哈密顿函数 定义哈密顿函数H(p,q),数值上等于广义能量积 分,但必须以广义动量为自变量 H(Pp,q,1)=∑pq(P,q,1)-L(q,(pq,1),) i=1 aL aL dq i + gi ---at at s、.OH OH OH ∑ d.+ 十 at ·则对应有: aH OL aH aL H P Oa at at
哈密顿函数 • 定义哈密顿函数H(p,q,t)，数值上等于广义能量积 分，但必须以广义动量为自变量。 • 则对应有： 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , ( , , ), ) [ ] [ ] s i i i s i i i i i s i i i i i H p q t p q p q t L q q p q t t L L dH dq q dp dt q t H H H dq dp dt q p t = = = = − = − + − = + + , , i i i i i H L H L H q p p q q t t = = = − − =
哈密顿正则方程 得到哈密顿正则方程(共2S个): aH OH 方程给出了2s个变量随时间的变化率,可 步步积分求出以后各个时刻的值。其中 前s个给出广义速度和广义动量之间的关系 后s个等价于原来的s个拉格朗日方程 p和q称为正则共轭变量,正则方程具有 对称形式
哈密顿正则方程 • 得到哈密顿正则方程（共2s个）： • 方程给出了2s个变量随时间的变化率，可 一步步积分求出以后各个时刻的值。其中 前s个给出广义速度和广义动量之间的关系， 后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。 • p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有 对称形式。 , i i i i H H q p p q = = −
哈密顿正则方程中的循环坐标 OL aH OL cH 从对应关系 pi og i otar得知, 如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标,即 存在某循环坐标 恰密顿函数也不显含它, 对应的广义动量守恒,因而可以将系统的自 由度减少一维(可遗坐标) ·2S个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中 券的自由度就罚苡减办一维(可透) 如果拉格朗日函数不显含时间,则哈密顿函 数也不显含时间,广义能量积分或哈密顿量 dH a aH at at
哈密顿正则方程中的循环坐标 • 从对应关系 得知， 如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标，即 存在某循环坐标，则哈密顿函数也不显含它， 对应的广义动量守恒，因而可以将系统的自 由度减少一维（可遗坐标） • 2s个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中 不显含，它对应的正则共轭变量就是常数， 系统的自由度就可以减少一维（可遗）。 • 如果拉格朗日函数不显含时间，则哈密顿函 数也不显含时间，广义能量积分或哈密顿量 守恒。 , i i i L H L H p q q t t = = − − = dH L H dt t t = − =
哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较 ·拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密 顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后, 从拉格朗日函数经过变换得到。 拉格朗日方程是二阶的微分方程,而哈密顿 方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增 大了一倍 ·对于循环坐标,哈密顿正则方程处理起来方 便很多,无论哈密顿函数缺少任意一个q,p, t,都可以找到它相应的守恒量。 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的
哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较 • 拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密 顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后， 从拉格朗日函数经过变换得到。 • 拉格朗日方程是二阶的微分方程，而哈密顿 方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增 大了一倍。 • 对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方 便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q，p， t，都可以找到它相应的守恒量。 • 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的
斯函数 ·经过对比得知,哈密顿正则方程擅长对循环 坐标处理,而拉格朗日方程对普通坐标处理 较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换, 使其处理用哈密顿正则方程,而对其余则不 做变换,所得的为劳斯函数。设q1qm是循 环坐标,其余不是,则劳斯函数为 R(q …qs5P1…Pm,4m+15…qs ∑P-L
劳斯函数 • 经过对比得知，哈密顿正则方程擅长对循环 坐标处理，而拉格朗日方程对普通坐标处理 较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换， 使其处理用哈密顿正则方程，而对其余则不 做变换，所得的为劳斯函数。设q1~qm是循 环坐标，其余不是，则劳斯函数为 1 1 1 1 ( ,..., ; ,..., , ,..., ; ) m s m m s i i i R q q p p q q t p q L + = = −