第六章小波分析的基本原理及其应用 之所以命名为小波变换,主要是基于以下两方面的原 因:其一,小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有 限的,“波”是指基函数是振荡的;母小波则是指所有在变 换中用到的窗函数都是由它推导而来,或者说母小波是其它 窗函数的原型;其二,变换的概念与短时傅里叶变换是一样 的,但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数,而是 得到尺度参数,它被定义为频率的倒数
第六章 小波分析的基本原理及其应用 之所以命名为小波变换, 主要是基于以下两方面的原 因： 其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有 限的， “波”是指基函数是振荡的; 母小波则是指所有在变 换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它 窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样 的， 但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是 得到尺度参数， 它被定义为频率的倒数
第六章小波分析的基本原理及其应用 对这样的定义方式作如下说明: (1)基小波函数可能为复函数,例如 Morlet小波的表达 式为 y(t=e-ITejaol (6.2.6 它是在高斯包络下的负指数函数。 (2)尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换,在不同 的尺度因子下,小波的持续时间随a的加大而增宽
第六章 小波分析的基本原理及其应用 对这样的定义方式作如下说明： （1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达 式为 t T j t t 0 2 ( ) e e / − = (6.2.6) 它是在高斯包络下的负指数函数。 （2） 尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同 的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽
第六章小波分析的基本原理及其应用 (3)在ar前面所加的因子1/a的作用是保证在不 同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。即,设E ∫|(t)|2dt作为基本小波的能量,则对基本小波进行移位 和伸缩后得到的ψ。(1)的能量为 t-T E dt dt= e C C (627)
第六章 小波分析的基本原理及其应用 （3） 在ψaτ前面所加的因子 的作用是保证在不 同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。即，设E= ∫|ψ(t)|2 dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位 和伸缩后得到的ψaτ(t)的能量为 1/ a t E a t a t a t a E = = − = d 1 d 1 ' 2 2 (6.2.7)
第六章小波分析的基本原理及其应用 2.小波变换与短时傅里叶变换的比较 将小波变换与短时傅里叶变换作比较,我们将会看到两者 的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展,它的提 出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作,都要与一个 “窗函数”相乘,并且变换都是在时间域上分段进行的。小波 变换与短时傅里叶变换的不同之处在于: (1)对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换,所以信 号变换后的表现形式是不同的; (2)窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化 的,这也是小波变换的一个最显著的特征
第六章 小波分析的基本原理及其应用 2. 小波变换与短时傅里叶变换的比较 将小波变换与短时傅里叶变换作比较，我们将会看到两者 的联系。连续小波变换是短时傅里叶变换的一个发展，它的提 出解决了分析的精度问题。两者具有类似的操作，都要与一个 “窗函数”相乘，并且变换都是在时间域上分段进行的。小波 变换与短时傅里叶变换的不同之处在于： （1） 对于加窗后的信号并不是进行傅里叶变换，所以信 号变换后的表现形式是不同的； （2） 窗函数的宽度在对每一个单独的频谱计算时是变化 的， 这也是小波变换的一个最显著的特征
第六章小波分析的基本原理及其应用 需要明确的是:在小波变换中的尺度类似于地图中的比 例尺,大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述,而 小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度 来看,低的频率(大尺度)对应信号的整体信息,而高频率 分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当 中,高频分量(对应小波分析的小尺度)一般并不是持续于 信号的始终,而是在某些时间段内出现,表现为信号上的尖峰: 低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方 法的物理基础。在具体计算中,为方便起见,小波变换通常 从尺度1开始,其后尺度不断增大,因此对于频率的分析也从 高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中,不 同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率,而小波变换 则对不同的频率分量采取不同的分析精度
第六章 小波分析的基本原理及其应用 需要明确的是：在小波变换中的尺度类似于地图中的比 例尺，大的比例对应的是一个对信号的全局的概略描述，而 小的比例则相应地对应于细节性的描述。从信号频率的角度 来看， 低的频率（大尺度）对应信号的整体信息，而高频率 分量则对应于在信号内部隐藏的细节信息。在实际的应用当 中， 高频分量（对应小波分析的小尺度）一般并不是持续于 信号的始终,而是在某些时间段内出现，表现为信号上的尖峰； 低频分量通常则是有着长的持续时间。这些是多分辨分析方 法的物理基础。在具体计算中，为方便起见，小波变换通常 从尺度1开始，其后尺度不断增大，因此对于频率的分析也从 高频分析向低频分析的方向进行。在短时傅里叶变换中， 不 同的时刻和不同的频率上都采用相同的分辨率， 而小波变换 则对不同的频率分量采取不同的分析精度