第17卷第3期 微波学报 Vol.17 No.3 2001年9月 JOURNAL OF MICROWAVES Sep.2001 两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 General Expressions Between Unit Vectors of Two Curvilinear Orthogonal Coordinate Systems 易辉跃唐斌晏才宏周希朗 (上海交通大学电子工程系，上海200030) YI Huiyue.TANG Bin.YAN Caihong.ZHOU Xilang (Department of E lectronic Eng ineering,Shanghai J iaotong University,Shanghai 200030) 【摘要】本文采用不同的分析思路，导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系，并推广到更一般的情况一任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知，利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系，文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵，进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系。 关键词：正交曲线坐标系，单位矢量.变换矩阵 Abstract Concise expressions between unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system were derived in terms of different analytical ideas.These expressions were expanded to more general relations between unit vectors of two curvilinear orthogonal coordinate systems.W ith the help of these expressions,relations between unit vectors of a curvilinear orthogonal coordinate system and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system can easily be obtained as long as the single- value relations between these two coordinates are know n.By means of the relations between curvilinear orthogonal coordinates provided by other authors,the transform ation m atrixes betw een unit vectors of curvilinear orthogonal coordinate systems and those of cartesian coordinate system or another curvilinear orthogonal coordinate system were given. Key terms Curvilinear orthogonal coordinate,Unit vector,T ransform ation m atrix 一引 言 众所周知，根据求解实际电磁场边值问题的需要，人们已引出了十多种正交曲线坐标系， 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系、圆柱坐标系等坐标间的关系，并提供了各种 坐标系的度量因子（拉梅系数）]，为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便。然而，由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系和圆球坐标系）下求解，因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开，椭圆柱坐标系等十多种坐标 *收稿日期：2001-04-08：定稿日期：2001-07-30
两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式Ξ Γ ενεραλ Ε ξπρεσσιονσ Βετωεεν Υ νιτ ς εχτορσ οφ Τωο Χυρϖιλινεαρ Ορτηογοναλ Χοορδ ινατε Σψστεμ σ 易辉跃 唐 斌 晏才宏 周希朗 k上海交通大学电子工程系o上海 usssvsl ΨΙ Η υιψυεo ΤΑΝΓ Βινo ΨΑΝ Χαιηονγo ΖΗ ΟΥ Ξ ιλανγ kΔ επ αρτμ εντ οφ Ε λεχτρονιχ Ε νγ ινεερινγ oΣηανγ ηαι ϑιαοτονγ Υ νιϖερσιτψoΣηανγ ηαι usssvsl =摘要> 本文采用不同的分析思路o导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析 关系o并推广到更一般的情况) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 只要一种正交曲线 坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知o利用这些关系式即可得到 正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 利用文献上已有的正 交曲线坐标系坐标间的单值关系o文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢 量间的变换矩阵o进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 关键词} 正交曲线坐标系o单位矢量o变换矩阵 Αβστραχτ} ≤ ²±¦¬¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶ ¤±§ ·«²¶¨ ²© ¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° º¨µ¨ §¨µ¬√¨§ ¬± ·¨µ° ¶ ²© §¬©©¨µ¨±·¤±¤¯¼·¬¦¤¯ ¬§¨¤¶q × «¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶ º ¨µ¨ ¨¬³¤±§¨§ ·² ° ²µ¨ ª¨±¨µ¤¯ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶ ²© ·º ² ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¶q • ¬·« ·«¨ «¨¯³ ²©·«¨¶¨ ¨¬³µ¨¶¶¬²±¶o µ¨¯¤·¬²±¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¤¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¤±§·«²¶¨²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯ ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ¦¤± ¨¤¶¬¯¼ ¥¨ ²¥·¤¬±¨§ ¤¶¯²±ª ¤¶·«¨ ¶¬±ª¯¨2 √¤¯∏¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ·«¨¶¨ ·º² ¦²²µ§¬±¤·¨¶ ¤µ¨ ®±²º ±q ¼ ° ¨¤±¶ ²© ·«¨ µ¨¯¤·¬²±¶ ¥¨·º ¨¨± ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶³µ²√¬§¨§¥¼ ²·«¨µ¤∏·«²µ¶o ·«¨·µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬¨¶¥¨·º ¨¨± ∏±¬·√¨¦·²µ¶²©¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° ¶¤±§ ·«²¶¨ ²©¦¤µ·¨¶¬¤± ¦²²µ§¬±¤·¨ ¶¼¶·¨° ²µ¤±²·«¨µ¦∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨¶¼¶·¨° º¨µ¨ ª¬√¨±q Κ εψ τερμ σ} ≤ ∏µ√¬¯¬±¨¤µ²µ·«²ª²±¤¯¦²²µ§¬±¤·¨o ±¬·√¨¦·²µo × µ¤±¶©²µ° ¤·¬²± ° ¤·µ¬¬ 一!引 言 众所周知o根据求解实际电磁场边值问题的需要o人们已引出了十多种正交曲线坐标系o 给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系!圆柱坐标系等坐标间的关系o并提供了各种 坐标系的度量因子k拉梅系数l1t2 o为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便∀ 然而o由于 常见的电磁场边值问题多在三种坐标系k直角坐标系!圆柱坐标系和圆球坐标系l下求解o因此 正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开o椭圆柱坐标系等十多种坐标 第 tz 卷第 v 期 usst 年 | 月 微 波 学 报 ƒ ≤ • ∂ ∞≥ ∂ ²¯qtz ²qv ≥¨³qusst Ξ 收稿日期}usstp swp s{~定稿日期}usstp szp vs∀
第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 63 系中的矢量分析则用得不很多。因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切，故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用.本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础，采用不同分析思路，导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式，并将此推导思路推广到更一般情况一一任意 两种正交曲线坐标系（除直角坐标系外）单位矢量间的一般表达式， 二、理论分析 2.1正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中，p点的坐标为(，2,4)，p点在直角坐标系下的坐标为 (x,y,z),正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 1=81(x,y,z) X=G1(1,u2,u3) u2=82(x,y,z) 或 y=G2(,u2,3) (1) 43=83(x,9,2） z=G3(,2,l3) 则正交曲线坐标系单位矢量1,2,3和直角坐标系单位矢量x,y,z间的对应关系可表示为 (2) 其中M为变换矩阵。M可采用几何投影法、方向导数法导出。若坐标间满足较为简单的几何 关系，则采用这两种方法推导较为方便。但当坐标间的几何关系不太明确时，采用上述方法则 难以奏效。为此本文采用以下两种推导方法. 2.1.1偏导数公式法 若设p点与坐标原点间的位置矢量为元，p点的微分矢移为d工则在直角坐标系下，位置 矢量r可表示为 T=xx+yy+zz (3) 而正交曲线坐标系下，微分矢移T为 dI=dr=dhu+dku2+dbus=uhdu uzhaduz+ushsdus (4) 其中h,h2,h分别为相应坐标系的度量因子，它们一般是坐标的函数。若将上式写成增量形 式，则为 △r=1h1△1+u2h2△u2+u3hs△u3 (5) 保持u2和u:为常数（即△u2=0=△u),则 △立=h (6) △W1 对上式取极限，则有 ⊥立 u=h d (7) 类似地，可得到u2和u的表达式，从而得 -恶123 8
系中的矢量分析则用得不很多∀ 因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密 切o故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用∀本文欲以正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础o采用不同分析思路o导出多种正交曲线 坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式o并将此推导思路推广到更一般情况) ) 任意 两种正交曲线坐标系k除直角坐标系外l单位矢量间的一般表达式∀ 二!理论分析 2q1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系 假设在一种正交曲线坐标系中oπ 点的坐标为kυtoυuoυvloπ 点在直角坐标系下的坐标为 kξ oψoζlo正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υt γ tkξ oψoζl υu γ ukξ oψoζl υv γ vkξ oψoζl 或 ξ Γtkυtoυuoυvl ψ Γukυtoυuoυvl ζ Γvkυtoυuoυvl ktl 则正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 和直角坐标系单位矢量 ξ δ oψ δ oζ δ 间的对应关系可表示为 υ δ t υ δ u υ δ v Μ ξ δ ψ δ ζ δ kul 其中 Μ 为变换矩阵∀ Μ 可采用几何投影法!方向导数法导出∀ 若坐标间满足较为简单的几何 关系o则采用这两种方法推导较为方便∀ 但当坐标间的几何关系不太明确时o采用上述方法则 难以奏效∀ 为此本文采用以下两种推导方法∀ uqtqt 偏导数公式法 若设 π 点与坐标原点间的位置矢量为 ρ ο oπ 点的微分矢移为 δ λϕ o则在直角坐标系下o位置 矢量 ρ ο 可表示为 ρ ο ξ ξδ n ψψδ n ζζδ kvl 而正交曲线坐标系下o微分矢移 δ λϕ为 δ λϕ δ ρο δ λtυ δ t n δ λuυ δ u n δ λvυ δ v υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv kwl 其中 ηtoηuoηv 分别为相应坐标系的度量因子o它们一般是坐标的函数∀ 若将上式写成增量形 式o则为 ∃ρ ο υ δ tηt∃ υt n υ δ uηu∃ υu n υ δ vηv∃ υv kxl 保持 υu 和 υv 为常数k即 ∃ υu s ∃ υvlo则 ∃ρ ο ∃ υt υ δ tηt kyl 对上式取极限o则有 υ δ t t ηt 5ρ ο 5υt kzl 类似地o可得到 υ δ u 和 υ δ v 的表达式o从而得 υ δ ι t ηι 5ρ ο 5υι o ι touov k{l 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yv
64 微波学报 2001年9月 2.1.2全微分公式法 思路 因p点的微分矢移可表示为 -恶a+ -duz 证 us (9) 又考虑到式(1)及式(3)，于是，关于的偏导数为 区+ 恶 ·议+yan ·y+za 创+y +Z (10) 因，少，2是常矢量，故有 正-+9别 + (11) ou 又因 -恶·=川+'+1 (12) 所以 a证 41= L远， 六+★： (13) C 2和的表达式可类似得到，于是，其一般式为 近 1x1”1正 Or h u+h uy+h du Cui aG· 0G2, + 0G3 G22 (i=1,2,3) (14) 其中x=G1,y=G2,z=G3,而h= 1 思路正 正交曲线坐标系下，若微分矢移dT只沿w方向，即d2=0=du,则 =⊥d虹_xdx+dv+2d un=h du hidu (15) 又由多元函数的全微分公式，有 dx=dur+ 2duz+ 必du= d ou dun ,头，+=a部 Cu3 du (16) dz- 应du+ 色d+a 产d,=ed 将上式代入式(15)可得
uqtqu 全微分公式法 思路 } 因 π 点的微分矢移可表示为 δ λϕ δ ρο 5ρ ο 5υt δ υt n 5ρ ο 5υu δ υu n 5ρ ο 5υv δ υv k|l 又考虑到式ktl及式kvlo于是 ρ ο 关于 υt 的偏导数为 5ρ ο 5υt ξ 5ξ δ 5υt n ξ δ 5ξ 5υt n ψ 5ψ δ 5υt n ψ δ 5ψ 5υt n ζ 5ζ δ 5υt n ζ δ 5ζ 5υt ktsl 因 ξ δ oψ δ oζ δ 是常矢量o故有 5ρ ο 5υt ξ δ 5ξ 5υt n ψ δ 5ψ 5υt n ζ δ 5ζ 5υt kttl 又因 5ρ ο 5υt 5ρ ο 5υt Ø 5ρ ο 5υt tÙu 5ξ 5υt u n 5ψ 5υt u n 5ζ 5υt u tÙu ktul 所以 υ δ t 5ρ ο 5υt 5ρ ψ 5υt t ηt 5ξ 5υt ξ δ n t ηt 5ψ 5υt ψ δ n t ηt 5ζ 5υt ζ δ ktvl υ δ u 和 υ δ v 的表达式可类似得到o于是o其一般式为 υ δ ι 5ρ ο 5υι 5ρ ψ 5υι t ηι 5ξ 5υι ξ δ n t ηι 5ψ 5υι ψ δ n t ηι 5ζ 5υι ζ δ 5Γt 5υι ξ δ n 5Γu 5υι ψ δ n 5Γv 5υι ζ δ Ε v κ t 5Γκ 5υι u tÙu kι touovl ktwl 其中 ξ Γtoψ Γuoζ Γvo而 ηι Ε v κ t 5Γκ 5υι u tÙu ∀ 思路 } 正交曲线坐标系下o若微分矢移 δ λϕ只沿 υt 方向o即 δ υu s δ υvo则 υ δ t t ηt δ λϕ δ υt ξ δ δ ξ n ψ δ δ ψ n ζ δ δ ζ ηtδ υt ktxl 又由多元函数的全微分公式o有 δ ξ 5ξ 5υt δ υt n 5ξ 5υu δ υu n 5ξ 5υv δ υv 5Γt 5υt δ υt δ ψ 5ψ 5υt δ υt n 5ψ 5υu δ υu n 5ψ 5υv δ υv 5Γu 5υt δ υt δ ζ 5ζ 5υt δ υt n 5ζ 5υu δ υu n 5ζ 5υv δ υv 5Γv 5υt δ υt ktyl 将上式代入式ktxl可得 yw 微 波 学 报 usst 年 | 月
第17卷第3期 易辉跃等：两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 65 1 0G1 0G2 1 0G3 un=h a" xhyh a (17) 类似地，若微分矢移dT只沿u2或u3方向，则可得到2和，其一般式即为式(14)。利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系，如表1所示。 表1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系（仅提供变换矩阵） 曲线坐标系 两者坐标间的关系 单位矢量间的变换矩阵M (1,u2,u3) (文献G]) x=rcosp 圆柱坐标系 cosp sinpo y=rsin sinp cosp 0 (,9z) 2=2 0 x=Rsinecosp sinecosp sin0s inp 圆球坐标系 cos0 y=Rsinesinp cosecosp coses in.sin (R,0,9 z=Rcose -sinp cos 0 2 sinhEcosn 2 coshEsinn x=pcoshEcosn cosh2g-cos2n cosh2. cos2n 椭圆柱坐标系 y=psinhsinn (n,z) J2 coshEsin” J2 s inhcos” 0 z=2 cosh2E·cos20 cosh2Ecos2h 0 0 1 0 抛物柱坐标系 x=5.9) 0 (℃单2) y=q y 2=2 0 0+VF 电小1·型 x ap +w +W J G+w 旋转抛物柱面坐标系 y=ψJ1.9 (℃中，9 」1.平 2=25.9) JG+取 JG+e 0 x= asinh 1·cos0 cosh sin0s inh 双极坐标系 cosh-cos0 coshξ·cos0 coshξ·cosθ -sines inh cos0 cosh· (5,0,z) y= cosh-cos cosh-cosθ 0 coshξcosd z 注：因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂，无法包括 在表中，故被略去。 2.2两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中p点的坐标仍为(，2，)，度量因子为，h2,h;另一种正交 曲线坐标系中p点的坐标为(u',u'2,'),度量因子为h',h',h',两正交曲线坐标系中各坐
υ δ t t ηt 5Γt 5υt ξ δ n t ηt 5Γu 5υt ψ δ n t ηt 5Γv 5υt ζ δ ktzl 类似地o若微分矢移 δ λϕ只沿 υu 或 υv 方向o则可得到 υ δ u 和 υ δ vo其一般式即为式ktwl∀ 利用 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系o如表 t 所示∀ 表 t 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυtoυuoυvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 Μ 圆柱坐标系 kρoΥoζl ξ ρ¦²¶Υ ψ ρ¶¬±Υ ζ ζ ¦²¶Υ ¶¬±Υ s p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s s st 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ξ Ρ ¶¬±Η¦²¶Υ ψ Ρ ¶¬±Η¶¬±Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η¦²¶Υ ¶¬±Η¶¬±Υ ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶Υ ¦²¶Η¶¬±Υ p ¶¬±Η p ¶¬±Υ ¦²¶Υ s 椭圆柱坐标系 kΝoΓoζl ξ 𦲶«Ν¦²¶Γ ψ 𠶬±«Ν¶¬±Γ ζ ζ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s p u ¦²¶«Ν¶¬±Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ u ¶¬±«Ν¦²¶Γ ¦²¶«uΝp ¦²¶uΓ s s st 抛物柱坐标系 kΦoΩoζl ξ t u kΦu p Ωu l ψ ΦΩ ζ ζ t Φu n Ωu Φ Ω s p Ω Φ s s s Φu n Ωu 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ξ ΦΩΥ ψ ΦΩ t p Υu ζ t u kΦu p Ωu l ΩΥ Φu n Ωu Ω t p Υu Φu n Ωu Φ Φu n Ωu ΦΥ Φu n Ωu Φ t p Υu Φu n Ωu p Ω Φu n Ωu t p Υu p Υ s 双极坐标系 kΝoΗoζl ξ ᶬ±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ψ ᶬ±Η ¦²¶«Νp ¦²¶Η ζ ζ tp ¦²¶Η¦²¶«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η s p ¶¬±Η¶¬±«Ν ¦²¶«Νp ¦²¶Η ¦²¶Η¦²¶«Νp t ¦²¶«Νp ¦²¶Η s s st 注}因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂o无法包括 在表中o故被略去∀ 2q2 两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 设一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标仍为kυtoυuoυvlo度量因子为 ηtoηuoηv~另一种正交 曲线坐标系中 π 点的坐标为kυχtoυχuoυχvlo度量因子为 ηχtoηχuoηχvo两正交曲线坐标系中各坐 第 tz 卷第 v 期 易辉跃等}两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 yx
66 微波学报 2001年9月 标间满足右手螺旋关系，且有以下的单值函数关系 u',=k1(山1，u2,l3) h=K(u,2,u'3) u'2=k2(1,42,u3） 或 u2=K2(u1,u2,u3) (18) ',=k(1,42,3) W5=K3(u'1,h'2,') 则一种正交曲线坐标系单位矢量1，u'2,',和另一种正交曲线坐标系单位矢量u,2,间的 对应关系具有式(2)相同的形式。在两种正交曲线坐标系下，p点的微分矢移dT分别为 dT=dr=uhdu+uzhaduz+ushsdus u'th'idu+u'zh'adu'2+u'sh'du';(19) 将式(15)-(17)推广，有 =点品-d6++-会盛+虎盛+影盛 h'du (20) 类似地可得，，的表达式，一般地，有 立=异惑+片器+会0， (i=1,2,3) (21) 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系，如表2所示 表2正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系（仅提供变换矩阵） 曲线坐标系 两者坐标间的关系 (文献G) 单位矢量间的变换矩阵 (u,w'2,'g) r=Rsin sin 0 cos0 圆球坐标系 =p cos0.sin6 (R,09 z=Rcose 0 1 0 r=w C+W Jξ+F 旋转抛物柱面坐标系 =o (g中9 2= 2(5.) JG+w G+W 0 1.p coshEsin 0 sinhcos0 r=asinhsine 长旋转椭球坐标系 cosh-cos0 cosh cos p=p sinhEcos0 coshEs ine (ξ，0,9 0· z=acoshcos(θ cosh25·cos20 cosh'ξ.cos28 0 1 0 sinhEcosθ coshEs ine 0 cosh2-cos20 cosh-cos20 扁椭球坐标系 r=acoshcose -op coshEsine sinhEcos0 (5,09 0 z=asinhEsin cosh2ξ.cos20 cosh cos0 0 0
标间满足右手螺旋关系o且有以下的单值函数关系 υχt κtkυtoυuoυvl υχu κukυtoυuoυvl υχv κvkυtoυuoυvl 或 υt Κ tkυχtoυχuoυχvl υu Κ ukυχtoυχuoυχvl υv Κ vkυχtoυχuoυχvl kt{l 则一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ χtoυ δ χuoυ δ χv 和另一种正交曲线坐标系单位矢量 υ δ toυ δ uoυ δ v 间的 对应关系具有式kul相同的形式∀ 在两种正交曲线坐标系下oπ 点的微分矢移 δ λϕ分别为 δ λϕ δ ρο υ δ tηtδ υt n υ δ uηuδ υu n υ δ vηvδ υv υ δ χtηχtδ υχt n υ δ χuηχuδ υχu n υ δ χvηχvδ υχv kt|l 将式ktxl∗ ktzl推广o有 υ δ χt t ηχt δ λϕ δ υχt ηtδ υtυ δ t n ηuδ υuυ δ u n ηvδ υvυ δ v ηχtδ υχt ηt ηχt 5Κ t 5υχt υ δ t n ηu ηχt 5Κ u 5υχt υ δ u n ηv ηχt 5Κ v 5υχt υ δ v kusl 类似地可得 υ δ χuoυ δ χv 的表达式o一般地o有 υ δ χι ηt ηχι 5Κ t 5υχι υ δ t n ηu ηχι 5Κ u 5υχι υ δ u n ηv ηχι 5Κ v 5υχι υ δ v kι touovl kutl 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系o如表 u 所示∀ 表 u 正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系k仅提供变换矩阵l 曲线坐标系 kυχtoυχuoυχvl 两者坐标间的关系 k文献1t2l 单位矢量间的变换矩阵 圆球坐标系 kΡ oΗoΥl ρ Ρ ¶¬±Η Υ Υ ζ Ρ ¦²¶Η ¶¬±Η s ¦²¶Η ¦²¶Η s p¶¬±Η st s 旋转抛物柱面坐标系 kΦoΩoΥl ρ ΦΩ Υ Υ ζ t u kΦu p Ωu l Ω Φu n Ωu s Φ Φu n Ωu Φ Φu n Ωu s p Ω Φu n Ωu s tp Υu s 长旋转椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᶬ±«Ν¶¬±Η Υ Υ ζ ᦲ¶«Ν¦²¶Η ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η st s 扁椭球坐标系 kΝoΗoΥl ρ ᦲ¶«Ν¦²¶Η Υ Υ ζ ᶬ±«Ν¶¬±Η ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η p ¦²¶«Ν¶¬±Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ¶¬±«Ν¦²¶Η ¦²¶«u Νp ¦²¶u Η s ts yy 微 波 学 报 usst 年 | 月