《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 §7.2 函数项级数

基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理显然（fn(α）)一致收敛于f(ac）等价于f(α）一fn（α）一致趋于零.因此我们有等价的命题定理1函数列（fn(ac))在E上一致收敛于f(α）的充分必要条件是lim βn = 0, 其中, βn = supIfn(αc) - f(αc)ln→αTEE证明fnα)在E上一致收敛于f(）>ONN,使得当n>N时有Ifn(α)-f(α)/<对一切CEE成立.因而有suplfn()-f(α)l≤e,TEE即当n≥N时，有0≤βn≤=.所以limβn=0.n→x返回全屏关闭退出11/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n w, {fn(x)} Âñu f(x) du {f(x) − fn(x)} ªu". Ï d·‚kd·K ½n 1 ¼ê {fn(x)} 3 E þÂñu f(x) ¿©7‡^‡´ lim n→∞ βn = 0, Ù¥, βn = sup x∈E |fn(x) − f(x)|. y² {fn(x)} 3 E þÂñu f(x) ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ¦  n > N ž, k |fn(x) − f(x)| < ε éƒ x ∈ E ¤á. Ï k sup x∈E |fn(x) − f(x)| 6 ε, = n > N ž, k 0 6 βn 6 ε. ¤± lim n→∞ βn = 0. 11/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Abel判别法Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法例 6讨论函数列 fn(ac)=+在[0,1] 上的一致收敛性解任给e>0.取N>l,当n>N时1Ifn(αc) - 0| a+nn对所有 E[0,1] 都成立.所以该函数列在[0,1] 上一致收敛于 0.也可以从βn = sup Ifn(α) - 0| =10nrE[0,1]得到这个结论例7函数列【an}在[0,1)上不一致收敛于0.因为证明βn = sup [cn-0l=1 0, (n → ),rE[0,1]所以α"}在[0,1]上不一致收敛于0.返回全屏关闭退出I12/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 6 ?ؼê fn(x) = 1 x+n 3 [0, 1] þÂñ5. ) ?‰ ε > 0,  N > 1 ε ,  n > N ž, |fn(x) − 0| = 1 x + n 6 1 n < ε é¤k x ∈ [0, 1] Ѥá. ¤±T¼ê3 [0, 1] þÂñu 0. Œ±l βn = sup x∈[0,1] |fn(x) − 0| = 1 n → 0 ù‡(Ø. ~ 7 ¼ê {x n} 3 [0, 1) þØÂñu 0. y² Ϗ βn = sup x∈[0,1) |x n − 0| = 1 6→ 0, (n → ∞), ¤± {x n} 3 [0, 1] þØÂñu 0. 12/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ