基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理-例 4 设 Sn(a) = 2n2ce-n2" (n = 1, 2, ..), a E [0, 1]. 则有S(α) = lim Sn(α) = 0.n-7x显然Sn（c）和S（αc）都在[0,1]上可积，但?1/ (-e-n'a")'da = 1 - e-n2 → 1, (n → ),Sn(a)da =JoS(α) dc = 0.此例说明即便Sn（α）和它的极限函数S(c）都在区间[a,b]可积，一般也不一定有nblimS(a)daSn(α) dc =n→8返回全屏关闭退出6/36
Ä Vg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 4 Sn(x) = 2n 2xe−n 2x 2 (n = 1, 2, · · ·), x ∈ [0, 1]. Kk S(x) = lim n→∞ Sn(x) = 0. w, Sn(x) Ú S(x) Ñ3 [0, 1] þÈ, Z 1 0 Sn(x) dx = Z 1 0 (−e −n 2x 2 ) 0dx = 1 − e −n 2 → 1, (n → ∞), Z 1 0 S(x) dx = 0. d~`²=B Sn(x) Ú§4¼ê S(x) Ñ3«m [a, b] È, ؽk lim n→∞ Z b a Sn(x) dx = Z b a S(x) dx. 6/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理sinna例5设Sn(ac)(n=1,2,..), E(-00,+80),则VnS(α) = lim Sn(α) = 0.n-8显然 Sn(α)和S(αc)都在（-80,+8）上可导，且 S(α)=0,但S,(α) = Vncos na 0 = S'(α) (n → ).此例说明即便Sn（c）和它的极限函数S(a）都在区间[a,b]上可导时Sn（c）的导函数可能不一定收敛，即便收敛也不一定收敛到S(a）的导函数返回全屏关闭退出7/36
Ä Vg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 5 Sn(x) = sin nx √ n (n = 1, 2, · · ·), x ∈ (−∞, +∞), K S(x) = lim n→∞ Sn(x) = 0. w, Sn(x) Ú S(x) Ñ3 (−∞, +∞) þ, S 0 (x) = 0, S 0 n (x) = √ n cos nx 6→ 0 = S 0 (x) (n → ∞). d~`²=B Sn(x) Ú§4¼ê S(x) Ñ3«m [a, b] þ, Sn(x) ¼êUؽÂñ, =BÂñؽÂñ S(x) ¼ê. 7/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念一致收敛Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法7.2.2一致收敛性先从函数列的收敛来说函数列 fn(α) 在区间[a,b] 上收敛于函数 f(α) ao E [a,b],Ve> 0,3 N= N(co,e) EN, 当 n > N 时, 有Ifn(o) - f(co)I < e.一般来说，上面的N不仅依赖于ε也依赖于o，它表示的是函数列[fn(α)在ao点的收敛快慢，N越大收敛得越慢，N越小收敛得越快.由于N一般与o有关，因此在不同点收敛的速度不同，即快慢不一致例如,函数列 [αn) 在 (0,1)上收敛于0. 对于 α E (0,1)及任意 E (0,1),为了ln-<,必须n>.因此，至少需要N=[].这样当越靠近1.N就越大.不存在共同的对所有点一致成立的N返回全屏关闭退出II8/36
Ä Vg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n 7.2.2 Âñ5 kl¼êÂñ5`. ¼ê {fn(x)} 3«m [a, b] þÂñu¼ê f(x) ⇐⇒ ∀ x0 ∈ [a, b], ∀ ε > 0, ∃ N = N(x0, ε) ∈ N, n > N , k |fn(x0) − f(x0)| < ε. 5`, þ¡ N Ø=6u ε 6u x0, §L«´¼ê {fn(x)} 3 x0 :Âñ¯ú, N Âñú, N Âñ¯. du N x0 k', Ïd3ØÓ:ÂñÝØÓ, =¯úØ. ~X, ¼ê {x n} 3 (0, 1) þÂñu 0. éu x ∈ (0, 1) 9?¿ ε ∈ (0, 1), |x n − 0| < ε, 7L n > ln ε ln x . Ïd, I N = ln ε ln x . ù x C 1, N Ò. Ø3Óé¤k:¤á N. 8/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理函数列和函数项级数在收敛域上的收敛性，本质上是“点态”的收敛，在各个收敛点有不同的收敛速度，当收敛速度有某种整体的一致性时，称其为一致收敛，准确地说就有下面的定义定义1设函数列（fn(aα))在E上收敛于f(α),如果对任意正数ε,都存在N>0使得当n >N时,对所有 EE都有If(α) - fn(α)I <e,则称函数列（fn(α)在E上一致收敛于f(α）（或一致趋于f(α)）当定义中的函数列是函数项级数n=1un(a)的部分和时（即 fn(a)=Sn(α)=h=1uk(α))，上面的定义也就给出了函数项级数的一致收敛性的定义,返回全屏关闭退出-9/36
Ä Vg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ¼êÚ¼ê?ê3ÂñþÂñ5, þ´“:”Âñ. 3 Âñ:kØÓÂñÝ. ÂñÝk,«N5, ¡Ù Âñ, O(/`Òke¡½Â. ½Â 1 ¼ê {fn(x)} 3 E þÂñu f(x), XJé?¿ê ε, Ñ3 N > 0 ¦ n > N , é¤k x ∈ E Ñk |f(x) − fn(x)| < ε, K¡¼ê {fn(x)} 3 E þÂñu f(x)£½ªu f(x)¤. ½Â¥¼ê´¼ê?ê P∞ n=1 un(x) Ü©Ú (= fn(x) = Sn(x) = Pn k=1 uk(x)), þ¡½ÂÒÑ ¼ê?êÂñ5½ Â. 9/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
基本概念一致收敛Cauchy准则Abel判别法Dini定理Weierstrass判别法Dirichlet判别法一致收敛的几何意义V >0, N(e), 当 n> N(e) 时. 方程y=fn(α), (n =1,2,..)表示的曲线都落入条形区域[(α,y) : a E[a,bl, yE (f(α) -e, f(α) +e))yy=f(c) +eiy=fn(a)y=f(c)y=f(α)-eX0ab返回全屏退出关闭10/36
Ä Vg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ÂñAÛ¿Â ∀ ε > 0, ∃ N(ε), n > N(ε) , § y = fn(x), (n = 1, 2, · · ·) L«Ñá\^/« {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ (f(x) − ε, f(x) + ε)} O x y a b y = f(x) y = fn(x) y = f(x) − ε y = f(x) + ε 10/36 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ