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不确定离散时滞系统的鲁棒H∞控制

基于二次稳定性理论,研究了不确定离散时滞系统的鲁棒H∞控制问题.采用线性矩阵不等式的方法,讨论了有记忆状态反馈鲁棒H∞控制问题,得到了确保鲁棒H∞控制器存在的充分条件和H∞状态反馈控制器的设计方法.最后举例说明了该方法的正确性.

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D0I:10.13374/1.issm100I103.2008.03.021 第30卷第3期北京科技大学学报 Vol.30 No.3 2008年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2008 不确定离散时滞系统的鲁棒H∞控制张蕾，2)廖福成)刘贺平 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要基于二次稳定性理论，研究了不确定离散时滞系统的鲁棒H控制问题·采用线性矩阵不等式的方法，讨论了有记忆状态反馈鲁棒H控制问题，得到了确保鲁棒H控制器存在的充分条件和H®状态反馈控制器的设计方法·最后举例说明了该方法的正确性关键词时滞系统：二次稳定：鲁棒H控制：线性矩阵不等式分类号TP273 Robust Ho Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei).LIAO Fucheng).LIU Heping2) 1)School of Applied Science.University of Science and Technology BeijingBeijing 100083,China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI Based on the quadratic stability theory,the robust He control problem for uncertain discrete-time systems with time- delay was deal with.The problem of robust H control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality ap- proach.The sufficient condition for a robust Hoe controller was derived.An Hoestate feedback controller was designed and the con- troller could be solved by one LMI.An illustrative example was presented to prove the correctness of this method. KEY WORDS time-delay system:quadratic stability:robust H control:linear matrix inequality 鲁棒Ho问题通常归结为代数Riccati方程的示A的最大和最小特征值；‖x‖表示向量x的求解.文献[1]基于Riccati方程]推导得到了鲁棒 Euclid范数，而‖x‖2为向量x的L2[0,o)范数，输出反馈控制器存在的充分条件，文献[38]利用 1系统描述线性矩阵不等式(LM)方法研究了时变不确定离散系统的鲁棒控制，但考虑的状态反馈控制律均是无考虑如下不确定离散时间时滞系统：记忆的，即u(k)=Kx(k)形式，文献[9]研究的是 x(k+1)=(A1+△A1)x(k)+(A2+△A2)x(k 连续系统的有记忆状态反馈控制器“(t)= I)+(B1十△B1)u(k)十B2O(k) Kx(t)十Lx(t一t)·本文研究一类具有状态时滞 z(k)=(C1十△C)x(k)十(C2+△C2)x(k-I)+ 的不确定离散时间时滞系统的鲁棒H控制问题， (D+△D)u(k)+D2o(k) 在文献[6]研究系统的基础上，加上干扰输入0(k) x(k)=(k),一I≤k0 和观测输出z(k),将文献[9]中u(t)=Kx(t)十 (1) Lx(t一t)引入到该系统中，得到了该系统有记忆其中，状态向量x(k)∈R”；控制输入向量u(k)∈ 的状态反馈控制器u(k)=Kx(k)十Lx(k一l)· Rm;观测输出向量z(k)∈R9;干扰信号O(k)∈ 本文中，用Im表示mXm阶的单位矩阵；F: RP且O(k)∈L2[0,oo);A1、A2、B1、B2、C1、C2、表示F:(k);A0(A<0)表示A为正定（负定）矩 D1和D2是适当维数的常数矩阵；△A1、△A2、阵；对于对称矩阵A,分别用入mm(A)和入min(A)表 △B1、△C1、△C2和△D1是适当维数的不确定矩阵，收稿日期：2006-12-02修回日期：2007-04-27 其元素可以是时变的，且具有一定的连续性；【是基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。.90304007) 常数；(k)是初始函数，作者简介：张蕾(1983一)，女，博士研究生：廖福成(1957一)，男，教授，博士不失一般性，假定系统的不确定性矩阵具有如

不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制张蕾12）廖福成1）刘贺平2） 1）北京科技大学应用科学学院北京100083 2）北京科技大学信息工程学院北京100083 摘要基于二次稳定性理论研究了不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制问题．采用线性矩阵不等式的方法讨论了有记忆状态反馈鲁棒 H∞控制问题得到了确保鲁棒 H∞控制器存在的充分条件和 H∞状态反馈控制器的设计方法．最后举例说明了该方法的正确性．关键词时滞系统；二次稳定；鲁棒 H∞控制；线性矩阵不等式分类号 TP273 Robust H∞ Control for uncertain discrete-time systems with time-delay ZHA NG Lei 12）LIA O Fucheng 1）LIU Heping 2） 1） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Based on the quadratic stability theorythe robust H∞ control problem for uncertain discrete-time systems with timedelay was deal with．T he problem of robust H∞ control with memory state feedback was discussed by linear matrix inequality approach．T he sufficient condition for a robust H∞ controller was derived．An H∞ state feedback controller was designed and the controller could be solved by one LMI．An illustrative example was presented to prove the correctness of this method． KEY WORDS time-delay system；quadratic stability；robust H∞ control；linear matrix inequality 收稿日期：2006-12-02 修回日期：2007-04-27 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．90304007）作者简介：张蕾（1983—）女博士研究生；廖福成（1957—）男教授博士鲁棒 H∞ 问题通常归结为代数 Riccati 方程的求解．文献［1］基于 Riccati 方程［2］推导得到了鲁棒输出反馈控制器存在的充分条件．文献［3—8］利用线性矩阵不等式（LMI）方法研究了时变不确定离散系统的鲁棒控制但考虑的状态反馈控制律均是无记忆的即 u（ k）＝ Kx（ k）形式．文献［9］研究的是连续系统的有记忆状态反馈控制器 u （ t ）＝ Kx（ t）＋Lx（ t—τ）．本文研究一类具有状态时滞的不确定离散时间时滞系统的鲁棒 H∞控制问题．在文献［6］研究系统的基础上加上干扰输入 ω（ k）和观测输出 z （ k）将文献［9］中 u（ t）＝ Kx（ t）＋ Lx（ t—τ）引入到该系统中得到了该系统有记忆的状态反馈控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）．本文中用 Im 表示 m× m 阶的单位矩阵；Fi 表示 Fi（ k）；A＞0（ A＜0）表示 A 为正定（负定）矩阵；对于对称矩阵 A分别用λmax（ A）和λmin（ A）表示 A 的最大和最小特征值；‖ x‖表示向量 x 的 Euclid 范数而‖x‖2 为向量 x 的 L2［0∞）范数． 1 系统描述考虑如下不确定离散时间时滞系统： x（ k＋1）＝（ A1＋ΔA1） x（ k）＋（ A2＋ΔA2） x（ k— l）＋（B1＋ΔB1） u（ k）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ΔC1） x（ k）＋（C2＋ΔC2） x（ k— l）＋（ D1＋ΔD1） u（ k）＋ D2ω（ k） x（ k）＝●（ k） — l≤k≤0 （1）其中状态向量 x（ k）∈R n；控制输入向量 u（ k）∈ R m；观测输出向量 z （ k）∈R q；干扰信号 ω（ k）∈ R p 且 ω（ k）∈ L2［0∞）；A1、A2、B1、B2、C1、C2、 D1 和 D2 是适当维数的常数矩阵；ΔA1、ΔA2、 ΔB1、ΔC1、ΔC2 和ΔD1 是适当维数的不确定矩阵其元素可以是时变的且具有一定的连续性；l 是常数；●（ k）是初始函数．不失一般性假定系统的不确定性矩阵具有如第30卷第3期 2008年 3月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．3 Mar．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．03．021

第3期张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒H©控制 .325. 下形式： Y+EXEt+GXG'GB≤0 △A1=EF(k)G1,△A2=E2F2(k)G2, 其中， △B1=E3F3(k)G3,△C1=E4F4(k)G4, Xp=diagl,zI,…,lp, △C2=E5F5(k)G6,△D1=E6F6(k)G6· X=diag41o1,lg…,l,. 其中E:和G(i=1,2,…,6)是已知的适当维数的则对所有满足FFa≤I。的Fa= 常数矩阵，F:(k)∈R9满足 F F(k)F(k)≤L,i=1,2,…,6 (2) F2 定义1考虑系统 ,F,∈Rx9(i=1,2,,N), x(k+1)=f(x(k),x(k-l),k) (3) F 如果存在V(x(k),k)和正数a1,2,s及K类函数1o中(r),(r)使得 ,下式成立， ①$（‖x(k)‖）≤V(x(k),k)≤ Y+EFaG+GiFE<0. 24(‖x(k)‖)， ②△V(x(k),k)l③≤-ag‖x(k)‖2， 2主要结果则称系统（③）是二次稳定的. 考虑系统(1)在状态反馈控制律“(k)= 定义2对于系统(1)，如果存在线性状态反馈 Kx(k)十Lx(k一I)下的二次稳定性，这时闭环系控制器统状态表达式为： u(k)=Kr(k)十Lx(k-l), x(k+1)=(A1+BK+△A1+△BK)x(k)+(A2+ 其中，K∈RmX,L∈Rmxm.称系统(1)是具有 B1L十△A2十△B1L)x(k一I)十B2O(k) H∞范数界Y鲁棒可镇定的，如果下列条件满足： z(k)=(C+D1K+△C1+△D1K)x(k)+(C2+ ①O(k)三0时，闭环系统是二次稳定的； D1L+△C2+△D1L)x(k-I)+D2O(k) ②给定正常数Y,在零初始条件下，满足H∞ (4) 范数约束条件z(k)z≤Y四(k)2 定理1给定一常数Y>0,如果存在对称正定引理)给定适当维数的对称矩阵Y和适当矩阵P、S以及矩阵K、L,使得对于任意满足式(2) 维数的矩阵E6和G6,如果存在正常数：(=1,2，的F:(k)(i=1,2,…,6),下列不等式成立： …,N),使得 -p-l A1十B1K+△A1十△B1KA2+B1L十△A2十△B1LB2 0 0 （A1+B1K+△A1+△B1)T -P 0 0(C+D1K+△C1+AD1T (A2+B1L+△A2+△B1L)T 0 -S 0 (C2+D1L+△C2+△D1L)T 0 <0 品 0 0 -y21 D 0 0 CI+DIK+AC1+△D1KC2+D1L+△C2+△D1LD2 一1 0 0 0 0 -S (5) 则闭环系统(4)（当(k)=0时）是二次稳定的，且如果式(5)成立，则有P>0,S>0.令在零初始条件下有： ‖z(k)‖2≤y‖o(k)I‖2，Ho(k)∈L2[0,∞)- V(x(k),k)=x"(k)Px(k)+ (s( 证明：为简便起见，记 (6) x=x(k),x=x(k一I),0=0(k), 则V(x(k),k)正定，且满足定义1中的条件①，把 A=A1十B1K十△A1十△B1-K, 它作为系统(4)的Lyapunov函数. B=A2+B1L十△A2十△B1L, 当o(k)=0时，Lyapunov函数(6)沿闭环系统 C=C1+D1K+AC1十AD1K, (4)的前向差分为： D=C2+D1L十△C2十△DL. △V(x(k),k)l(④=(Ax+Bx)P(Ar+Bx)-

下形式： ΔA1＝ E1F1（ k） G1ΔA2＝ E2F2（ k） G2 ΔB1＝ E3F3（ k） G3ΔC1＝ E4F4（ k） G4 ΔC2＝ E5F5（ k） G5ΔD1＝ E6F6（ k） G6．其中 Ei 和 Gi（ i＝12…6）是已知的适当维数的常数矩阵Fi（ k）∈R e i×g i满足 F T i （ k）Fi（ k）≤ Ig ii＝12…6 （2）定义1 考虑系统 x（ k＋1）＝ f （ x（ k）x（ k— l）k）（3）如果存在 V（ x（ k）k）和正数 α1α2α3 及 K 类函数［10］●1（ r）●2（ r）使得 ① α1●1 （‖ x （ k ） ‖） ≤ V （ x （ k ）k ） ≤ α2●2（‖x（ k）‖） ② ΔV（ x（ k）k）｜（3）≤—α3‖x（ k）‖2 则称系统（3）是二次稳定的．定义2 对于系统（1）如果存在线性状态反馈控制器 u（ k）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）其中K∈R m× nL∈R m× n．称系统（1）是具有 H∞范数界 γ鲁棒可镇定的如果下列条件满足： ① ω（ k）≡0时闭环系统是二次稳定的； ② 给定正常数 γ在零初始条件下满足 H∞ 范数约束条件‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2．引理［3］给定适当维数的对称矩阵 Y 和适当维数的矩阵 Eb 和 Gb如果存在正常数 μi（ i＝12 …N）使得 Y＋ EbXρE T b＋ GbX —1 σ G T b≤0．其中 Xρ＝diag｛μ1Iρ1μ2Iρ2…μNIρN｝ Xσ＝diag｛μ1Iσ1μ2Iσ2…μNIσN｝．则对所有满足 F T dFd ≤ Iσ 的 Fd ＝ F1 F2 ⋱ FN Fi∈R ρi×σi（ i＝12…N） σ＝ ∑ N i＝1 σi下式成立 Y＋ EbFdGb＋ G T bF T dE T b＜0． 2 主要结果考虑系统（1）在状态反馈控制律 u （ k ）＝ Kx（ k）＋ Lx（ k— l）下的二次稳定性．这时闭环系统状态表达式为： x（k＋1）＝（A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1K）x（k）＋（A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） x（ k— l）＋B2ω（ k） z（ k）＝（C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） x（ k）＋（C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） x（ k— l）＋ D2ω（ k）（4）定理1 给定一常数 γ＞0如果存在对称正定矩阵 P、S 以及矩阵 K、L使得对于任意满足式（2）的 Fi（ k）（ i＝12…6）下列不等式成立： — P —1 A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L B2 0 0 （ A1＋ B1K＋ΔA1＋ΔB1K） T — P 0 0 （ C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K） T I （ A2＋ B1L＋ΔA2＋ΔB1L） T 0 — S 0 （ C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L） T 0 B T 2 0 0 —γ 2 I D T 2 0 0 C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L D2 — I 0 0 I 0 0 0 — S —1 ＜0 （5）则闭环系统（4）（当 ω（ k）＝0时）是二次稳定的且在零初始条件下有： ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2∀ω（ k）∈L2［0∞）．证明：为简便起见记 x＝x（ k）xl＝x（ k— l）ω＝ω（ k） A＝ A1＋B1K＋ΔA1＋ΔB1— K B＝ A2＋B1L＋ΔA2＋ΔB1L C＝C1＋ D1K＋ΔC1＋ΔD1K D＝C2＋ D1L＋ΔC2＋ΔD1L．如果式（5）成立则有 P＞0S＞0．令 V（ x（ k）k）＝x T （ k） Px（ k）＋ ∑ k－1 i＝k－l x T （ i） Sx（ i）（6）则 V（ x（ k）k）正定且满足定义1中的条件①把它作为系统（4）的 Lyapunov 函数．当 ω（ k）＝0时Lyapunov 函数（6）沿闭环系统（4）的前向差分为： ΔV（ x（ k）k）｜（4）＝（ Ax＋Bxl） T P（ Ax＋Bxl）— 第3期张蕾等：不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞控制 ·325·

x T Px＋x T Sx—x T l Sxl＝［ x T （ k） x T （ k— l）］· A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S x（ k） x（ k— l）记 U1＝ A T PA—P＋S A T PB B T PA B T PB—S ．由 Schur 补性质可知不等式（5）成立时有 —P —1 A B 0 A T —P 0 I B T 0 —S 0 0 I 0 —S —1 ＜0 （7）再利用 Schur 补性质知式（7）等价于 U1＜0．从而 ΔV（ x（ k）k）｜（4）＝［ x T （ k） x T （ k— l）］ U1 x（ k） x（ k— l） ≤ λmax（ U1）［‖x（ k）‖2＋‖x（ k— l）‖2］≤ λmax（ U1）‖x（ k）‖2．由高等代数知识可知 λmax （ U1）＜0令 α＝ —λmax（ U1）则 α＞0．从而有 ΔV（ x（ k）k）｜（4）≤—α‖x（ k）‖2．因此定义1中的条件②也满足所以闭环系统（4）是二次稳定的．另一方面在零初始条件下引入 J＝ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）］对任意的 ω（ k）∈L2［0∞）利用 Lyapunov 泛函和零初始条件从而由文献［4］定理2中的证明有： J≤ ∑ ∞ k＝0 ［ z T （ k） z（ k）—γ2ω T （ k）ω（ k）＋ ΔV（ x（ k）k）］＝ ∑ ∞ k＝0 ξ T （ k） U2ξ（ k）（8）其中 ξ（ k）＝［ x T （ k） x T （ k— l） ω T （ k）］ T U2＝ C T C＋ A T PA—P＋S C T D＋ A T PB C T D2＋ A T PB2 D T C＋B T PA D T D＋B T PB—S D T D2＋B T PB2 D T 2 C＋B T 2 PA D T 2 D＋B T 2 PB D T 2 D2＋B T 2 PB2—γ2I ．由 Schur 补性质可知不等式（5）成立时有 U2＜0从而 J≤0．由此得到 ‖z（ k）‖2≤γ‖ω（ k）‖2∀ω（ k）∈L2［0∞）．综上所述定理1证毕．定理2给出这类系统具体的反馈控制器设计方法．定理2 给定一正常数 γ如果存在εi＞0（ i＝ 12…6）以及对称正定矩阵 X、Y 和矩阵 M、N 使得－ X＋∑ 3 i＝1 εiEiE T i A1X＋ B1M A1Y＋ B1N B2 0 0 0 0 0 0 0 0 （ A1X＋ B1M） T － X 0 0 （ C1X＋ D1M） T X （ G1X） T 0 （ G3M） T （ G4X） T 0 （ G6M） T （ A1Y＋ B1N） T 0 － Y 0 （ C2Y＋ D1N） T 0 0 （ G2Y） T （ G3N） T 0 （ G5Y） T （ G6N） T B T 2 0 0 －γ 2I D T 2 0 0 0 0 0 0 0 0 C1X＋ D1M C2Y＋ D1N D2 － I＋∑ 6 i＝4 εiEiE T i 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 － Y 0 0 0 0 0 0 0 G1X 0 0 0 0 －ε1I 0 0 0 0 0 0 0 G2Y 0 0 0 0 －ε2I 0 0 0 0 0 G3M G3N 0 0 0 0 0 －ε3I 0 0 0 0 G4X 0 0 0 0 0 0 0 －ε4I 0 0 0 0 G5Y 0 0 0 0 0 0 0 －ε5I 0 0 G6M G6N 0 0 0 0 0 0 0 0 －ε6I ＜0 （9） ·326· 北京科技大学学报第30卷

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