第二十四讲(一)柱函数(三 8241半奇数阶 函数 本节讨论另一类特殊的Beel函数:半奇数阶的 Bessel函数 先讨论J1/2(x) J1/2()=∑ 所以,J1/2(x)是初等函数.同样也能推出 Cos工 实际上,把J(x)的两个递推关系改写成 )xJ)=-1( 1 d 1(x) 就可以得到 J1/2(x) dr x1/3J1m2(x) 因此,任意一个半奇数阶 Bessel函数都是初等函数,都是幂函数和三角函数的复合函数 2(x)与J (x)是线性无关 而Nn+1/2(x)与J-(m+1/2)(x)线性相关 1/2(x) co(n+1/2)r:Jn+12()-J=ax+1/2( )n+J-(n+1/2)(x)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎ (✆) ✝ ✞ ✟ (✠) §24.1 ✡☛☞✌ Bessel ✍☞ ✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘ Bessel ✙✚✛✜✢✚✣✘ Bessel ✙✚✤ ✥✑✒ J1/2(x) ✛ J1/2(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + 3/2) x 2 2k+1/2 = r 2 πx X∞ k=0 (−) k (2k + 1)!x 2k+1 = r 2 πx sin x. ✦✧★ J1/2(x) ✩✪✫✙✚✤✬✭✮✯✰✱ J−1/2(x) = r 2 πx cos x. ✲✳✴★✵ Jν(x) ✘✶✷✸✰✹✺✻✼✽ 1 x d dx x ν Jν(x) = x ν−1 Jν−1(x), − 1 x d dx x −ν Jν(x) = x −(ν+1)Jν+1(x), ✾✿✧❀❁ x −n+1/2 J−n+1/2(x) = 1 x d dx n x 1/2 J1/2(x) = 1 x d dx nr 2 π sin x, x −n−1/2 Jn+1/2(x)= − 1 x d dx n x −1/2 J1/2(x)= − 1 x d dx nr 2 π sin x x . ❂❃★❄❅✔✷✜✢✚✣ Bessel ✙✚❆✩✪✫✙✚★ ❆✩❇✙✚❈❉❊✙✚✘❋●✙✚✤ ❍■★ Jn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ✩❑▲▼✹✘★ W[Jn+1/2(x), J−(n+1/2)(x)] = (−) n+1 2 πx . ◆ Nn+1/2(x) ❏ J−(n+1/2)(x) ❑▲❖✹★ Nn+1/2(x) = cos(n + 1/2)π · Jn+1/2(x) − J−(n+1/2)(x) sin(n + 1/2)π = (−) n+1J−(n+1/2)(x)
§242球 Bessel函数 324.2球 Bessel函数 Helmholtz方程V2u+k2u=0在球坐标系下分离变量时,我们曾经得到常微分方程 r2 在一般情况下=l(+1),l=0,1,2,……,本节就讨论这个方程的求解问题 ★k=0:两个线性无关解是r和r- (见第20讲) ★k≠0:可作变换x=k和y(x)=R(r),将方程变为 1 d l(l+1) x」y(x)=0 这个方程称为球Bese方程,它的形式和Bese方程非常相似 ★球Besl方程也有两个奇点,一个是x=0,正则奇点,一个是x=∞,非正则奇点,也和 Bessel方程相同 ★因此,可以试图将它化为 Bessel方程 考虑到这个方程在x=0点的指标方程 (+1) 因而指标为P1=l和P2=-(+1),和Besl方程的指标p=±u不同,故应该作变换 y()=v(z) 这样,可以预料,v(x)的微分方程在x=0点的指标就会变为 和Bese方程的特点完全一样,这样,(x)所满足的微分方程就是 1 d/ du (+1/2)2 U=0. 正是l+1/2阶的Beel方程.它的两个线性无关解就是J+1/2(x)和N+1/2(x)·在此基础上,就 可以将球 Bessel方程(1784)的线性无关解取为 i()-(h+()=∑ 2n+l nl!r(n+l+3/2) n(x)=(-)+-1()=y2N+12(x) n!r(n-l+1/2)(2 分别称为l阶球 Bessel函数和球 Neumann函数
Wu Chong-shi §24.2 P Bessel ◗❘ ❙ 2 ❚ §24.2 ❯ Bessel ✍☞ Helmholtz ❱❲ ∇2u+k 2u= 0 ❳❨❩❬✺❭❪❫❴❵❛★❜❝ ❞❡❀❁❢❣❪❱❲ 1 r 2 d dr r 2 dR dr + k 2 − λ r 2 R = 0. ❳ ✔❤✐❥❭ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, · · · ✤ ✎✏✾✑✒❦✷❱❲✘❧♠♥♦✤ F k = 0 ✛ ✶✷❑▲▼✹♠ ✩ r l ❈ r −l−1 ✤ (♣q 20 r) F k 6= 0 ✛ ✿s❴t x = kr ❈ y(x) = R(r) ★✉❱❲❴✈ 1 x 2 d dx x 2 dy dx + h 1 − l(l + 1) x 2 i y(x) = 0. ❦✷❱❲✇✈❨ Bessel ❱❲★①✘②③❈ Bessel ❱❲④❢ ❖⑤✤ F ❨ Bessel ❱❲✮⑥✶✷✢⑦★✔✷✩ x = 0 ★⑧⑨✢⑦★✔✷✩ x = ∞ ★ ④ ⑧⑨✢⑦★ ✮❈ Bessel ❱❲❖✬✤ F ❂❃★✿✧⑩❶✉①❷✈ Bessel ❱❲✤ ❸❹❁❦✷❱❲❳ x = 0 ⑦ ✘❺❬❱❲ ρ(ρ − 1) + 2ρ − l(l + 1) = 0, ❂◆❺ ❬✈ ρ1 = l ❈ ρ2 = −(l + 1) ★ ❈ Bessel ❱❲✘❺❬ ρ = ±ν ❻✬★❼❽❾s ❴t y(x) = v(x) √ x , ❦ ✭ ★✿✧❿➀★ v(x) ✘❣ ❪❱❲❳ x = 0 ⑦ ✘❺❬ ✾➁❴✈ ρ = ± l + 1 2 , ❈ Bessel ❱❲✘✖⑦➂➃✔ ✭✤❦ ✭ ★ v(x) ✦➄➅✘❣ ❪❱❲✾ ✩ 1 x d dx x dv dx + 1 − (l + 1/2)2 x 2 v = 0. ⑧ ✩ l + 1/2 ✣ ✘ Bessel ❱❲✤①✘✶✷❑▲▼✹♠✾✩ Jl+1/2(x) ❈ Nl+1/2(x) ✤❳❃➆➇✴★✾ ✿✧✉❨ Bessel ❱❲ (17.84) ✘ ❑▲▼✹♠➈✈ jl(x) = r π 2x Jl+1/2(x) = √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) x 2 2n+l nl(x) = (−) l+1j−l−1(x) = r π 2x Nl+1/2(x) = (−) l+1 √ π 2 X∞ n=0 (−) n n! Γ (n − l + 1/2) x 2 2n−l−1 , ❪➉✇✈ l ✣❨ Bessel ✙✚❈❨ Neumann ✙✚✤
第二十四讲 主函数(三 第3页 前几个球 Bessel函数和球 Neumann函数(图形见图241)的表达式是 (x) sIn 7 no(x)≈cosx 1 (sin T -a cos n1(x)=_1 22( cos T +sinr i(a)=(3-2)mx-3x0i;n()=-[(3-x2) T+rsi j1(a) j2(a) 10 de) (x) 81012, 图2411球 Bessel函数jn(x)和球 Neumann函数n2(x).细灰线是它们的渐近线y=±1/x 类似地,也还可以定义球 Hankel函数 h(x)=j(x)+in(x),n2(x)=i(x)-in(r) 例241将函数 elAr cos按 Legendre多项式展开 解设 ikr cos e =∑q(k)P(os 则展开系数 cI(kr) 2l+1 irr P(a)d=2+1 ∑m r"P(a)d 利用第19讲第4节的结果,就有 2+1、(kr) (+2n)! ∑ nI(n+1+3/2(2 (2+1)j(kr)
Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 3 ❚ ➒➓✷❨ Bessel ✙✚❈❨ Neumann ✙✚ (❶② ♣ ❶ 24.1) ✘➔→③✩✛ j0(x) = sin x x , n0(x) = − cos x x , j1(x) = 1 x 2 sin x − x cos x , n1(x) = − 1 x 2 cos x + x sin x , j2(x) = 1 x 3 h 3 − x 2 sin x − 3x cos x i ; n2(x) = − 1 x 3 h 3 − x 2 cos x + 3x sin x i . ➣ 24.1 ↔ Bessel ↕➙ jl(x) ➛↔ Neumann ↕➙ nl(x) ➜➝➞➟➠➡➢➤➥➦➟ y = ±1/x ✕ ⑤➧★ ✮➨✿✧➩➫❨ Hankel ✙✚ h (1) l (x) = jl(x) + i nl(x), h (2) l (x) = jl(x) − i nl(x). ➭ 24.1 ✉ ✙✚ e ikr cos θ ➯ Legendre ➲➳③➵➸✤ ➺ ➻ e ikr cos θ = X∞ l=0 cl(kr)Pl(cos θ), ⑨➵➸✺✚ cl(kr) = 2l+1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l+1 2 X∞ n=0 (ikr) n n! Z 1 −1 x nPl(x)dx. ➼➽q 19 rq 4 ✏✘➾➚★✾ ⑥ cl(kr) = 2l + 1 2 X∞ n=0 (ikr) l+2n (l + 2n)! Z 1 −1 x l+2nPl(x)dx = 2l + 1 2 i l X∞ n=0 (−) n (l + 2n)!(kr) l+2n · (l + 2n)! 2 l+2n n! √ π Γ (n + l + 3/2) = 2l + 1 2 i l√ π X∞ n=0 (−) n n! Γ (n + l + 3/2) kr 2 l+2n = (2l + 1) il jl(kr)
§242球 Bessel函数 第4页 所以,最后就有展开式 eikr cose=>(21+1)i'j(kr)PI(cos e) 另法因为eos=ek2是 Helmholtz方程的解 故应有 eikr cos =>Aj(kr)Pi(cos 0) 现在的问题是如何定出系数A1? Ai(6)=2+/c=P(a)d i。P2 -面上 eikrrPl(r)d 2-(-)e]+o 另一方面 I(hr) kr 1-+I-ikr +O(产 +1f。ikr e +O 因此 21+1 即41=(2+1)i2 最后就得到展开式 erob=∑2+1)￥in(kr)P(cos) 也可以赋予这个展开式一个物理解释:平面波按球面波展开.这是因为,若规定定相位的时 间因子为e-t,且r和B为球坐标,则上式左端是向6=0即正z轴)方向传播的平面波,波数 为k,而右端每一项中的j(k)则具有球面波的相位因子
Wu Chong-shi §24.2 P Bessel ◗❘ ❙ 4 ❚ ✦✧★➪➶✾ ⑥ ➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ➹➘ ❂ ✈ e ikr cos θ = eikz ✩ Helmholtz ❱❲✘♠ ∇2 + k 2 e ikr cos θ = 0, ❼❽⑥ e ikr cos θ = X∞ l=0 Aljl(kr)Pl(cos θ). ➴ ❳ ✘♥♦✩➷➬➩ ✱✺✚ Al ➮ Aljl(kr) = 2l + 1 2 Z 1 −1 e ikrxPl(x)dx = 2l + 1 2 " 1 ikr e ikrxPl(x) 1 −1 − 1 ikr Z 1 −1 e ikrxP 0 l (x)dx # = 2l + 1 2 1 ikr e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 . ✓✔❱➱★ jl(kr) = 1 kr cos kr − 1 2 l + 1 2 π − π 4 + O 1 r 2 = 1 kr cos kr − l + 1 2 π + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1e ikr + il+1e −ikr + O 1 r 2 = 1 2kr (−i)l+1 e ikr − (−) l e −ikr + O 1 r 2 , ❂❃★ Al (−i)l+1 2 = 2l + 1 2i ✃ Al = (2l + 1)il , ➪➶✾❀❁➵➸③ e ikr cos θ = X∞ l=0 (2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ). ✮ ✿✧❐❒❦✷➵➸③✔✷❮❰♠Ï✛ ÐÑÒÓÔÑÒÕÖ✤❦ ✩ ❂ ✈ ★×Ø➩➩❖Ù✘ ❛ Ú❂Û✈ e −iωt ★Ü r ❈ θ ✈❨❩❬★⑨✴③ÝÞ✩ ß θ = 0 (✃ ⑧ z à) ❱ ßáâ✘ã➱ä★ ä✚ ✈ k ★◆åÞæ✔➳ ç✘ jl(kr) ⑨è⑥❨➱ä✘ ❖Ù❂Û★ jl(kr) ∼ 1 kr sin kr − lπ 2 .
第二十四讲 主函数(三 第5页 第二十四讲(二)分离变量法总结(一) 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问题的 种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解条件都是 线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第15讲中,我们曾经结合具体的求解过程,分析了这 种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见15.1节这种方法是否能够普遍地应用于求解 偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换勺话说,在什么条件下,本征值问题一定有解: 2.定解问題的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下,本征函 数是完备的 3.本征函数是否一定具有正交性 从这一讲开始,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基础. 当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理问题中,这些条件是能够满足的 824.3内积空间与函数空间 1.内积与内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间V,它的元素(矢量)用,y,…表示,可以把三维矢量 空间中失量的长度的概念推广到n维矢量空间为此,先定义n维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{e,i=1,2,…,n}之后,空间中的 任意一个矢量m都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1,r2,…,n表示, e1+x2e2+…+xnen=)re 对于空间中的矢量x和y,最常见的内积定义为 (x,y)=n1y+xy2+…+nn iyi 这是一个实数.显然有 (x,y)=(v,x)和|(x,x)≥0, 并且,当且仅当c=0时,才有(x,x)=0.在此基础上,就可以定义矢量x的长度‖xl 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是实
Wu Chong-shi ➊➋➌➍➎ (➏) ➐ ◗ ❘ (➑) ❙ 5 ❚ ✁✂ ✄☎ (✁ ) éêëìíîï (✆) ❁➴❳✈ð★❜❝ ñ❡ò❰ó➓ôõö✘÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★øùó❧♠❦ú➩♠♥♦✘ ✔ô⑥û❱ü★ ❪❫❴❵ü✤❦ô❱ü★ý■ ⑥ ✔➩✘þ➽ÿ★✁ ➷ ★✂❧ ❱❲❈➩♠ÿ ❆✩ ❑▲✘★❂❃➩♠♥♦✘♠è ⑥✄☎▲✤❳q 15 r ç★❜❝ ❞❡➾●è✆✘❧♠✝ ❲ ★ ❪✞ ó❦ ô♠ü✟✠➩♠♥♦✘✂❧ ✤ ✖ ➉✩★❞❡❺ ✱ (♣ 15.1 ✏ ) ❦ô❱ü✩✡✯☛☞✌➧ ❽➽ ✠ ❧♠ ÷❣ ❪❱❲➩♠♥♦★ ❳ ❰✒✴★➈✍ ✠❭✎ ➓✷♥♦✛ 1. ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✒ ✓✔✗✘✙✚✪ 2. ✘✚ ✓✔✫✚✕✖✗✘✬ ✭✮✯ ✰✗✱✏✑✲✳✴✵★✛ ✜✢✣★✤✥ ✦✧★✩★ ✏✑✲ ✳✕ ✶✷✫✪ 3. ✏✑✲✳✕✖✗✘✸✙✹✺✻✤ ✼❦✔r ➸✽★❜❝✾✂✼❰✒✴ ✾✿❦➓✷♥♦★✼◆ ✈❪❫❴❵ü❀ ➩✔✷❁✲✘❰✒➆➇✤ ý■★❂❃❄❅★❦❆øù✘ ✮❇✩❈❪ ÿ ✤❳✔❤❮❰♥♦ ç ★❦úÿ ✩✯☛ ➄➅✘ ✤ §24.3 ❉❊❋●❍✍☞❋● 1. ■❏❑■❏▲▼ ➻ ❳✚◆ K ✴➩➫ó n ❖ P◗▲▼V ★①✘ ❘❙ (P◗) ➽ x, y, · · · ➔❚ ✤ ✿✧✵❉❖❯❵ ❱Ú ç❯❵ ✘ ❲❳ ✘❨❩✰❬ ❁ n ❖❯❵ ❱Ú ✤✈❃★✥➩➫ n ❖❯❵ ✘ ■❏ ✤ ✟✠✲ n ❖❯❵ ❱Ú (✃ K ✈ ✲ ✚◆) ★ ❳❭ ➩ó✔❪➆ {ei , i = 1, 2, · · · , n} ❫ ➶★❱Ú ç ✘ ❄❅✔✷❯❵ x ❆ ✿✧➽① ❳ ❦✔❪➆✴✘❴❵ (❩❬) x1, x2, · · · , xn ➔❚★ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei . ✟✠❱Ú ç ✘ ❯❵ x ❈ y ★➪❢♣ ✘ ❛❜➩➫✈ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi . ❦ ✩ ✔✷✲ ✚✤❍■⑥ (x, y) = (y, x) ❈ (x, x) ≥ 0, ❝Ü★ýÜ❞ý x = 0 ❛ ★❡ ⑥ (x, x) = 0 ✤❳❃➆➇✴★✾✿✧➩➫❯❵ x ✘❢❣ kxk kxk = (x, x) 1/2 . ✟✠❋ n ❖❯❵ ❱Ú★ ➷ ➚❤✐ ❥✴❦ ❛❜➩➫★❧♠♥✱ ★❦ ❛ ✘ ❯❵ ❢❣✾✿✯❻✩✲