第六章小波分析的基本原理及其应用 62连续小波变换 6.2.1从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知,短时傅里叶变换通过 引入一个滑动的窗函数w(t),然后对窗函数内的信号与窗函数 的乘积进行傅里叶变换,再让窗函数沿时间轴移动,就可得 到信号频谱随时间变化的规律。 这样,信号x()对于给定的窗口函数()的短时傅里叶变换: STFT(, 2)=x(tw(t-te idr (62.2) 给出了信号x()的时间和频率的二维分布
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2 连续小波变换 6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换 由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过 引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数 的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。 这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换: STFT ( , ) ( ) ( )e d * -jΩτ x t Ω = x w −t + − （6.2.2） 给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布
第六章小波分析的基本原理及其应用 对于(622)式定义的短时傅里叶变换,如果取高斯 ( Gauss)E数作为窗函数,即 a>0(623) 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯( Gabor)变换: +oo GT2(t2g2)=(x()eo)ga(-1)dz(624
第六章 小波分析的基本原理及其应用 对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯 (Gauss)函数作为窗函数，即 4 2 2 1 ( ) ( ) t w t g t e − = = α>0 （6.2.3） 则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换: GT ( , ) ( ( )e ) ( )d j t Ω x g t Ω x = − + − − （6.2.4）
第六章小波分析的基本原理及其应用 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换,由于使用了一个可 移动的时间窗函数,使其具有了一定的时间分辨率。但是,它 们还存在一些自身的问题,其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理,我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量,最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间,我们可以准确地 确定某一个时间点,但是频率则是另外的一个概念,它指的是 在一个时间段内,某一个量的变化次数,这从频率的定义中就 可以看得到
第六章 小波分析的基本原理及其应用 不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到
n2 二2 200 40 150 30 200 106N 30 20 10 TIME 10 FREQUENCY TIME REQUENCY =0.01 =0.001 500 10000 1000 50 0.0001 30 (a)(b) 20 <250200150100500 10 TIME FREQUENCY 5001000 图621不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里啡变换结果
第六章 小波分析的基本原理及其应用 图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果 (d ) (a) (b) (c) a＝ 0.01 a＝ 0.001 a＝ 0.0001 0 500 1000 1 0.5 0 0 500 1000 1 0.5 0 0 500 1000 1 0.5 0 ga g (t) a (t) ga (t) (a) (b) (c) AMPLITUDE 10 5 0 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 FREQUENCY TIME AMPLITUDE 150 50 0 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 100 FREQUENCY TIME AMPLITUDE 100 50 0 250 200 150 100 50 0 0 10 20 30 40 50 150 FREQUENCY TIME t t t
第六章小波分析的基本原理及其应用 622连续小波变换 1.连续小波变换的定义 设x()是平方可积函数,记作x()∈D(R),v(是基小波 或“母小波函数”,则 t-T W;(a,)=7=x()y dt=<x(0),Var(t)> (6.2.5) 称之为x(1)的连续小波变换。显然,该变换与两个参数a和τ有 关,其中a>0被称为尺度因子,而τ则反映小波函数在变换中 的位移
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换 1. 连续小波变换的定义 设x(t)是平方可积函数，记作 ，ψ(t)是基小波 或“母小波函数” ，则 ( ) ( ) 2 x t L R = − = ( ) d ( ), ( ) 1 ( , ) * t x t t a t x t a WTx a a (6.2.5) 称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有 关，其中a>0 被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中 的位移