(r; r 0 ) − G(r; r 0 ), G(r; r 0 ) ❺ ④❽ Poisson ❖P✙ Green ✚✛✼➺ Gˆ(r; r 0 ) ➅ G(r; r 0 ) ➆➻➼✙✖⑨✗✘✥
§29.1稳定问题Gren函数的一般性质 可以导出 V9(r: r)+kg(r: r)=kG(r: r, r,rEV, g(r;rls 由于这个方程右端的G(r;r)在r=r点是以1/r-r的形式发散的,所以,9(r;r) 在该点一定连续(否则v2(r;r)会出现6函数),这就说明G(r;r)和G(r;r)一样, 在r=r点都是以1/r-r1的形式发散的.事实上,从下一节的讨论可知,在r 点附近,一定有 1 cos(Ar-r' G(r;T")"4EO r-r'l 三维空间中Gren函数在点源处的行为,和一维空间中Gren函数不同 ·一维空间中的Gren函数是处处连续的,而它的一阶导数不连续 ·这是容易理解的,因为“点源”的性质并不相同,一维空间中的点源实际上是三维空间中的 ·不难预料,二维空间中的Gren函数也应该表现出不同的行为 对于二维空间中的 Poisson方程第一边值问题,它的Gren函数G(x,y;r',y),是定解问题 2+a1((,0x,)=-6(x-)60=0,(x,(x,)∈ G(,y;r,y) 的解,其中C是平面区域S的边界.容易求得 ln√(x-x)2+(y-y)2+9( 其中第一项是单位点电荷在无界空间中的电势(还可以加上一个常数,取决于电势零点的选取) 在“点源”(实际上是三维空间中的线源)6(x-x)6(y-y)处是对数发散的;第二项g(x,v;x,y)是 边界上的感生电荷产生的电势,在S内处处连续
Wu Chong-shi §29.1 ➽➾➚➪ Green ➶➹➘➴➷➬➮ ➱ 2 ✃ ❨✸➍❐ ∇ 2 gˆ(r; r 0 ) + k 2 gˆ(r; r 0 ) = k 2G(r; r 0 ), r, r 0 ∈ V, gˆ(r; r 0 ) Σ = 0. ➺➣➀❒❖P❮❰✙ G(r; r 0 ) ✱ r = r 0 ✲❺✸ 1/|r − r 0 | ✙Ï➧ÐÑ✙✥ ➆✸ ✥ gˆ(r; r 0 ) ✱ ❿ ✲ ✬✖➇➈ (ÒÓ ∇2 gˆ(r; r 0 ) q❐Ô δ ✚✛) ✥➀✦Õ ➲ Gˆ(r; r 0 ) ➅ G(r; r 0 ) ✬➞ ✥ ✱ r = r 0 ✲Ö❺✸ 1/|r − r 0 | ✙Ï➧ÐÑ✙✼×Ø❯✥ ❚Ù✬❱✙✩✪❨Ú✥✱ r = r 0 ✲✴✵✥✬✖s Gˆ(r; r 0 ) ∼ 1 4πε0 cos(k|r − r 0 |) |r − r 0 | . • ↔Û❭❪ ❫ Green ✚✛✱✲✳➑✙✶✷✥➅ ✬ Û❭❪ ❫ Green ✚✛❇➝✼ • ✬ Û❭❪ ❫✙ Green ✚✛❺➑➑➇➈✙ ✥ ❣ ✫ ✙✬➋➍✛ ❇➇➈✼ • ➀❺ÜÝÞ⑨✙✥ ⑥✷ ß ✲✳à✙✮✯á❇④➝ ✥ ✬ Û❭❪ ❫ ✙ ✲✳Øâ❯❺↔Û❭❪ ❫✙ ❜ ✳ ✼ • ❇ãäå✥æÛ❭❪ ❫✙ Green ✚✛➜❽❿➥Ô❐❇➝✙✶✷✼ ✺➣æÛ❭❪ ❫✙ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✥✫✙ Green ✚✛ G(x, y; x 0 , y0 ) ✥❺✖⑨✗✘ h ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 i G(x, y; x 0 , y0 ) = − 1 ε0 δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ), (x, y),(x 0 , y0 ) ∈ S, G(x, y; x 0 , y0 ) C = 0 ✙⑨✥ ❹ ❫ C ❺ç❜èé S ✙❘❛✼ÜÝêr ✥ G(x, y; x 0 , y0 ) = − 1 2πε0 lnp (x − x 0) 2 + (y − y 0) 2 + g(x, y; x 0 , y0 ), ❹ ❫◗✬ë❺ ➄❦✲ ❍❴✱ ❸❛❭❪ ❫✙ ❍② (ì ❨✸➃❯✬❒í✛✥⑤⑧➣ ❍②î✲ ✙ï⑤) ✥ ✱ ß ✲✳à (Øâ❯❺↔Û❭❪ ❫✙ð✳) δ(x− x 0 )δ(y − y 0 ) ➑❺✺ ✛ ÐÑ✙ñ◗æë g(x, y; x 0 , y0 ) ❺ ❘❛❯✙❡❞ ❍❴❝❞✙ ❍②✥✱ S ❶➑➑➇➈✼
第二十九讲Gren函数(二) 第3页 2. Green函数的对称性 先考察一下前面得到的解式 G(r; r)p()dr'-Eo//f(2)VG(r; r)ly,d2 这个结果在物理意义上有费解之处:在右端的体积分中,G(r;r)代表r处的单位 点电荷在r′处的电势,它乘上在观测点r处的电荷p(r)dr',并对观测点积分,却给 出r处的电势 对这个问题的回答要涉及到 Green函数的对称性.因为,如果像无界空间的 Green 函数那样,关系 G(r;r)=G(r;r) 成立的话,那么,上式就能改写成 ()=//G(:ryrdr-0//(xvr;r)yd 体积分的物理意义就一清二楚了.第二项的面积分当然就是来自边界面上的感生面 电荷的贡献 证明(#)式·和第十一章中的做法一样,再引进G(r;r"),它满足的定解问题当然就是 V2G(r;r")=--6(r-r"),r,r"∈V (;r")lx=0. 将两个方程分别乘以G(r;r")和G(r;r),相减,然后在区域V内积分,就得 G(r;")VG(r; r)-G(r; r)G(r; r)dr (r;r")6(-r)-G(r;r)(r-r")]dr 根据 Green公式,将上式左端的体积分化为面积分,就有 G(r;r")-G(r;,)=-Eo/[G(r; r")VG(r; r)-G( r")VG( r)].d3 代入边界条件,立即得出右端的面积分为0.这样就证明了 将r"改写为r,这就是(#)式 如果是第三类边界条件,上面的结论仍然正确 对于其他类型的稳定问题,它们的 Green函数是否仍然有对称关系(#),需要具体讨论
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 3 ✃ 2. Green ✽✾❄÷øù úûü✬Ùý❜r❬✙⑨➧ u(r) = ZZ Z V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇0G(r 0 ; r) Σ0 · dΣ0 . ➀❒➟➠✱þÞÿ❾❯s⑨ ✣➑✰ ✱❮❰✙➤✁❲ ❫✥ G(r 0 ; r) ✂ ➥ r ➑ ✙➄❦ ✲ ❍❴✱ r 0 ➑ ✙ ❍②✥✫✄ ❯ ✱☎✆✲ r 0 ➑ ✙ ❍❴ ρ(r 0 )dr 0 ✥ á✺☎✆✲ ✁❲ ✥✝✞ ❐ r ➑ ✙ ❍② ✟ ✺ ➀❒✗✘✙ ✠✡★☛ ✹❬ Green ✚✛✙✺✻✮✼⑥✷✥➭➠☞❸❛❭❪✙ Green ✚✛✌ ➞ ✥✍✎➧ G(r 0 ; r) = G(r; r 0 ) (#) ✐✓✙✏ ✥✌✑✥ ❯➧✦✒✓❷✐ u(r) = ZZ Z V 0 G(r; r 0 )ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇0G(r; r 0 ) Σ0 · dΣ0 , ➤✁❲✙þÞÿ❾ ✦ ✬✔ æ✕ ✔✼◗æë✙❜✁❲❧❊ ✦❺▲ ✖❘❛❜❯✙❡❞❜ ❍❴✙✗✘✼ ✙✚ (#) ✛ ✼ ➅◗✜ ✬✢ ❫ ✙✣✤✬➞ ✥✥✦✧ G(r; r 00) ✥✫➻➼✙✖⑨✗✘❧❊ ✦❺ ∇2G(r; r 00) = − 1 ε0 δ(r − r 00), r, r 00 ∈ V, G(r; r 00) Σ = 0. ★ ➁❒❖P❲ ➐✄ ✸ G(r; r 00) ➅ G(r; r 0 ) ✥ ④✩ ✥ ❊ ✤✱èé V ❶ ✁❲ ✥✦r❬ Z ZZ V G(r; r 00)∇2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇2G(r; r 00) dr = − 1 ε0 Z ZZ V G(r; r 00)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )δ(r − r 00) dr = − 1 ε0 G(r 0 ; r 00) − G(r 00; r 0 ) . ✪✫ Green ✬ ➧ ✥ ★❯➧✭ ❰ ✙➤✁❲✮✷❜✁❲ ✥✦s G(r 0 ; r 00) − G(r 00; r 0 ) = −ε0 ZZ Σ G(r; r 00)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇G(r; r 00) · dΣ. ✂ ①❘❛➙➛✥ ✓✯r❐ ❮❰✙❜✁❲✷ 0 ✼ ➀ ➞ ✦ ➯ ➲✔ G(r 0 ; r 00) = G(r 00; r 0 ), ★ r 00 ✓ ❷✷ r ✥➀✦❺ (#) ➧✼ ➭ ➠ ❺◗↔↕❘❛➙➛✥ ❯❜✙➟✪ ❉❊✰✱✼ ✺➣❹➨↕➩✙✕✖✗✘✥✫➳✙ Green ✚✛❺Ò❉❊s✺✻✍✎ (#) ✥✧★➢➤✩✪✼
§29.2三维无界空间 Helmholtz方程的Gren函数 第4页 292三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 V2G(r;r)+k2G(r;r)=--6(r-r),r,r’∈V 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法, ·先求出方程的一个特解,而将方程齐次化; ·将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ·这又是一个特殊的非齐次方程:只在r=r点,非齐次项才不为0 ·而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变性 使问题得到充分的简化 首先作坐标平移, 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r)=9(5,n,),于是,9(5,n,)满足方程 n(5,n,()+k29(,n,()=--6(5)6(n)5() 其中 020 是以直角坐标ξ,,为自变量的 Laplace算符.容易看出,变换后的方程是旋转不变的,g(5,n,) 只是R=P2+m2+的函数,g(∈,n,)=f(B).因此,如果将直角坐标系(,n)转换为球坐标 系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 +k f(r) 原因是在在R=0点只存在单侧导数)以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球Bese方程,它的通解是 f(R)=A(k)-+B(k) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) 无穷远条件定B(k)考虑到 Helmholtz方程的实际背景,比如说,它是由波动方程经过分离 变量(分离去时间部分)得到的.作为一个例子,假设要求得到的解在无穷远处为发散波.取时间 因子为e-u,则解式中的第一项为发散波,第二项为会聚波.所以,应该有B(k)=0
Wu Chong-shi §29.2 ✲✳✴✵✶✷ Helmholtz ✸✹➘ Green ➶➹ ➱ 4 ✃ §29.2 ✺✻✼✽✾✿ Helmholtz ❀❁✌ Green ☛☞ ê↔Û❸❛❭❪ ❫ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛✥✯ ✱↔Û❸❛❭❪ ❫ê⑨ ❖P ∇2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. ✍ ➣❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✥✤❜ ✥✩✪✼ ➀❒❖P❺✬ ❒❄❅❆❖P✥⑥⑦✥ ❨✸❇❈ê ⑨ ❄❅❆❖P✙❉❊✣✤✥ • ú ê ❐ ❖P✙✬❒➏⑨ ✥ ❣★ ❖P❅❆✮ñ • ★ G(r; r 0 ) ❇④❽❅❆✗✘✙❋●✚✛❍■✼ ➀➁❏ ✣✤✥➏➐❺◗æ❏ ✣✤✥❑Ó ❯▲s▼ ✑◆ã ✥➀❖ ❇P➢➤✙◗❘✼ • ➀ ♣ ❺ ✬ ❒➏❙ ✙ ❄❅❆❖P✰ ➉✱ r = r 0 ✲✥❄❅❆ë❚❇✷ 0 ✼ • ❣❯ ✥ ➺➣➀❺✱❸❛❭❪✥❨✸❱❧♥❲❳❨❉❩✥ ✸❬❲Ð❭ Laplace ❪❫✙❇❴✮ ✥ ❤✗✘r❬❬❲✙❵✮✼ ❛úP❨❉ç❜✥ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , ✯★✲ ❍❴➆✱✲⑤✷❝❨❉✎ ✙ ❑✲ ✼➸ G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ) ✥ ➣ ❺✥ g(ξ, η, ζ) ➻➼❖P ∇2 ξ,η,ζ g(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), ❹ ❫ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ❺ ✸❞❡❨❉ ξ, η, ζ ✷ ✖❴❢✙ Laplace ❪❫✼ ÜÝ❩❐✥ ❴❣✤ ✙ ❖P❺❤✐❇❴✙ ✥ g(ξ, η, ζ) ➉❺ R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ✙ ✚✛✥ g(ξ, η, ζ) = f(R). ⑥⑦✥➭ ➠★❞❡❨❉✎ (ξ, η, ζ) ✐ ❣✷❥❨❉ ✎✥Ó❖P★❴✷ R 6= 0 ✲➑✙ ❅❆❖P 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (❑ ⑥ ❺✱✱ R = 0 ✲➉❦✱ ➄❧➍ ✛) ✸✹ R = 0 ✲➑✙❘❛➙➛ (✱ R = 0 ✲➑s✬➄❦✲ ❍ ❴ ) ✼⑦❖P❺î➋❥ Bessel ❖P✥✫✙♠⑨ ❺ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . ✪✫ R = 0 ➅ ❸❂❃➑ ✙❘❛➙➛✖❐í✛ A(k) ➅ B(k) ✼ ♥♦♣qrs B(k) ût❬ Helmholtz ❖P✙Øâ✉✈✥✇➭Õ✥✫❺ ➺①②❖P③ ➡❲④ ❴❢ (❲④⑤♦ ❪ t❲) r❬✙✼P✷✬❒➫⑥✥⑦⑧★êr❬✙⑨✱ ❸❂❃➑ ✷ÐÑ①✼ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó⑨➧ ❫ ✙ ◗ ✬ë✷ÐÑ① ✥◗æë✷q⑨①✼➆✸ ✥ ❽❿s B(k) = 0 ✼
第二十九讲 Green函数 第5页 剩下的常数A(k)就应该由R=0处的绍首条件设自再即由R=0处三维的强度设自 无 比R=0处非边界条件定4()这穷羌按能直将聚式代波B=0处的绍着条件两是fP 9(5,n,()在R=0处导数并按存在另一里再我们已经约自再凡是涉6函数的球式都应 该才积安意义下去理聚于是再很自准无再应侧将里在R=0无界的小体积内积安再 间移 左端,一项的体积安应侧化积安 VE n cf(r)dodds Vnf(R)·d∑ 子间 无 间方 这样就坐回避掉在R=0三的求导间题上这个小体积 球心再。间 球体再则 v2., f(R)dednds=//VE n< f(R)-d3 /02 -4丌A(k)(1-ikp)elP 介 二项的体积安坐直通算出再 f(r)dedndc 47A(k) RdR 1)-ikpeih 将这些结果代回充(式再就定 所再A(k)=1/47=0,k无关这样再最、就求出了三维无首算 Helmholtz里a的Gren函数 法 g(5,n,()=f(R) 羌 侧k=0穷再这个结果就回充 Poisson里的Gren函数 最再需。说明再这个结果是在无劳远处发散波再并且,穷算 -t的条件下件充 设想如果求无穷远处条聚波再并且标,穷算 e-ut再则Gren函数应该是 G(r;r) 如果是其他形式的无穷远条件再侧准还条件充其他形式的聚 无
Wu Chong-shi òóôõö Green ➶➹ (ó ) ➱ 5 ✃ ⑩Ù✙í✛ A(k) ✦ ❽❿ ➺ R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛⑧ ✖ ✥ ✯ ➺ R = 0 ➑✲✳✙❶❼ ⑧ ✖✼ R = 0 ❷❄❸❹qrs A(k) ➀ ♦á❇ ✒ ❞♠★⑨➧✂ ① R = 0 ➑ ✙❘❛➙➛✥❑ ⑥ ❺ f(R) ✇ g(ξ, η, ζ) ✱ R = 0 ➑ ✙➍✛ á❇ ❦✱ ✼❺✬ ❖ ❜ ✥❻➳ ❼③❽✖ ✥❾❺☛ ✹ δ ✚✛✙❥➧Ö ❽ ❿❚✁❲ ÿ ❾Ù⑤ Þ ⑨✼➣❺✥❿ ✖❊♥ ✥ ❽❧★ ❖P✱ R = 0 ✴✵✙➀➤✁ ❶ ✁❲ Z ZZ ✥ ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ + k 2 ZZZ f(R)dξdηdζ = − 1 ε0 . (z) ✭ ❰◗✬ë✙➤✁❲❽❧✮✷❜✁❲ Z ZZ ∇2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = ZZ h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ, ⑥✷➀ ➞ ✦ ❨✸ ✠➁➂✱ R = 0 ✲ ✙ ê ➍✗✘✼⑤➀❒➀➤✁✷✸ R = 0 ✲ ✷❥➃✥ ρ ✷➄➅✙ ❥➤ ✥Ó ZZ Z ∇ 2 ξ,η,ζ f(R)dξdηdζ = Z Z h ∇ξ,η,ζ f(R) i · dΣ = Z Z df(R) dR R 2 sin θdθdφ R=ρ = −4πA(k)(1 − ikρ)eikρ . ◗æë✙➤✁❲❨✸❞♠ ❪ ❐ ✥ Z ZZ f(R)dξdηdζ = 4πA(k) Z ρ 0 e ikRRdR = 4πA(k) k 2 h (eikρ − 1) − ikρe ikρi . ★ ➀➆ ➟➠✂ ✠❬ (z) ➧ ✥✦s −4πA(k) = − 1 ε0 , ➆✸ ✥ A(k) = 1/4πε0, ③ k ❸ ✍ ✼ ➀ ➞ ✥ ➇ ✤✦ê❐✔↔Û❸❛❭❪ Helmholtz ❖P✙ Green ✚✛ g(ξ, η, ζ) = f(R) = 1 4πε0 e ikR R , ✇ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ❧ k = 0 ♦ ✥➀❒➟➠✦ ✠❬ Poisson ❖P✙ Green ✚✛✼ ➇ ✤✥✧★Õ ➲ ✥➀❒➟➠❺✱❸❂❃➑ ✷ÐÑ① ✥ á❯ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✙➙➛Ùr❬ ✙✼❨✸⑧➈✥➭➠ ★ê❸❂❃➑ ✷q⑨① ✥ á❯❉ ⑤ ♦ ❪ ⑥ ⑥ ✷ e −iωt ✥Ó Green ✚✛❽❿❺ G(r; r 0 ) = 1 4πε0 e −ik|r−r 0 | |r − r 0 | . ➭ ➠ ❺ ❹➨Ï➧✙❸❂❃➙➛✥ ❧❊ ì qr❬❹➨Ï➧✙⑨✼