(5)如果A(x)与A(x)均可导,则 da (x) =-A(x) da(x)g-l (x) dx (6)设A(x)为矩阵函数,x=f(t)是t的纯量 函数,4(x)与f(t)均可导,则 A(x)= d4(x) f(t)=f"() d4(x)
(5) 如果 与 均可导，则 (6) 设 为矩阵函数， 是 的纯量 函数， 与 均可导，则 A x( ) 1 A x( ) − 1 d ( ) d ( ) 1 1 ( ) ( ) d d A x A x A x A x x x − − − = − A x( ) x f t = ( ) t A x( ) f t( ) d d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A x A x A x f t f t x x x = =
定义:如果函数矩阵A(x)=(a1(x)mmn的 所有各元素an1(x)(i=1,…,mi;j=1,…,n) 在[a,b上可积,则称4(x)在[a,b上 且 b b a,(x)dx an2(x)dx n(x)d b b b b a2I(x)dx a22(x)dx A (x dx a2n (x dx b a(x)ax m2( ) dx a…(x)dx mn
定义： 如果函数矩阵 的 所有各元素 在 上可积，则称 在 上可积 ， 且 ( ) ( ( )) A x a x = ij m n ( )( 1, , ; 1, , ) a x i m j n ij = = [ , ] a b A x( ) [ , ] a b 11 12 1 21 22 2 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d b b b n a a a b b b b n a a a a b b b m m mn a a a a x x a x x a x x a x x a x x a x x A x x a x x a x x a x x =
函数矩阵的定积分具有如下性质: kx)dx=k4(x)xk∈R [A(x)+B(x)]dx=A(x)dx+L B(x)dx 例1:已知函数矩阵 4(x)= 0 试计算
( )d ( )d [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b a a b b b a a a kA x x k A x x k R A x B x x A x x B x x = + = + 函数矩阵的定积分具有如下性质： 例 1 ：已知函数矩阵 试计算 2 1 ( ) 0 x A x x =
d (1)A(x), dx x 24(x),3A(x (2)2|4(x) d (3)A(x) 证明: d 02x A(x) 10 00
2 3 2 3 1 (1) ( ), ( ), ( ) (2) ( ) (3) ( ) d d d A x A x A x dx dx dx d A x dx d A x dx − 证明： 0 2 ( ) 1 0 d x A x dx = 2 2 0 ( ) 0 0 d x A x dx =
d 00 A(x) 00 由于|A(x)=-x3,所以 A4(x)|=-3x 下面求A(x)。由伴随矩阵公式可得
由于 ，所以 下面求 。由伴随矩阵公式可得 3 3 0 0 ( ) 0 0 d A x dx = 3 A x x ( ) = − 2 ( ) 3 d A x x dx = − 1 A x( ) −