第三十二讲变分法初步(续 第三十二讲变分法初步(续) §321泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 设有二元函数fx,y),它取极值的必要条件》25=0 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 0f=0.,o 0. ·还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(r, y) 下求∫(x,引)的极值.这时,在原则上,可以由约束条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的ψ·这样,上述条件极值间题就转化为一元函数∫(x,h(x)的普通极值问题,它取极值的 必要条件就是 0f+an(r=0 ·对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需要知 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 从而求出 ag/ dr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ x ay ag/ 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着自变 量数目的增多,公式也就越来越麻烦
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 1 ☞ ✌✍✎✏✑ ✒✓✔✕✖ (✗) §32.1 ✘✙✚✛✜✢✣ ✤ ✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✰✱✲ • ✳✴✵✪✫✬ f(x, y) ✶✷✸✮✯✭✹✺✻✼✽ df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. ✾✿ dx, dy ❀❁✶❂❃✵✪✫✬ f(x, y) ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❄❅❃❆❇ ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. • ❈✴❉✧❊✵ ✪✫✬✭✮✯✰✱✶✵✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✶❋●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏ f(x, y) ✭✮✯✲❑▲✶●▼◆❖✶❅ ❃ P❍■✻✼◗❘ y = h(x) ✶❙❚❯❱ f(x, y) ❲ ✭ y ✲❑❳✶❖❨✻✼✮✯✰✱❩❬❭✿✧✪✫✬ f(x, h(x)) ✭❪❫✮✯✰✱✶✷✸✮✯✭ ✹✺✻✼❩✽ ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. • ❴❵❑❛❜❝❈✴❉✧❞❡◗✲✾✿❖❢❣❤✐✺❥❦❧♠ y = h(x) ✭♥♦♣✶ qr✐ ✺❧ ♠ dy dx ≡ h 0 (x). ❑❳✶st❤✹ (●✉✩✬✈✇★①❤ ❅②) ❏❘ y = h(x) ✶ ❩❅❃③④❴❍■✻✼⑤⑥ ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, ⑦q❏❘ dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , ❵ ✽ ❋ ❅⑧❖❨✵✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❆❇ ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. ⑨ ⑩❶❷❸✶❹❺❻❼ ❽❾ ❿➀➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉❶➊➋✲➌➍✶ ➎➏ ➄ ➅ ➆ ➉ ➐❶➑ ➂✶➒➓➔→➣↔➣↕➙✲
§321泛函的条件极值 ·在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题. 例如,对于上面的在约束条件 g(a, y)=C 下求函数f(x,y)的极值问题,就可以引进 Lagrange乘子A,而定义一个新的二元函数 h(a, y)=f(r, y)-Ag(a, y) 仍将x和y看成是两个独立变量,这样,这个二元函数取极值的必要条件就是(容易看出,消去 入,这就能化为上面给出的必要条件) o=A)=0. y 由此可以求出 代回到约束条件中,定出 Lagrange乘子A的数值,就可以求出可能的极值点(x,y) 如果是更多个自变量的多元函数,也可以同样地处理.如果涉及多个约来条件,也就 需引入多个 Lagrange乘子即可 现在回到泛函的条件极值问题. 如果要求泛函 在边界条件 yao)=a, y(1=b 以及约束条件 Jily 下的极值,则可定义 Joly=Jy-AJ1lyl 仍将8y看成是独立的,则泛函J在边界条件下取极值的必要条件就是 (F-MG)=0. 由此微分方程、边界条件以及约束条件,必要时经过甄别,就可以求出 Lagrange乘子的值A=A 极值函数y=y(x,A0),以及相应的泛函J[的条件极值 例32.1求泛函 ①为了以后的方便,这里的 Lagrange乘子前面多了一个负号
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 2 ☞ • ●➢➤ ❲✶➥➦➤ Lagrange ➧➨➩ ➫➭❡✩✪✫✬✭✻✼✮✯✰✱✲ ➯➲✶❴❵❖❢✭ ●❍■✻✼ g(x, y) = C ★❏✫✬ f(x, y) ✭✮✯✰✱✶ ❩❅❃➳➵ Lagrange ➸➺ λ ✶ q➻➼✧❛➽✭✵ ✪✫✬ ➾ h(x, y) = f(x, y) − λg(x, y). ➚⑧ x ➪ y ➶❇✽➹❛➘➴➷➬✶ ❑❳✶ ❑❛✵ ✪✫✬✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ (➮➱➶❘ ✶❯❱ λ ✶ ❑❩②❭✿ ❖❢✃❘✭✹✺✻✼) ∂(f − λg) ∂x = 0, ∂(f − λg) ∂y = 0. P❐❅ ❃ ❏❘ x = x(λ), y = y(λ), ❒ ✥❮❍■✻✼ ❲✶➻❘ Lagrange ➸➺ λ ✭✬✯✶ ❩❅❃ ❏❘❅②✭✮✯❰ (x, y) ✲ ÏÐ➍➁ ➂➃ ➄ ➅➆❶ ➂➇➈➉✶➔Ñ ÒÓÔÕÖ×✲ÏÐ ØÙ ➂➃ ÚÛÜÝ✶➔→ Þ ß àá ➂➃ Lagrange âã äÑ✲ å ● ✥❮æ✫✭✻✼✮✯✰✱✲ ➲❝✺❏æ✫ J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y0 ) dx ●çè✻✼ y(x0) = a, y(x1) = b ❃é❍■✻✼ J1[y] ≡ Z x1 x0 G(x, y, y0 ) dx = C ★✭✮✯✶◆❅➻➼ J0[y] = J[y] − λJ1[y], ➚⑧ δy ➶❇✽➘➴✭✶◆æ✫ J0[y] ●çè✻✼★✸ ✮✯✭✹✺✻✼❩✽ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 (F − λG) = 0. P❐ ⑤⑥êëìçè✻✼❃é❍■✻✼✶ ✹✺▲íîïð✶ ❩❅❃ ❏❘ Lagrange ➸➺✭✯ λ = λ0 ì ✮✯✫✬ y = y(x, λ0) ✶❃éñò✭æ✫ J0[y] ✭✻✼✮✯✲ ó 32.1 ❏æ✫ I[y] = Z 1 0 x y02 dx ➾ ôõö÷øùúûüýø Lagrange þÿ✁✂õ✄☎✆✝✞
第三十二讲变分法初步(续 第3页 在边界条件 )有界,y(1)=0 和约束条件 y2 下的极值曲线 解采用上面描述的 Lagrange乘子法,可以得到必要条件 -正b)(y2-Ax)=0 dd dx/taz 此方程及齐次的边界条件即构成一个本征值问题,它的本征值 A=12,两是零阶贝塞耳函数J(x)的第i个正零点,i=1,2,3, 正好就是 Lagrange乘子,而极值函数就是相应的本征函数 yi(a)=CJo (uir) 常量C可以由约束条件定出.因为 C2/x6()dx=()=1, 所以 这样,就求出了极值函数 y()=n1(m(r 由于 Lagrange乘子的引进,在 Euler- Lagrange方程出现了待定参量,和齐次边界条件组合在 一起,就构成本征值问题.而作为本征值问题,它的解,本征值和本征函数,有无穷多个.这里有 两个问题需要讨论 ★第一个问题,这无穷多个本征函数都是极值函数 这可以从下面的变分计算看出.由边界条件以及由此推得的 5y有界, 可以求出I的一级变分 61=2/xy(y)dx, 进而可以求出I的二级变分 6l=2x0)>0
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 3 ☞ ●çè✻✼ y(0) ✴è, y(1) = 0 ➪❍■✻✼ Z 1 0 x y2 dx = 1 ★✭✮✯ ✟✠✲ ✡ ☛ ➤❖❢☞❨ ✭ Lagrange ➸➺✌✶ ❅ ❃✍ ❮✹✺✻✼ ∂ ∂y − d dx ∂ ∂y0 x y02 − λ x y2 = 0, ❋ d dx x dy dx + λ x y = 0. (#) ❐ êëé✎✏✭ çè✻✼❋✑❇ ✧❛✒✓✯✰✱✶✷✭✒✓✯ λi = µ 2 i , µi ✽✔✕✖✗✘✫✬ J0(x) ✭✙ i ❛❦✔❰ ✶i = 1, 2, 3, · · · ❦✚❩✽ Lagrange ➸➺✶q✮✯✫✬❩✽ñò✭✒✓✫✬ yi(x) = C J0 (µix). ➦ ➬ C ❅ ❃ P❍■✻✼➻❘✲✾✿ C 2 Z 1 0 x J 2 0 (µix) dx = C 2 2 J 2 1 (µi) = 1, ❂❃ C = √ 2 J1(µi) . ❑❳✶ ❩❏❘✛✮✯✫✬ yi(x) = √ 2 J1(µi) J0(µix). P❵ Lagrange ➸➺✭ ➳➵✶● Euler–Lagrange êë❘å✛✜➻✢➬ ✶➪✎✏çè✻✼✣✤● ✧✥ ✶ ❩ ✑❇ ✒✓✯✰✱✲q✦✿✒✓✯✰✱✶✷ ✭◗✶ ✒✓✯ ➪ ✒✓✫✬✶✴✧★✩❛✲❑✩ ✴ ➹❛✰✱✐ ✺✪✫✲ F ✙✧❛✰✱✶ ❑ ✧★✩❛✒✓✫✬✬✽✮✯✫✬✲ ❑❅❃ ⑦★❢ ✭➷⑥✭✮➶ ❘✲Pçè✻✼❃é P❐✯✍✭ δy x=0 ✴è, δy x=1 = 0. ❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭✧✰➷⑥ δI[y] = 2 Z 1 0 x y0 (δy) 0 dx, ➵ q❅ ❃ ❏❘ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥ δ 2 I[y] = 2 Z 1 0 x δy 0 2 dx > 0
§321泛函的条件极值 第4页 因为泛函I的二级变分恒取正值,所以这些极值函数均使泛函取极小 ★第二个问题是,这无穷个本征值正好也就是泛函的极值.这是因为,将方程(#)乘以极 值函数y(x),再积分,就有 a/zy dr=-/y(y)'dr=-y ry dz r y dr 根据约束条件,就能得到 ry- dr 最后,还要提到,这一类泛函的条件极值问題的原型,可以追溯到“闭合曲线周长一定而 面积取极大”的原始几何问題.因此,泛函的条件极值问题,常称为等周问题( isoperimetric problem
Wu Chong-shi §32.1 ➛➜➝➞➟➠➡ ☛ 4 ☞ ✾✿æ✫ I[y] ✭ ✵ ✰➷⑥✱ ✸ ❦✯✶❂❃❑✲✮✯✫✬✳✴æ✫✸ ✮✵✲ F ✙ ✵ ❛✰✱✽✶ ❑ ✧★❛✒✓✯❦✚①❩✽æ✫✭✮✯✲❑✽✾✿✶ ⑧êë (#) ➸❃✮ ✯✫✬ y(x) ✶✶✷⑥ ✶ ❩ ✴ λ Z 1 0 x y2 dx = − Z 1 0 y x y0 0 dx = −y · x y0 1 0 + Z 1 0 x y02 dx = Z 1 0 x y02 dx, ✸✹❍■✻✼✶ ❩②✍ ❮ λ = Z 1 0 x y02 dx. ✺✻✶✼✽✾➀✶✿❀ ❁❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆❶❇❈✶Ñ Ò❉❊➀ ❋ ●❍ ■❏❑▲❀▼◆ ⑩❖P❃◗❘❶❇❙❚❯ ❅ ❆✲❱❲ ✶❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅❆ ✶ ❳❨❩❬❑ ❅ ❆ (Isoperimetric problem) ✲
第三十二讲变分法初步(续 第5页 322微分方程定解问题和本征值问题的变分形式 泛函取极值的必要条件的微分形式( Euler- Lagrange方程)是常微分方程或偏微分方程, 它和变量函数的定解条件结合起来,就构成常微分方程或偏微分方程的定解问题 对于泛函的条件极值问题,其必要条件中出现待定参量( Lagrange乘子),它和齐次边 界条件结合起来,就构成微分方程本征值问题 这一节将研究它的反问题:如何将微分方程的定解问題或本征值问题转化为泛函的极 值或条件极值问題,或者说,如何将微分方程的定解问题或本征值问題用变分语言表 例32.2写出常微分方程边值问题 d dz p(z)dz + g()y()=f(), to<Isri, y(xo)=0,y(x1)=y1 的泛函形式,即找出相应的泛函,它在边界条件()下取极值的必要条件即为(#) 解既然泛函极值必要条件的微分形式就是方程(#),那么,这个方程一定来自 ∫d I p()=+q(a)y()-f()5 5y(ar)dr =0 现在的问题就是要把上式左端化成某一积分的变分,这对于该积分被积函数的第二、三项是很容 易实现的, q(r)y()sy(r)dc q(r)y(a)dz, f(r)by(a)dr=8 f(a)y(r)dr 已知函数q(x)和∫(x)是与y(x)的变分无关的,因此,在变分计算中,它们都是常 对于被积函数中的第一项,可以分部积分, p(r)Sy(r)dx= p(a)8y(r dr dr 6|p(x)()dr 其中用到了y(x)=(x),=0.把上面的结果综合起来,就得到 "{≈ +q()y(x)-f(x)}6y(x) 2p()(a)-(z)y()+f()y( dr
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠ (✡) ☛ 5 ☞ §32.2 ❭❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢✣❜❝✚❣❪❤✐ ❂ ➈ P ❃❄❶❥✽ ÜÝ❶❦❧➋ ➓ (Euler–Lagrange ♠♥) ➍❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥✶ qr➅➆➈➉❶▼sÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❳❦❧♠♥♦♣❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆① ②③❂ ➈❶ ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶④❥✽ ÜÝ ⑤⑥⑦⑧▼⑨➆ (Lagrange âã) ✶ qr⑩❶❷ ❸ ÜÝt ❍✉↔✶→✈✇❦❧♠♥❹❺❄ ❅ ❆✲ ✿❀ ❻❼❽ ❾q❶❿ ❅ ❆➀Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➁➂❩❂ ➈❶ ❃ ❄♦ÜÝ❃❄ ❅ ❆ ✶♦➃➄✶Ï❯❼❦❧♠♥❶▼s ❅ ❆ ♦❹❺❄ ❅ ❆➅➅❧➆➇➈ ➉✲ ó 32.2 ❆ ❘ ➦ ⑤⑥êëç ✯✰✱ d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) = f(x), x0 < x < x1, (#) y(x0) = y0, y(x1) = y1 (z) ✭æ✫✇♣✶❋➊ ❘ ñò✭æ✫✶✷●çè✻✼ (z) ★ ✸ ✮✯✭✹✺✻✼❋ ✿ (#) ✲ ✡ ➋ ❙ æ✫✮✯✹✺✻✼✭⑤⑥✇♣❩✽êë (#) ✶➌➍✶ ❑❛êë✧➻ ➫ ➎ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = 0. å ● ✭✰✱❩✽✺➏ ❖ ♣➐➑❭ ❇➒ ✧ ✷ ⑥✭➷⑥✶ ❑ ❴❵➓✷⑥➔ ✷ ✫✬✭✙ ✵ ì→➣✽↔ ➮ ➱➢å✭ ✶ Z x1 x0 q(x)y(x)δy(x)dx = 1 2 δ Z x1 x0 q(x)y 2 (x)dx, Z x1 x0 f(x)δy(x)dx =δ Z x1 x0 f(x)y(x)dx. ↕➙ ➈➉ q(x) r f(x) ➍➛ y(x) ❶➅❧➜ ➝❶ ✶ ❱❲ ✶ ➞➅❧➟➠ ⑤✶ q➡➢➍❳➆✲ ❴❵➔ ✷ ✫✬ ❲ ✭✙✧➣ ✶ ❅ ❃ ⑥➤ ✷ ⑥ ✶ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx δy(x) dx = p(x) dy dx δy(x) x1 x0 − Z x1 x0 p(x) dy dx d(δy) dx dx = − Z x1 x0 p(x) dy dx δ dy dx dx = − 1 2 δ Z x1 x0 p(x) dy dx 2 dx, ➥ ❲➤❮✛ δy(x) x0 = δy(x) x1 = 0 ✲➏ ❖❢✭❜❝➦✤✥➫✶❩ ✍ ❮ Z x1 x0 d dx p(x) dy dx + q(x)y(x) − f(x) δy(x) dx = −δ Z x1 x0 ( 1 2 " p(x) dy dx 2 − q(x)y 2 (x) # + f(x)y(x) ) dx