量子物理的基本概念和物理图像 北京大学物理系甘子钊教授 二十世纪科学的一个最影响深远的进步是量子力学的发现。它整个改变了人们对物质 世界和物质运动的观念。和相对论的发现相比,也许可以说,它影响的范围是更深刻和巨大 的。但是,也许是由于理解量子力学的内容需要较多的数学工具,而且关于它的基本概念和 物理图象,确实直到现在还存在许多重大的争议,还有各种不同的阐述的角度和方法。所以, 面对一般公众和青少年的关于量子力学的读物比起关于相对论的要少得多。 有一位著名的科学家,诺贝尔奖金得主说过:“尽管许多科学家都在用量子力学,但是 看来似乎谁都没有完全懂得量子力学”。伟大的爱因斯坦,他是相对论的主要发现者,也是 对量子力学的发现起过重要作用的学者,可是他直到逝世都不能接受现在绝大多数科学工作 者都接受的对量子力学的阐述,终其一生都认为量子力学现在还不是一个完全的科学理论 现在看来,围绕如何理解量子力学最基础部分的争论还要继续下去,不是很快会有定论的 但是,在现代人的生活中,量子力学的具体影响是越来越大了:有人把半导体工业叫 做量子力学产业,激光技术有一个名字就叫做量子电子学,现代的化学、材料科学、核能利 用等也离不开量子力学,近十多年来,一类全新的技术,直接应用量子力学的原理来进行通 信和计算正在兴起。总之,要给公众和青少年讲一讲量子力学的基本观念和物理图象似乎也 是必要的。我是一个做具体的做物理教学和科学研究工作的人,对物理学的基本问题向来很 少探讨,是属于只是“用”而“没有完全懂得量子力学”的那种人。这次接受了给同学们作 次有关科学发展的讲座的任务,便想试着来作一次尝试,不用太多的数学工具来阐述一下 量子力学的基本观念。我知道对我来说这个任务是很困难的,甚至会发生许多错误。把这当 作和大家一起谈谈心,交流交流认识或许是更合适的。 经典物理学对世界的规律性的描述 人们研究自然科学,总是基于有一种确信,确信自然界(物质世界)的运动发展是有 规律的,世界的统一性就统一在规律性上。但是什么叫做有规律?这种规律性应该怎样表 述?现代自然科学的第一个成熟的体系是牛顿力学。他给了人们一个规律性的典范 我们同学都学习过牛顿的力学的基本规律,大家知道牛顿第二定律是:一个质量为m 的质点,受到外力F的作用 F=ma;力=质量x加速度; 加速度是速度随时间的变化率,速度是位置坐标随时间的变化率;用数学的语言说,速度是 位置坐标对时间的一次微商,加速度是位置坐标对时间的二次微商,所以牛顿第二定律用数 学来描述是: dx F 这是一个微分方程,牛顿为了发展他的力学的理论,也发展了关于微积分的基本理论。按照 微积分的基本理论,如果我们知道,在开始时(即t=0)x(质点的位置)和v(质点的速 度)的值,知道F(力)作为t的函数(质点受到的力随时间的变化),就可以通过解这个微 分方程得到以后任何时间(任何t>0)的x和v的值。按照牛顿的观念,一个质点在力学上 看,它的运动状态就是它的位置和速度,所以,如果一个质点所受到的力知道了,它一开始
1 量子物理的基本概念和物理图像 北京大学物理系 甘子钊教授 二十世纪科学的一个最影响深远的进步是量子力学的发现。它整个改变了人们对物质 世界和物质运动的观念。和相对论的发现相比，也许可以说，它影响的范围是更深刻和巨大 的。但是，也许是由于理解量子力学的内容需要较多的数学工具，而且关于它的基本概念和 物理图象，确实直到现在还存在许多重大的争议，还有各种不同的阐述的角度和方法。所以， 面对一般公众和青少年的关于量子力学的读物比起关于相对论的要少得多。 有一位著名的科学家，诺贝尔奖金得主说过：“尽管许多科学家都在用量子力学，但是 看来似乎谁都没有完全懂得量子力学”。伟大的爱因斯坦，他是相对论的主要发现者，也是 对量子力学的发现起过重要作用的学者，可是他直到逝世都不能接受现在绝大多数科学工作 者都接受的对量子力学的阐述，终其一生都认为量子力学现在还不是一个完全的科学理论。 现在看来，围绕如何理解量子力学最基础部分的争论还要继续下去，不是很快会有定论的。 但是，在现代人的生活中，量子力学的具体影响是越来越大了：有人把半导体工业叫 做量子力学产业，激光技术有一个名字就叫做量子电子学，现代的化学、材料科学、核能利 用等也离不开量子力学，近十多年来，一类全新的技术，直接应用量子力学的原理来进行通 信和计算正在兴起。总之，要给公众和青少年讲一讲量子力学的基本观念和物理图象似乎也 是必要的。我是一个做具体的做物理教学和科学研究工作的人，对物理学的基本问题向来很 少探讨，是属于只是“用”而“没有完全懂得量子力学”的那种人。这次接受了给同学们作 一次有关科学发展的讲座的任务，便想试着来作一次尝试，不用太多的数学工具来阐述一下 量子力学的基本观念。我知道对我来说这个任务是很困难的，甚至会发生许多错误。把这当 作和大家一起谈谈心，交流交流认识或许是更合适的。 一．经典物理学对世界的规律性的描述 人们研究自然科学，总是基于有一种确信，确信自然界（物质世界）的运动发展是有 规律的，世界的统一性就统一在规律性上。但是什么叫做有规律？这种规律性应该怎样表 述？现代自然科学的第一个成熟的体系是牛顿力学。他给了人们一个规律性的典范。 我们同学都学习过牛顿的力学的基本规律，大家知道牛顿第二定律是：一个质量为 m 的质点，受到外力 F 的作用： F = ma ; 力＝质量 x 加速度； 加速度是速度随时间的变化率，速度是位置坐标随时间的变化率；用数学的语言说，速度是 位置坐标对时间的一次微商，加速度是位置坐标对时间的二次微商，所以牛顿第二定律用数 学来描述是： v dt dx = ， F dt d x m = 2 2 。 这是一个微分方程，牛顿为了发展他的力学的理论，也发展了关于微积分的基本理论。按照 微积分的基本理论，如果我们知道，在开始时（即 t=0）x (质点的位置)和 v （质点的速 度）的值，知道 F (力)作为 t 的函数（质点受到的力随时间的变化），就可以通过解这个微 分方程得到以后任何时间（任何 t>0）的 x 和 v 的值。按照牛顿的观念，一个质点在力学上 看，它的运动状态就是它的位置和速度，所以，如果一个质点所受到的力知道了，它一开始
时的运动状态知道了,它以后任何时间的运动状态也是完全确定的了。牛顿力学最先考虑的 问题是天体的运动,比如,地球和各个行星围绕太阳的运动,他认为如果太阳对这些行星的 作用力,这些行星相互之间的作用力都知道了;这些行星开始时的位置和速度也都知道了, 以后任何时候这些行星的运动状态便完全是确定的了。牛顿就是从这些行星的运动轨道都是 椭圆的事实推断出行星和太阳之间,行星相互之间的万有引力定律:而后科学家们才在实验 室中用精确的测量证实了这个万有引力定律。 我们在这里不是要具体讲牛顿的力学理论,而是要说它反映出牛顿对物质世界运动的规 律性的基本观念。在牛顿看来,只要对一个力学系统的性质(在这里是组成系统的质点的质 量),物质相互间的作用(各个质点间相互作用力),以及在t=0时系统的运动状态(对质点 来说就是它们的位置和速度)了解了,以后任何时候系统的运动状态(就是任何时候这些粒 子的位置和速度)便是完全确定的。牛顿认为世界的规律性就应该是这样的。可以说这是 个完全决定论(这是一个哲学的词汇,是一种对世界万物发展的规律性的看法)的规律观 牛顿力学获得了伟大的成功,使人们深信自然规律就应该是牛顿这个观念的。在牛顿力 学发展以后,以法拉第、麦克斯韦为代表的电学、磁学研究建立起来的电磁理论的基本观念 也是这样的。麦克斯韦总结出一套描写电场和磁场以及电场和磁场如何与带电质点作用的方 程式。如果在开始时(t=0),空间中每一点上的电场和磁场的大小和方向都给定了;空间中 所有的带电粒子的初始位置和初始速度也都知道了:每个粒子的电荷和质量事先也都知道 了,通过求解电磁场的麦克斯韦方程和粒子远动的牛顿方程,以后任何时刻空间每点的电场 和磁场(例如电场强度和磁场强度的大小和方向)以及每个粒子的状态(它的位置和速度) 都是完全确定的。所以他把电磁学的这个理论叫做电动力学 当然实际上我们不可能把一个系统受到的所有作用都完全了解,也不可能对它开始的条 件了解得完全清楚、精确。比如说,发射一个炮弹,如果我们知道炮弹射出炮筒口的速度和 方向,炮弹所受到地球重力的作用,按照力学理论就可以计算出炮弹的轨迹,计算出它的落 地点。当然更仔细的计算还应该引进其它一些因素,比如说空气的阻力,气流的扰动,炮弹 本身的转动,炮架子的反冲等等。计算炮弹的轨迹是一门专门的学问,叫做弹道学。但是不 管怎样考虑,最后实际测量到的落地点和计算结果总有一定的偏离。为什么会有偏离?就是 因为对各种因素和开始条件的知识总不可能百分之百的准确。例如即令在炮弹发射时没有 风,但是实际上空气不会完全停止,总有一些弱的气流,说没有风,不过是等于说,平均起 来没有一定方向流动的气流罢了。气流会使炮弹地落点向气流方向偏移,所以实际上看到的 炮弹的落点就会是围绕计算出来的落点的一个分布。这就牵涉到另一个关于事物演变发展的 规律的概念,叫做几率(也叫做概率,或然率…等等)的概念 几率的概念听说最早起源于赌博,一个例子是掷骰子,一个骰子是一个对称的六面体 每次把骰子掷下去,出来的是骰子的哪一面是随机的(不一定的),但如果掷骰子的次数多 了,每一个面出现的次数就会近于总次数的六分之一。人们就说掷骰子是一个随机过程,每 个面出现的几率是亠。显然,每次掷骰子时,按照力学的规律,从掷骰子的初始条件和环 境条件(抛出的高度,方向,骰子转动的速度,气流等等)是可以预见到结果是那一面出来 的:但是由于对初始条件和环境条件不可能知道得那么具体和仔细,掌握得那么准确,结果 就变成随机的了;但是掷骰子大量次数后,各种条件都会遇到,结果,出现哪一个面的数目 就是是总次数的了。 我们在中学都学过的基因学说也是一个易于理解的例子,孟德尔(G. Mendel,1822 1884),这位生活在19世纪的修士,在经过十多年对豌豆的性状(例如种子的皮是平滑的还 是皱褶的,花是紫色还是白色的,杆是高的还是矮的,…等等)遗传的观察后,1865年
2 时的运动状态知道了，它以后任何时间的运动状态也是完全确定的了。牛顿力学最先考虑的 问题是天体的运动，比如,地球和各个行星围绕太阳的运动，他认为如果太阳对这些行星的 作用力，这些行星相互之间的作用力都知道了；这些行星开始时的位置和速度也都知道了， 以后任何时候这些行星的运动状态便完全是确定的了。牛顿就是从这些行星的运动轨道都是 椭圆的事实推断出行星和太阳之间，行星相互之间的万有引力定律；而后科学家们才在实验 室中用精确的测量证实了这个万有引力定律。 我们在这里不是要具体讲牛顿的力学理论，而是要说它反映出牛顿对物质世界运动的规 律性的基本观念。在牛顿看来，只要对一个力学系统的性质（在这里是组成系统的质点的质 量），物质相互间的作用（各个质点间相互作用力），以及在 t=0 时系统的运动状态(对质点 来说就是它们的位置和速度)了解了，以后任何时候系统的运动状态（就是任何时候这些粒 子的位置和速度）便是完全确定的。牛顿认为世界的规律性就应该是这样的。可以说这是一 个完全决定论（这是一个哲学的词汇，是一种对世界万物发展的规律性的看法）的规律观。 牛顿力学获得了伟大的成功，使人们深信自然规律就应该是牛顿这个观念的。在牛顿力 学发展以后，以法拉第、麦克斯韦为代表的电学、磁学研究建立起来的电磁理论的基本观念 也是这样的。麦克斯韦总结出一套描写电场和磁场以及电场和磁场如何与带电质点作用的方 程式。如果在开始时（t=0），空间中每一点上的电场和磁场的大小和方向都给定了；空间中 所有的带电粒子的初始位置和初始速度也都知道了；每个粒子的电荷和质量事先也都知道 了，通过求解电磁场的麦克斯韦方程和粒子远动的牛顿方程，以后任何时刻空间每点的电场 和磁场（例如电场强度和磁场强度的大小和方向）以及每个粒子的状态（它的位置和速度） 都是完全确定的。所以他把电磁学的这个理论叫做电动力学。 当然实际上我们不可能把一个系统受到的所有作用都完全了解，也不可能对它开始的条 件了解得完全清楚、精确。比如说，发射一个炮弹，如果我们知道炮弹射出炮筒口的速度和 方向，炮弹所受到地球重力的作用，按照力学理论就可以计算出炮弹的轨迹，计算出它的落 地点。当然更仔细的计算还应该引进其它一些因素，比如说空气的阻力，气流的扰动，炮弹 本身的转动，炮架子的反冲等等。计算炮弹的轨迹是一门专门的学问，叫做弹道学。但是不 管怎样考虑，最后实际测量到的落地点和计算结果总有一定的偏离。为什么会有偏离？就是 因为对各种因素和开始条件的知识总不可能百分之百的准确。例如即令在炮弹发射时没有 风，但是实际上空气不会完全停止，总有一些弱的气流，说没有风，不过是等于说，平均起 来没有一定方向流动的气流罢了。气流会使炮弹地落点向气流方向偏移，所以实际上看到的 炮弹的落点就会是围绕计算出来的落点的一个分布。这就牵涉到另一个关于事物演变发展的 规律的概念，叫做几率（也叫做概率，或然率…等等）的概念。 几率的概念听说最早起源于赌博，一个例子是掷骰子，一个骰子是一个对称的六面体，， 每次把骰子掷下去，出来的是骰子的哪一面是随机的（不一定的），但如果掷骰子的次数多 了，每一个面出现的次数就会近于总次数的六分之一。人们就说掷骰子是一个随机过程，每 个面出现的几率是 6 1 。显然，每次掷骰子时，按照力学的规律，从掷骰子的初始条件和环 境条件（抛出的高度，方向，骰子转动的速度，气流等等）是可以预见到结果是那一面出来 的；但是由于对初始条件和环境条件不可能知道得那么具体和仔细，掌握得那么准确，结果 就变成随机的了；但是掷骰子大量次数后，各种条件都会遇到，结果，出现哪一个面的数目 就是是总次数的 6 1 了。 我们在中学都学过的基因学说也是一个易于理解的例子，孟德尔（G.Mendel，1822－ 1884），这位生活在 19 世纪的修士，在经过十多年对豌豆的性状（例如种子的皮是平滑的还 是皱褶的，花是紫色还是白色的，杆是高的还是矮的，…..等等）遗传的观察后，1865 年
他在发表的一篇文章中,提出遗传基因假说:他把豌豆分作纯种的和杂交的,纯种和纯种的 豌豆交配后,下一代性状不变:比如说纯种的表皮平滑的豌豆种和同样表皮平滑的豌豆种交 配的后代,表皮还是平滑的,表皮皱褶的和皱褶的交配还是皱褶的。如果把表皮平滑的纯种 和表皮皱褶的纯种杂交,下一代的表皮还是平滑的。孟德尔把平滑和皱褶两种性状中的平滑 叫做显性,把皱褶叫做隐性。他又发现如果把第一代杂交得到的这些种子(记住它们都是表 皮平滑的)再交配,杂交的第二代便又有表皮平滑的,又有表皮皱褶的,而且。大体上说, 平滑的和皱褶的数目之比是1:3左右。他对杂交出现的性状分布做了解释,他说豌豆里对 应于性状的是一对因子,如果把显性因子(表皮平滑)记做A,隐性因子(表皮皱摺)记做 a。纯种的因子便是AA(表皮平滑纯种)或aa(表皮皱褶纯种):交配的过程是把 对基因拆开,再分别配上。显然纯种拆开再交配得到的还是纯种。如果AA和aa杂交,第 代出来的都只能是Aa,它们都表现出显性。第二代便不同了,第二代是两个Aa杂交, 每个分裂为两部分因子A和a,各占1/2,交配起来应该有(1/2)×(1/2)=(1/4)的可能性是AA, 表现是显性。同样(1/4)是a,表现是隐性。还有(1/2)=(1/4)+(1/4)是Aa或aA,表现 出来也是显性。所以,出现隐性性状的几率是1/4,出现显性性状的是3/4,两者的比是1 3,这便是实验看到的结果 我们看到在这里,每个基本过程:A和A结合得到是显性,A和a结合是显性,a和a 结合是隐性,这是完全决定性的,一点也不含糊,但是因为这里发生的大量的过程中,每次 每个基因碰上哪样的基因,是随机的,只能预见一个可能性,也就是几率。如果一个结果可 以通过不同过程达到,例如,A和a,或a和A,或A和A结合都得到显性,那么,出现这个 显性的几率等于各个过程几率的和3/4。 研究几率的数学理论叫做几率论。19世纪科学界对几率的理解是和牛顿的力学以及经 典的电磁理论的决定论观念没有矛盾的。他们认为基本的物理过程是决定论的,每一个物理 过程的结果是没有任何含糊的。只是在处理大量类似的过程时,由于每一个具体的过程会有 一些人们不可能彻底了解或控制的条件,所以结果会有一定的随机性。对大量的结果的统计 会有一定的规律。十九世纪的科学家发展起来的统计力学也就是关于物质的分子运动的研 究,是这个观念在物理学的体现,很显然,它和牛顿力学的基本精神是完全一致的,它的名 字也反映了这点。 由于牛顿力学取得伟大的成功,而且它又有那样严格的体系,这种严格的决定论的观 念就成为一种世界观,成为人们对物质世界的规律的一种基础的观念。20世纪物理学的两 个重大的革命:相对论的发现和量子力学的发现,前者动摇的是传统的对时间和空间的观念 但是它对自然界规律的观念还是严格的与经典力学一致的:量子力学的发现却从根本上动摇 了这种观念。 粒子的波动性和怎样理解物质波 十九世界末,科学界的研究开始深入到原子的内部,科学家认识到,原子是由原子核 和电子组成的,中间是一个带正电的原子核,外面是围绕着原子核运动的电子,有点像太阳 系中行星围绕太阳运动一样。电子是带负电的粒子,就是到现在科学界还没有找到一个实验 现象来证明电子有一定的大小,所以,电子还真的是非常合适用质点来描述的。可是按照十 九世纪电磁学的理论,电子围绕原子核运动一定会辐射出电磁波来,于是电子的动能就会越 来越小,它最后只好掉到原子核上去。但事实上却没有发生这样的事情。这就告诉人们,在 原子内部这样微观的尺度上,运动规律是和过去牛顿和麦克斯韦等的理论(也就是经典的物 理理论)不一样的。人类探索微观世界的规律的历史,也就是量子力学被发现的历史,是非 常动人和有教益的,可惜由于时间有限的缘故,在这里没有可能来和大家一起回顾这段动人 的故事了
3 他在发表的一篇文章中，提出遗传基因假说：他把豌豆分作纯种的和杂交的，纯种和纯种的 豌豆交配后，下一代性状不变；比如说纯种的表皮平滑的豌豆种和同样表皮平滑的豌豆种交 配的后代，表皮还是平滑的，表皮皱褶的和皱褶的交配还是皱褶的。如果把表皮平滑的纯种 和表皮皱褶的纯种杂交，下一代的表皮还是平滑的。孟德尔把平滑和皱褶两种性状中的平滑 叫做显性，把皱褶叫做隐性。他又发现如果把第一代杂交得到的这些种子（记住它们都是表 皮平滑的）再交配，杂交的第二代便又有表皮平滑的，又有表皮皱褶的，而且。大体上说， 平滑的和皱褶的数目之比是 1：3 左右。他对杂交出现的性状分布做了解释，他说豌豆里对 应于性状的是一对因子，如果把显性因子（表皮平滑）记做 A, 隐性因子（表皮皱摺）记做 a 。纯种的因子便是 AA（表皮平滑纯种） 或 aa（表皮皱褶纯种） ；交配的过程是把一 对基因拆开，再分别配上。显然纯种拆开再交配得到的还是纯种。如果 AA 和 aa 杂交，第 一代出来的都只能是 Aa , 它们都表现出显性。第二代便不同了，第二代是两个 Aa 杂交， 每个分裂为两部分因子A和a，各占1/2，交配起来应该有(1/2)×(1/2)=(1/4)的可能性是 AA, 表现是显性。同样(1/4) 是 aa ，表现是隐性。还有（1/2）=(1/4)+(1/4)是 Aa 或 aA,表现 出来也是显性。所以，出现隐性性状的几率是 1/4，出现显性性状的是 3/4,两者的比是 1： 3，这便是实验看到的结果。 我们看到在这里，每个基本过程：A 和 A 结合得到是显性，A 和 a 结合是显性，a 和 a 结合是隐性，这是完全决定性的，一点也不含糊，但是因为这里发生的大量的过程中，每次 每个基因碰上哪样的基因，是随机的，只能预见一个可能性，也就是几率。如果一个结果可 以通过不同过程达到，例如，A 和 a,或 a 和 A，或 A 和 A 结合都得到显性，那么，出现这个 显性的几率等于各个过程几率的和 3/4。 研究几率的数学理论叫做几率论。19 世纪科学界对几率的理解是和牛顿的力学以及经 典的电磁理论的决定论观念没有矛盾的。他们认为基本的物理过程是决定论的，每一个物理 过程的结果是没有任何含糊的。只是在处理大量类似的过程时，由于每一个具体的过程会有 一些人们不可能彻底了解或控制的条件，所以结果会有一定的随机性。对大量的结果的统计 会有一定的规律。十九世纪的科学家发展起来的统计力学也就是关于物质的分子运动的研 究，是这个观念在物理学的体现，很显然，它和牛顿力学的基本精神是完全一致的，它的名 字也反映了这点。 由于牛顿力学取得伟大的成功，而且它又有那样严格的体系，这种严格的决定论的观 念就成为一种世界观，成为人们对物质世界的规律的一种基础的观念。20 世纪物理学的两 个重大的革命：相对论的发现和量子力学的发现，前者动摇的是传统的对时间和空间的观念， 但是它对自然界规律的观念还是严格的与经典力学一致的；量子力学的发现却从根本上动摇 了这种观念。 二．粒子的波动性和怎样理解物质波 十九世界末，科学界的研究开始深入到原子的内部，科学家认识到，原子是由原子核 和电子组成的，中间是一个带正电的原子核，外面是围绕着原子核运动的电子，有点像太阳 系中行星围绕太阳运动一样。电子是带负电的粒子，就是到现在科学界还没有找到一个实验 现象来证明电子有一定的大小，所以，电子还真的是非常合适用质点来描述的。可是按照十 九世纪电磁学的理论，电子围绕原子核运动一定会辐射出电磁波来，于是电子的动能就会越 来越小，它最后只好掉到原子核上去。但事实上却没有发生这样的事情。这就告诉人们，在 原子内部这样微观的尺度上，运动规律是和过去牛顿和麦克斯韦等的理论(也就是经典的物 理理论)不一样的。人类探索微观世界的规律的历史，也就是量子力学被发现的历史，是非 常动人和有教益的，可惜由于时间有限的缘故，在这里没有可能来和大家一起回顾这段动人 的故事了
科学界探索微观世界规律的关键一步是在20世纪20年代,认识到电子这类微观粒子 的行为同时具有粒子和波的特性。粒子的典型图象就是一棵棵飞驰的子弹,波的典型图象就 是当一块石子投入水中时产生的一圈圈的水波。原来物理学界认为波是连续介质运动的一种 方式,认为光是电磁场的波动。波有干涉、衍射这类现象,光波的干涉、衍射实验在中学物 理课中我们都学习过了。1905年,爱因斯坦首先指出,光波在传播上是波动,但是在它和 物质作用,交换能量和动量时,却是有粒子的特点。他提出,光波一方面是波,另一方面却 是一束微粒一“光子”,每个光子具有能量hv,v是光波的频率(每单位时间电磁场振动 的次数),h是一个普适的常数,叫做普朗克( Planck,德国物理学家)常数;具有动量hk, k是光波的波矢,是长度等于波长的倒数,方向是光波传播的方向的一个矢量。爱因斯坦的 这个观念随后在实验上得到完全的证实 1924年法国物理学家德布罗意提出,电子既是一个粒子,它同时也可以看做是波,波 的频率v=E/h,E是电子的能量,h是普朗克常数,波的波矢就是k=p/h,p是电子的动量 他认为用他的这个看法可以较好的理解在此之前丹麦科学家波尔提出的原子理论,这个理论 当时和实验现象符合得很好。德布罗意的看法不久就得到实验直接证明:电子束打在晶体上, 会出现和光打在晶体上类似的衍射干涉现象。最为明确的是电子束通过开在一个屏上的一个 或一对狭缝,再打到屏后的照相板上出现的单缝和双缝衍射图象,和光束的单缝、双缝衍射 图象完全是一样的。物理学家因此把电子这类“物质”粒子的波叫做德布罗意波,把德布罗 意提出的粒子的能量和动量与德布罗意波的频率和波矢的关系叫做德布罗意关系。在德布罗 意提出粒子的波动性后,薛定格把这个类比于光学中波动理论和几何光学理论,提出粒子 的德布罗意波所应该满足的波动方程式,后来人们把这个方程叫做薛定格方程。薛定格方程 把德布罗意的观点和当时波尔和海森堡等从另一角度提出来的,也可以解释原子物理现象的 矩阵力学统一起来了,这便开始建立了量子力学。薛定格方程是描述物质的德布罗意波怎样 随时间、空间变化的方程,在一定意义上说,求解薛定格方程就类似于求解牛顿力学的方程 是用来预言物理客体随时间演化的规律。物理学家们也用这个新的理论解释了一系列原子 分子和原子核的物理现象,得到了很显著的成功 对光波来说,波是电磁场的波,波的振幅就是在空间这个点上周期变化的电磁场的振幅 光的强度是正比于电磁场的振幅的平方的。那么对电子来说,它的德布罗意波的振幅是什么 意思呢?从前面说到的电子在单缝、双缝和晶体上衍射的实验现象,德国物理学家玻恩提出, 德布罗意波振幅的平方是在该处发现电子的几率密度。刚刚提出来时,人们一下子还没觉得 这个想法隐含着多么严重的对原来的观念的挑战。但是随后认真的分析就显出这个严重性来 了。为什么呢? 相干涉射波 暗带斑 行射波 图1光的行为象波 圆形波双缝的每一个相互干涉,在视屏t产生明暗相间的斑纹。清晰地证 了,就此实验来说,光的行为象波
4 科学界探索微观世界规律的关键一步是在 20 世纪 20 年代，认识到电子这类微观粒子 的行为同时具有粒子和波的特性。粒子的典型图象就是一棵棵飞驰的子弹，波的典型图象就 是当一块石子投入水中时产生的一圈圈的水波。原来物理学界认为波是连续介质运动的一种 方式，认为光是电磁场的波动。波有干涉、衍射这类现象，光波的干涉、衍射实验在中学物 理课中我们都学习过了。1905 年，爱因斯坦首先指出，光波在传播上是波动，但是在它和 物质作用，交换能量和动量时，却是有粒子的特点。他提出，光波一方面是波，另一方面却 是一束微粒 —“光子”，每个光子具有能量 hν，ν 是光波的频率（每单位时间电磁场振动 的次数），h 是一个普适的常数，叫做普朗克（Planck,德国物理学家）常数；具有动量 hk， k 是光波的波矢，是长度等于波长的倒数，方向是光波传播的方向的一个矢量。爱因斯坦的 这个观念随后在实验上得到完全的证实。 1924 年法国物理学家德布罗意提出，电子既是一个粒子，它同时也可以看做是波，波 的频率 ν＝E/h,E 是电子的能量，h 是普朗克常数，波的波矢就是 k＝p/h，p 是电子的动量。 他认为用他的这个看法可以较好的理解在此之前丹麦科学家波尔提出的原子理论，这个理论 当时和实验现象符合得很好。德布罗意的看法不久就得到实验直接证明：电子束打在晶体上， 会出现和光打在晶体上类似的衍射干涉现象。最为明确的是电子束通过开在一个屏上的一个 或一对狭缝，再打到屏后的照相板上出现的单缝和双缝衍射图象，和光束的单缝、双缝衍射 图象完全是一样的。物理学家因此把电子这类“物质”粒子的波叫做德布罗意波，把德布罗 意提出的粒子的能量和动量与德布罗意波的频率和波矢的关系叫做德布罗意关系。在德布罗 意提出粒子的波动性后 ，薛定格把这个类比于光学中波动理论和几何光学理论，提出粒子 的德布罗意波所应该满足的波动方程式，后来人们把这个方程叫做薛定格方程。薛定格方程 把德布罗意的观点和当时波尔和海森堡等从另一角度提出来的，也可以解释原子物理现象的 矩阵力学统一起来了，这便开始建立了量子力学。薛定格方程是描述物质的德布罗意波怎样 随时间、空间变化的方程，在一定意义上说，求解薛定格方程就类似于求解牛顿力学的方程， 是用来预言物理客体随时间演化的规律。物理学家们也用这个新的理论解释了一系列原子、 分子和原子核的物理现象，得到了很显著的成功。 对光波来说，波是电磁场的波，波的振幅就是在空间这个点上周期变化的电磁场的振幅， 光的强度是正比于电磁场的振幅的平方的。那么对电子来说，它的德布罗意波的振幅是什么 意思呢？从前面说到的电子在单缝、双缝和晶体上衍射的实验现象，德国物理学家玻恩提出， 德布罗意波振幅的平方是在该处发现电子的几率密度。刚刚提出来时，人们一下子还没觉得 这个想法隐含着多么严重的对原来的观念的挑战。但是随后认真的分析就显出这个严重性来 了。为什么呢？
密度 屏 图2电了强度分布 通过单个小孔的电子束在与小孔正对的位置上呈现出最大的分布; 是一束粒子束应该表现的方式 双狭缝 A 乜子束 两缝都开只开启一 启时观察缝时观察 到的图到的图 图3实际观察到的电子强度分布 法国著名数学家和工程师傅立叶在19世纪就指出,一个随时间变化的过程可以分解为许 多随时间周期性地变化地过程的叠加;数学上这叫做傅立叶分解。比如时间延续△t的这样 个脉冲,就可以用频率范围为1/△t的一组随时间周期变化的三角函数来叠加得到(换句 话说,可以用频率范围为1/△t的一组波来叠加得到)。同样,空间范围延续△x的一个“峰 也可以用波数(等于波长的倒数)范围为1/△x的波叠加得到。按德布罗意关系,波数相对 于粒子的动量。所以如果说,找到粒子的几率集中在一个范围为空间尺度是△x的区间中, 这等于说,粒子空间坐标的范围是在尺度为△x的区间里面,于是这个粒子的动量便是在范 围h/△x里面。粒子空间坐标的范围越小,动量的范围便越大。德国物理学家海森堡从这个 分析得出一个结论:在量子力学中,粒子的坐标愈加确定,它的动量便愈加不确定,反过来 动量愈加确定,坐标便愈加不确定,他用一个公式来表述 h 这里的h就是前面说过的普朗克常数,△x是粒子坐标的不确定范围,△p是动量的不确定 范围,人们把这个关系式叫做海森堡测不准关系。一个作实验的例子是:有一束平均速度为 v(平均动量为p=mv,m是粒子的质量)的粒子通过一个宽度为△x的缝,△x表示了对粒子位 置的确定度;可是由于波动性,这束粒子通过狭缝会发生衍射,它从缝中出来的方向要散开 狭缝愈窄,散开愈大。按德布罗意关系,这个散开表示它的动量不确定。如果做点具体的计
5 法国著名数学家和工程师傅立叶在 19 世纪就指出，一个随时间变化的过程可以分解为许 多随时间周期性地变化地过程的叠加；数学上这叫做傅立叶分解。比如时间延续△t 的这样 一个脉冲，就可以用频率范围为 1/△t 的一组随时间周期变化的三角函数来叠加得到（换句 话说，可以用频率范围为 1/△t 的一组波来叠加得到）。同样，空间范围延续△x 的一个“峰” 也可以用波数（等于波长的倒数）范围为 1/△x 的波叠加得到。按德布罗意关系，波数相对 于粒子的动量。所以如果说，找到粒子的几率集中在一个范围为空间尺度是△x 的区间中， 这等于说，粒子空间坐标的范围是在尺度为△x 的区间里面，于是这个粒子的动量便是在范 围 h/△x 里面。粒子空间坐标的范围越小，动量的范围便越大。德国物理学家海森堡从这个 分析得出一个结论：在量子力学中，粒子的坐标愈加确定，它的动量便愈加不确定，反过来 动量愈加确定，坐标便愈加不确定，他用一个公式来表述： 2 h xp ； 这里的 h 就是前面说过的普朗克常数，△x 是粒子坐标的不确定范围，△p 是动量的不确定 范围，人们把这个关系式叫做海森堡测不准关系。一个作实验的例子是：有一束平均速度为 v(平均动量为 p=mv,m 是粒子的质量)的粒子通过一个宽度为△x 的缝，△x 表示了对粒子位 置的确定度；可是由于波动性，这束粒子通过狭缝会发生衍射，它从缝中出来的方向要散开， 狭缝愈窄，散开愈大。按德布罗意关系，这个散开表示它的动量不确定。如果做点具体的计