理论力学（PPT课件讲稿）哈密顿力学

劳斯方程 同时,dR=d(∑pq,-L s OL ∑(q+pd)-∑ OL OL .+ at ∑ OL )-∑ OL OL OL (q, dp =m+9+ at R aR ∑ lpi agi d)+∑ R OR R dgi agi at 对应可得 OR OL aR OR L aR aL (i=m+12,.s) aR aR d aRaR →q1 (i=1,…,m) 0(i=m+1

劳斯方程 • 同时， • 对应可得 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m i i i m s i i i i i i i i i i m s i i i i i i i m i i i m s i i i i i i m i i i i dR d p q L L L L q dp p dq dq dq dt q q t L L L L q dp dq dq dq dt q q q t R R R R R dp dq dq dq dt p q q q t = = = = = + = = + = −    = + − + −        = − − + −          = + + + +             , ( 1,..., ); , ( 1,..., ) , ( 1,..., ); 0 ( 1,..., ) i i i i i i i i i i i i i i R L R R L R L q i m i m s p q p q q q q R R d R R q p i m i m s p p dt q q        = = − = = − = − = +             = = − = − = = +    

哈密顿函数及正则方程举例 弹簧谐振子问题。 OL L=T-V=mg 29, p mg H= pq-l= pq --mi +kg=-m+kq p+ 2 aH H a-k→m+=0 ·相对论带电粒子。 L=mc2(1-1-y2/c2)+aA myv+gA H=pV-L=myc2-mc2+9o=cv(p-qA)2+m'c2-mc+go

哈密顿函数及正则方程举例 • 弹簧谐振子问题。 • 相对论带电粒子。 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , 0 L L T V mq kq p mq q H pq L pq mq kq mq kq p kq m H p H q p kq mq kq p m q  = − = − = =  = − = − + = + = +   = = = − = −  + =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 1 / ) , , ( ) L L mc v c q q m q H L m c mc q c q m c mc q       = − − +  − = = +  =  − = − + = − + − + A v p v A v p v p A

哈密顿正则方程举例 平方反比有心力场中的运动 k OL aL m(产2+r26 mr, pe r-e 06 H=p+p20-L=m(2+r)不 r 2m 2mr +r aH Pr ah p aH i opr ar mr aH 6 =0→pDn= const,mf 0 06 不能因为p6是恒量而直接替去L中的θ,而是应该 用劳斯函数,其中p才能当常数处理 作业:3.1,32,33 第15次课

哈密顿正则方程举例 • 平方反比有心力场中的运动 • 不能因为pq是恒量而直接替去L中的 ，而是应该 用劳斯函数，其中pq才能当常数处理。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 ( ) , , 2 1 ( ) 2 2 2 , , , 0 , 0 r r r r r r k L L L m r r p mr p mr r r k k p p H p r p L m r r r m mr r H H k H p p p r p p m r mr r p mr H k p p p const mr mr r q q q q q q q q q q q q q q q q   = + − = = = =   = + − = + + = + +    = = = − = + = =     = − =  = − − =  q 作业：3.1, 3.2, 3.3 第15次课

哈密顿正则方程解题步骤 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有 确定系统的自由度,选取广义坐标 写出系统的拉格朗日函数。 计算广义动量,并用广义动量来表示广义速度。 通过勒让德变换计算哈密顿函数H。得到的H表 达式中的广义速度用广义动量替换。 列出哈密顿正则方程。 求解方程,得到广义坐标随时间的变化关系 并结合初始条件确定积分常数

哈密顿正则方程解题步骤 • 用哈密顿正则方程解题的步骤大致有 – 确定系统的自由度，选取广义坐标。 – 写出系统的拉格朗日函数。 – 计算广义动量，并用广义动量来表示广义速度。 – 通过勒让德变换计算哈密顿函数H。得到的H表 达式中的广义速度用广义动量替换。 – 列出哈密顿正则方程。 – 求解方程，得到广义坐标随时间的变化关系。 并结合初始条件确定积分常数

哈密顿正则方程举例 ·相对论粒子在电磁场中运动(习题35) aL L=-mc /C+qA v-g, p +gA V/C nc H=p·v-L +9P=Cv(p-qA)+m'c+qo h1-y2/c2 ah gA aH X v op p-gA)+m202> p X p分A)+m21(D-q4)x(×A)+(p-9A)VA]一qq qV×B+qv.VA-qVq nv aA yV×B q--qVq=q(E+V×B) V/C at

哈密顿正则方程举例 • 相对论粒子在电磁场中运动（习题3.5） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 / , 1 / ( ) 1 / , ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) 1 / L m L mc c q q q c mc H L q c q m c q c H q H c q m c cq q q q q m c q q q d m q q q dt t c       = − − +  − = = +  − =  − = + = − + + −  −  = = = = −   − + = −    + −  −  − + =  +  −    =  − −  −  v v A v p A v v p v p A v p A x v p p x p A p A A p A A p A v B v A v A v B v  = +  q( ) E v B