第二十五讲分离变量法总结(二 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义25.1设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和v,恒有 (v,Lu)=(Mt,u)即 Ludr=/(Mu)ud 则称M是L的伴算符 例25.1若 于是 所以,当u和υ都满足边界条件 y(a)=y(b) 时,的伴算符是 dr 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 u" Mud (Mu)"udr u·*LUdx (Lu)udz 所以,L也是M的伴算符 例2521dz2,容易证明 dr=u*u'-(u*yu+ udr dr 所以,当函数u和v都满足 三类边界条件 (a)+1y(a)=0 (其中|af2+112≠0,|a2+|B22≠0)或周期条件 ar的伴算符就是它自身
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠✡☛ (✁ ) Sturm-Liouville ☞✌✍✎✏✑✒✓✔ §25.1 ✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣ ✤✥ 25.1 ✦ L ✧ M ★✩✪✫✬✩✭✮✯✰ ✱✲ (✳✴) ✵✶✷✸✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼ ✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷❀❁ (v, Lu) = (Mv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ❃❄ M ❅ L ✲ ❆❇❈ ❉ ❊ 25.1 ✸ L = d dx ✷✺❅ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❋●✷❍ u ✧ v ■❏❑▲▼◆❖ y(a) = y(b) P ✷ d dx ✲◗✵✶❅ − d dx ❉ ✩✪ 25.1 ❘✲✵✶ M ✧ L ❅❙★◗✵✶✷❚★❯❱ M ❅ L ✲◗✵✶✷❃ ✹✺✼ ✽ ✭✮ u ✧ v ✷❲❁ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❋●✷ L ❲❅ M ✲◗✵✶❉ ❊ 25.2 ✦ L = d 2 dx 2 ✷❳❨❩ ❬ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a d 2 v dx 2 ∗ udx. ❋●✷❍✭✮ u ✧ v ■❏❑✬❭❪❭❫❴▲▼◆❖ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❵ ❘|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❛❜❝◆❖ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) P ✷ d 2 dx 2 ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ❉
§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (u, Lu)=(Lu, u)Ep/v Ludr=/(Lv),udz 则称L是自伴算符 例25.3在和例4完全相同的条件下,算符就是自伴算符 d dr=- dr udr udr 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上, ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 ·函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内. 绝不能脱离边界条件的约束来讨论算符的自伴性 个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例23.4设L=1过,而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 du* 一udx dz (aa*-1)u(a)u’(a)+ ( u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(r)= Ay(a) 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了
Wu Chong-shi §25.1 ❤ ✐❥❦❧♠♥♦♣q r 2 s ✤✥ 25.2 ✸✵✶ L ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ✷❂✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷ ❀❁ (v, Lu) = (Lv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ❃❄ L ❅ t❆❇❈ ❉ ❊ 25.3 ✫✧✉ 4 ✈✇①②✲◆❖③✷✵✶ i d dx ❞❅ ❢◗✵✶❉ Z b a v ∗ i du dx dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a i dv dx ∗ udx. ✵✶✲ ❢◗④✷⑤❅✧✬✩✲✭✮✯✰⑥⑦✫✬⑧✲❉⑨⑩✷❶❷⑤❅❸❹ • ✭✮✩✪✫❺✩✲❻✰❼✷ • ✭✮❽❁❑❾✲❿➀④ (✉❯✷✹✺❪➁✳✴✵✶✷❞❸❹✭✮✲❪➁➂✮❿➀✷➃ ➄ ✴➅❿➀➆❯❱❅➇▼❻✰✷❃ ❸❹✭✮➈➉➊➋) ✷ ❚➌✷➍➎❼⑤❅➏✺ Hilbert ✯✰❉➐➑✷➒❸❹ • ✭✮❏❑✬✩✲▲▼◆❖✷❂⑤❅➓➏✫ Hilbert ✯✰ ❘✲✬✩➔✯✰ ✱❉ →➣↔↕➙▲▼◆❖✲➛➜➝➞➟✵✶✲ ❢◗④❉ ✬ ✿ ✵✶✷①✹✺➠✬❴✭✮❅ ❢◗✲✷➡✹✺➢✬❴✭✮✷❞➊↔➣❅ ❢◗✲❉ ❊ 25.4 ✦ L = i d dx ✷➤➥▲▼◆❖➦➧➨✬➩✲➫➭ y(b) = αy(a), α★ (➯) ⑩✮. ✺❅ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a i dv dx ∗ u dx. ❋●➲❁▲▼◆❖ ❘✲ α ❏❑ αα∗ = 1 P ✷✵✶ i d dx ➳❅ ❢◗✲❉ ✤✥ 25.3 ✦ L ★ ❢◗✵✶✷❃ ➉➵ Ly(x) = λy(x) ❄ ★ ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❉ ➾➚➪❁ ❬➶➹➘➴➷▲▼◆❖✷❅❚★❡ ➬➮➱✃✫ ❢◗✵✶ L ✲✩✪ ❘❐❉
第二十五讲 Sturn- liouville型方程的本征值问题 第3页 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ·性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ·性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 取复共轭 由于L是自伴算符,所以 y'Ly-(Ly)y]dz=(A-A)/yy'dr=0 又因为/vydx≠0,所以 即证得本征值入为实数.口 性质3自伴算符的本征函数具有正交性,即对应不同本征值的本征函数一定正交 证设A和与是不相等的两个本征值,对应的本征函数为v和y, L=Ay,L=与 注意到本征值A,)为实数,于是 ML-(L)明dr=(4-A)/d 因为A≠与,所以 y i(ar)yi ()dr=0 这样就证明了本征函数的正交性.口 由于本征函数是齐次微分方程在齐次边界条件下的解,所以将本征函数乘以一个非零常数因 子仍然是本征函数.我们就可以适当选择这个常数因子,使得对于任意一个本征值λ,都有 yi()yi()dr=1 这样得到的就是一个正交归一的函数组 yi(a)yi (a)dr = 5ij
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 3 s ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❽❁③ÔÕ✿Ö❸✲×➸④ØÙ • ÚÛ 1 ❢◗✵✶✲➸➺➻ÜÝÞ✫❉(➣ ❩) • ÚÛ 2 ❢◗✵✶✲➸➺➻Ü★➍✮❉ ß ❚★ Ly = λy, ➦➯àá (Ly) ∗ = λ ∗ y ∗ . â ✺ L ❅ ❢◗✵✶✷❋● Z b a [y ∗Ly − (Ly) ∗ y] dx = (λ − λ ∗ ) Z b a yy∗dx = 0. ã ❚★ Z b a yy∗ dx 6= 0 ✷ ❋● λ = λ ∗ , ❂❩ä➸➺➻ λ ★➍✮❉ • ÚÛ 3 ❢◗✵✶✲➸➺✭✮❽❁åæ④✷❂✹ç➣ ②➸➺➻✲➸➺✭✮✬✩åæ❉ ß ✦ λi ✧ λj ❅ ➣ ①è✲✾✿➸➺➻✷✹ç✲➸➺✭✮★ yi ✧ yj ✷ Lyi = λiyi , Lyj = λjyj. é✽ê➸➺➻ λi , λj ★➍✮✷✺❅ Z b a [y ∗ i Lyj − (Lyi) ∗ yj ] dx = (λj − λi) Z b a y ∗ i yjdx. ❚★ λi 6= λj ✷ ❋● Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = 0. ➾ë❞❩ ❬❐➸➺✭✮✲åæ④❉ â ✺➸➺✭✮❅➴➷✳✴➉➵✫➴➷▲▼◆❖③✲ì✷❋●➥➸➺✭✮í● ✬ ✿îï⑩✮❚ ➔ðÝ❅➸➺✭✮❉❶❷❞➊●ñ❍òó➾✿⑩✮❚➔✷ôä✹✺✼✽ ✬ ✿ ➸➺➻ λi ✷■❁ Z b a y ∗ i (x)yi(x)dx = 1. ➾ëä ê ✲❞❅✬✿ õö÷øùúûü ❉ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = δij .
§25.1自伴算符的本征值问题 第4页 ·性质4自伴算符的本征函数(的全体)构成一个完备函数组,即任意一个在区间,b中有 连续二阶导数、且满足和自伴算符L相同的边界条件的函数f(x),均可按本征函数{yn(x)} 展开为绝对而且一致收敛的级数 f(x)=∑cnn(x) 其中 f(a)y()d yn(a)y*()dz 特别是,如果本征函数组是归一化的,则上式中的分母为1,展开的形式更加简单.(不证) 同样,正交归一的本征函数组的完备性也还可以表示成 ∑m(x)n(x')=6x-x) ·由上面的性质3和4可以看到,只要将本征函数适当归一化,则本征函数的全体就构成了 个完备的正交归一函数集.因此,上一节中有关完备的正交归一函数集的讨论均可适用 ·这里暂时忽略掉一种可能性,即对应于一个本征值可能有不止一个(线性无关的)本征函数, 因而可能并不彼此正交.这种情形将在25.3节讨论·但即使如此,总还可以采用 Schmidt的 正交化步骤(见书18.1节使之正交化,因而仍然可以得到一个完备的正交归一函数集 ·事实上,上面的展开条件还可以放宽为:对于任意在a,b中平方可积的函数,(#)式在平均 |a->(ad=0 的意义下仍然成立 严格说来,上面关于自伴算符本征值的存在性和本征函数的完备性的讨论,本来还 应当区分奇异的(区间无界或半无界;或是在有界区间上微分方程有奇点)和非奇异的 (区间有界,且微分方程在区间上无奇点)本征值问题这两种情形.但由于并没有给出有 关的证明,所以也就未曾区分这两类本征值问题.而且,为了叙述的方便,在有关的表 述中都采用了有界区间的形式
Wu Chong-shi §25.1 ❤ ✐❥❦❧♠♥♦♣q r 4 s • ÚÛ 4 ❢◗✵✶✲➸➺✭✮ (✲✇ý) þ➧✬✿ ✈ÿ✭✮✷❂✼✽ ✬ ✿ ✫❻✰ [a, b] ❘❁ ❿➀❪➁➂✮❭➑❏❑✧ ❢◗✵✶ L ①②✲▲▼◆❖✲✭✮ f(x) ✷ ✁ ➊✂➸➺✭✮ {yn(x)} ✄☎★ → ✹➤➑✬✆✝✞✲✟✮ f(x) = X∞ n=1 cnyn(x), (#) ❵ ❘ cn = Z b a f(x)y ∗ n(x)dx Z b a yn(x)y ∗ n(x)dx . ✠✡❅✷❯❱➸➺✭✮❅☛✬☞✲✷❃ ❼➭ ❘✲✴✌★ 1 ✷ ✄☎✲➫➭➨✍✎✏❉(➣ ❩) ② ë ✷åæ☛✬✲➸➺✭✮✲✈ÿ④❲➒➊●✑✒➧ X∞ n=1 yn(x)y ∗ n(x 0 ) = δ(x − x 0 ). • â ❼✓✲④Ø 3 ✧ 4 ➊ ●✔ê ✷ ➲ ❸➥➸➺✭✮ñ ❍☛✬☞✷ ❃ ➸➺✭✮✲✇ý❞þ➧❐✬ ✿ ✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕❉❚➌✷❼✬✖ ❘❁✗✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕✲➞➟✁ ➊ ñ✘ ❉ • ➾➚✙P✚✛✜✬✢➊ ↔ ④✷❂✹ç✺✬✿ ➸➺➻➊↔ ❁ ➣✣ ✬ ✿ (✤④➇✗✲) ➸➺✭✮✷ ❚➤➊↔ ➐ ➣✥ ➌åæ❉➾ ✢✦➫➥✫ 25.3 ✖➞➟❉➡❂ô❯➌✷⑤➒➊●✧✘ Schmidt ✲ åæ☞★✩ (✪✫ 18.1 ✖) ô✬åæ☞✷❚➤ðÝ➊● ä ê ✬ ✿ ✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕❉ • ✭➍❼✷❼✓✲ ✄☎◆❖➒➊●✮✯★Ù✹✺✼✽ ✫ [a, b] ❘➈➉➊➋✲✭✮✷ (#) ➭✫➈✁ ✝✞ lim N→∞ Z b a f(x) − X N n=1 cnyn(x) 2 dx = 0 ✲ ✽ ✪③ðÝ➧✰❉ ✱✲✳➝✷❼✓✗✺ ❢◗✵✶➸➺➻✲Þ✫④✧➸➺✭✮✲✈ÿ④✲➞➟✷➸➝➒ ç❍❻✴✴✵✲ (❻✰➇▼❛✶➇▼➆❛❅✫❁▼❻✰❼✳✴➉➵❁✴✷) ✧ î ✴✵✲ (❻✰❁▼✷➑✳✴➉➵✫❻✰❼➇✴✷) ➸➺➻➼➽➾✾✢✦➫❉➡ â ✺➐➪ ❁❺➘❁ ✗✲❩ ❬✷❋●❲❞✸ ✹❻✴➾✾❴➸➺➻➼➽❉➤➑✷★❐✺✻✲➉✼✷✫❁✗✲ ✑ ✻ ❘■✧✘❐❁▼❻✰✲➫➭❉
第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X"+XX=0; 1-x2y=0 1 d/ dR R=0. r dr dr 它们可以归纳为下面的一般形式 p(x)+[\p(a)-q(r)ly 这种类型的方程称为Stum- Liouville型(简称SL型)方程 ·不妨把S-L型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀)因此,就我们所关心的物理间题而言,不妨假设p(x)≥0 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 d -正pa+( (※) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(x)=入p(x)y(x S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成SL型方程的本征值问题.λ称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(并#)明显不同于方程 Lu(r)= Au(r
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 5 s §25.2 Sturm–Liouville ✽✾✿✙✚✛✜✢✣ ✫❀✓Õ❁ ❘✷❶❷➞➟❂Õ ✿ ⑩✳✴➉➵✲➸➺➻➼➽❉❃❄✲✳✴➉➵❁ X00 + λX = 0; d dx 1 − x 2 dy dx + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr r dR dr + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❡❷➊● ☛❅★③✓✲✬➩➫➭ d dx p(x) dy dx + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➾ ✢❴❆✲➉➵❄ ★ Sturm–Liouville ❆ (✎ ❄ S–L ❆) ➉➵ ❉ • ➣❇❈ S–L ❆➉➵ ❘✲✭✮ p(x), q(x) ✧ ρ(x) ➏❉★■❅➍✭✮✷➤➑■❏❑Ü❸✲❿➀④ ❸❹❉ • ρ(x) ✷ ❄ ★❊ Ö ✭✮❉ • ❍❊ Ö ✭✮ ρ(x) = ⑩✮ P ✷➊● ➦★ 1 ❉ • ➣ ❀★⑩✮✲❊ Ö ✭✮✷➊ ● ➝❋✺åæ ●✓❍■⑦✲ô✘ (➾P➊ ●❏ Laplace ✵✶✲❽ý ✑❑➭ ❘▲▼ê ❊ Ö ✭✮✲◆❖➆ ❏P➸❼✳ ✷❡◗❘❐❍■❙❚✏❯❅✻❱❲✲✭✮❉➊ ●❄ ✬★➝❋✺✯✰✲Õ❳❨✻✲ ➣✁❩④) ✷❲➊↔ ➝❋✺➼➽❋ ❃❄✲❬❭④Ø✲➣✁ ❩ ④ (✉❯✷❪ ❚✴❫✲ ➣✁❩) ❉❚➌✷❞❶❷❋ ✗❴✲❬❭➼➽➤❵✷ ➣❇❛✦ ρ(x) ≥ 0 ✷ ➤➑✷ç❍➣ ❀★ 0 ❉ ★❐✫➹✲❜❝✷➒➊●❞❡✵✶ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) (>) ✲❢❣❉ ➾ë✷ S–L ❆➉➵❞➊●❤ ➹➧ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ❆➉➵✐✍❼ ñ ❍✲▲▼◆❖✷❞þ➧ S–L ❆➉➵✲➸➺➻➼➽❉ λ ❄ ★➸➺➻❉✹✺ ➠✬✿ ➸➺➻ λ ✷❏❑ S–L ➉➵❄①ç✲▲▼◆❖✲îïì❞❅➸➺✭✮❉ ❏ ✳✴➉➵➝✔ ✷ â ✺ ρ(x) ✲➘❥✷ S–L ❆➉➵ (#) ❛ (##) ❬❦ ➣ ②✺➉➵ L 0 u(x) = λu(x). (z)