其通解为y()=c1coO+csmn令y=Sm 由初始条件y(0)=y jo/O=AcoS y(O)=yo y(t=Asin( at+o) 可得c1=yC2=j/0 其中 A y(t)=yo cos at+osin at tan= 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简诸振动 2 v(t=Asin( at+o)=Asin( at++2T)=Asin[ o(t+)+p=y(t+-) 72x 自振周期 与外界无关,体系本身固有的特性 2丌自振园频率(自振频率) A 振幅 初相位角
二.振动分析 其通解为 y(t) c cost c sint = 1 + 2 由初始条件 0 y(0) = y 0 y (0) = y 可得 1 0 c = y c2 = y 0 / t y y t y t ( ) cos sin 0 0 = + 令 y0 = Asin y 0 / = Acos y(t) = Asin(t +) 其中 2 2 2 0 0 y A y = + 0 0 tan y y = 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. ) 2 ) ] ( 2 ( ) sin( ) sin( 2 ) sin[ ( y t = A t + = A t + + = A t + + = y t + 2 T = 自振周期 2 1 = T 自振园频率(自振频率) 与外界无关,体系本身固有的特性 A 振幅 初相位角
自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 7()+U()=常数 k1 T(t=my(t)=mA@ coS(ot+o) m mo W=m △=WO 11 U(t)=kuy(t)=kuA sin(at+o) g 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简诸振动 2 v(t=Asin( at+o)=Asin( at++2T)=Asin[ o(t+)+p=y(t+-) 72x 自振周期 与外界无关,体系本身固有的特性 2丌自振园频率(自振频率) A 振幅 初相位角
二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. ) 2 ) ] ( 2 ( ) sin( ) sin( 2 ) sin[ ( y t = A t + = A t + + = A t + + = y t + 2 T = 自振周期 2 1 = T 自振园频率(自振频率) 与外界无关,体系本身固有的特性 A 振幅 初相位角 三.自振频率和周期的计算 1.计算方法 (1)利用计算公式 11 2 11 1 m m k = = 11 W = mg, st =W st g = 2 (2)利用机械能守恒 T(t) +U(t) =常数 cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 T t = my t = mA t + sin ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 U t = k1 1 y t = k A t + Tmax =Umax
自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 7()+U()=常数 k1 T(t=my(t)=mA@ cos(at+o) m mo W=ms △=WO 11 U(t)=kuy(t)=kuA sin(at+o) g max max st mAo (3)利用振动规律 v(t) k y(t)=Asin( at +o) A@ sin at+o I(t)=-m1(1)=mA0-sm(o+q)Ak1=m4a2幅值方程 位移与惯性力同频同步
三.自振频率和周期的计算 1.计算方法 (1)利用计算公式 11 2 11 1 m m k = = 11 W = mg, st =W st g = 2 (2)利用机械能守恒 T(t) +U(t) =常数 cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 T t = my t = mA t + sin ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 2 U t = k1 1 y t = k A t + Tmax =Umax (3)利用振动规律 y(t) = Asin(t +) ( ) sin( ) 2 y t = −A t + ( ) ( ) sin( ) 2 I t = −m y t = mA t + 位移与惯性力同频同步. 2 Ak11 = mA 1 11 k m l EI y(t) 2 mA A 幅值方程 m k 2 11 =
自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期 EI 解 EI 7·1·-1+1··/--1·) EI 2 7/ 12 El Il 12EⅠ mo1 V7m/3 2兀2兀 7ml 12E
三.自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期. 3 11 7 1 12 ml EI m = = ) 2 2 1 2 1 3 2 2 1 ( 1 1 1 l l l l l l l l l EI = + − EI ml T 12 7 2 2 3 = = m EI l EI l =1 11 =1 l l/2 l 解: EI l 3 12 7 =
例二求图示体系的自振频率和周期.m2m 解 2l3 3 EI EI E 3213 2 3EI T=2丌 E 例三.质点重W,求体系的频率和周期 EI k 解:b1,3E m=wl/g k BEl k+ BEl BEl k g W
例二.求图示体系的自振频率和周期. 3 3 3 2 2 3 1 ml EI EI l m = = EI l 3 11 3 2 = EI ml T 3 = 2 =1 解: 2 3 l EI m EI l l m/2 EI EI l l 例三.质点重W,求体系的频率和周期. 11 3 3 l EI 解: k = k + EI k l 11 k 1 11 k 3 k 3 l EI m = W / g g W l EI k 3 3 + =