增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2005.05.042 第27卷第5期 北京科技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 陈章华刘洪波马文江 北京科技大学应用科学学院数力系，北京100083 摘要讨论了非协调增强假设变形梯度有限元的基本理论、所采用的本构关系和有限元 列式.为了克服原先由Simo建议的方法中所固有的缺陷，即在模拟压缩变形时容易出现奇异 能量模式而导致计算失稳甚至崩溃，对原方法中有关内变量和应力更新算法进行了改进.计 算结果表明，改进的方法在模拟压缩和拉伸模型时，具有较好的计算稳定性. 关键词大变形：增强假设应变有限元：有限单元法：应力光滑 分类号0241.82：TB115 在塑性成型分析中，有限元法可以有效地处 如颈缩（轴对称问题）或剪切带（平面应变问题）， 理塑性成型中材料、几何、边界三重非线性问题， 从而不会产生符合实际需要的极限载荷.而 是当前的发展趋势.然而，常规低阶协调单元存 EASM单元可以通过采用一附加的应变场，即增 在着计算精度差、过于刚硬、容易自锁等缺点四. 强应变场，来增加单元的自由度数，从而提高单 为解决此问题，很多学者开展了深入研究，其中， 元柔性和适应变形局部化的特点.EASM单元将 经典的Wilson非协调元应用在小变形计算时具 应变场划分为两部分，协调应变场V“和增强应 有很好的性能，但不能直接用于几何非线性问 变场8，即： 题.目前又发展了许多低阶高精度非协调单元， =V'u+8 (1) 如增强假设应变有限元(Enhanced Assumed Strain 然而，增强应变场不可任意选取，为满足具 Modes),简称EASM.增强应变列式最初由Simo 有三个独立场的Hu-Vashizu广义变分原理，必须 于1990年因无限小问题提出，1992年在广义变 在单元内部先对应力场σ施加相对于增强假设应 分原理的基础上给出了双线性四边形及三角形 变场的L,正交变化条件： 模式，在模拟几何非线性问题时，具有较好的特 (o,)L=Ja-idV-0 (2) 性.1993年，Simo进一步发展了一个用于三维问 进一步，为了不使作为独立变量的假设应变出现 题的无自锁单元QMI/E1,并且采用修正的积分 在总刚度方程中，独立变量需要在单元内部消 准则，但在压缩变形时仍存在Hourglass现象阁. 去，即将独立的增强应变在单元一级用静态凝聚 1996年Aremero等提出增强变形梯度场剧，其优 方法消掉. 点是具有高精度，适合于金属成型的模拟计算， 1.2有限元列式 并可以反映金属塑性变形后期出现的局部化现 空间描述的平衡方程的经典弱形式为： 象，但在模拟压缩变形时仍存在一定问题. o:gradδwdr=∫pb-δaud4jt-iuds (3) 式中，V为参考构型，p为密度，o为Cauchy应力， 1增强假设应变有限元法 δ4为真实位移，b,分别为单位体力和面力， 11基本思想 如前所述，EASM的关键思想在于将变形梯 常规四节点等参单元因单元节点数过少，对 度附加一独立场，即增强位移梯度H,得 变形过度约束，容易产生自锁现象，且刚度平均 F=1+gradu+H (4) 化，在实际问题中难于模拟出变形局部化现象， 其中，变形梯度不能任意增强，依照Hu-Washizu 收稿日期：2004-10-18修回日期：200411-30 变分原理需附加两个基本限制条件： 基金项目：归国人员基金资助课题 作者简介：陈章华(1959一，男，教授，博士 (a)增强场的切线空间与名义应力场L正交

第 2 7 卷 第 5期 20 0 5 年 1 0 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u r n a l o f U n诫川 iyt o f S e el n c e a n d Te c h n o ol yg B e ij妞 g V b】 . 2 7 N 0 . 5 O C t . 2 0 0 5 增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 陈章华 刘 洪 波 马文 江 北 京科 技大 学应用 科学 学院 数力 系 , 北京 10 0 0 83 摘 要 讨 论 了非协 调增 强假 设变 形梯 度有 限元 的基 本 理论 、 所 采 用 的本 构关 系和 有 限元 列式 . 为 了克服 原先 由 is om 建 议 的方法 中所 固有 的缺 陷 , 即在 模拟 压缩 变形 时容 易 出现 奇异 能量模 式 而导致 计算 失稳甚 至崩 溃 , 对 原方 法 中有 关 内变 量和 应 力更 新算 法进行 了改进 . 计 算结 果表 明 , 改进 的方法 在模拟压 缩和 拉伸 模型时 , 具有 较好 的计 算 稳定 性 . 关键词 大变形 ; 增 强假 设应 变有 限元 ; 有 限单元 法 ; 应 力 光滑 分类号 0 2 4 1 . 82 ; T B l l s 在 塑性 成 型分 析 中 , 有 限元 法可 以有效 地 处 理 塑性成 型 中材 料 、 几何 、 边界 三重 非线 性 问题 , 是 当前 的发 展趋 势 1 . 然而 , 常规低 阶协 调单 元存 在着 计 算 精度 差 、 过 于 刚硬 、 容 易 自锁等 缺 点『21 . 为解 决此 问题 , 很多 学者 开展 了深 入研 究 . 其 中 , 经典 的 iWl s on 非协 调 元`3 ,应 用在 小变 形计 算 时具 有 很好 的性 能 , 但 不 能直 接 用 于 几 何 非线 性 问 题 . 目前 又 发展 了许 多低 阶 高精 度 非协 调 单元 , 如增 强假 设应 变 有 限元 (E hn an ce d A s um ed S atr in M od es ) , 简称 E A S M . 增 强应 变 列 式最 初 由 S汕 。 于 19 9 0 年 因无 限小 问题 提 出`4] , 19 92 年 在 广义 变 分 原理 的基 础 上 给 出 了双 线 性 四边 形 及 三 角 形 模 式 `5] , 在模 拟几 何 非线性 问题 时 , 具 有较 好 的特 性 . 19 93 年 , is m o 进 一 步发 展 了一 个 用 于三 维 问 题 的无 自锁 单 元 Q M I尼 1 , 并 且采 用 修 正 的积分 准 则 , 但 在压 缩 变形 时仍 存在 H o u 艰la s 现 象 『6] . 19 96 年 A er m e or 等提 出增 强变 形 梯度 场 【7,8] , 其优 点 是具 有 高精 度 , 适 合 于金 属成 型 的模 拟 计算 , 并 可 以反 映金 属 塑 性 变 形 后期 出现 的局 部化 现 象 , 但 在模 拟 压 缩 变形 时 仍 存在 一 定 问题 . 如颈 缩 ( 轴对 称 问题 ) 或 剪切 带 ( 平面 应变 问题 ) , 从 而 不 会 产 生 符 合 实 际 需 要 的 极 限 载 荷 . 而 E A S M 单 元 可 以通 过采 用 一 附加 的应 变场 , 即增 强应 变 场 , 来 增 加 单元 的 自由度 数 , 从而 提 高 单 元柔 性 和适 应 变 形局 部 化 的特 点 . E A SM 单 元将 应 变 场划 分 为 两 部分 , 协 调 应 变场 V ,u 和 增 强应 变场 居 , 即 : =e 甲 . “ 箱 ( l) 然 而 , 增 强应 变 场若不 可 任 意选 取 . 为 满足 具 有 三个 独立 场 的 Hu , W砒h 迈肚 广 义变 分 原理 , 必须 在 单元 内部先对 应 力场 口施加 相 对于 增 强假 设应 变 场若的肠 正交 变 化条 件 : ( 。扮丁 。 · 动=V0 ( 2 ) 进 一步 , 为 了不使 作为 独 立变 量 的假 设应 变 出现 在 总 刚 度方 程 中 , 独 立 变 量 需 要在 单元 内部 消 去 , 即将独 立 的增 强应 变 在单 元一 级用 静 态凝 聚 方 法 消掉 . L Z 有 限 元 列式 空 间描 述 的平 衡方 程 的经 典弱 形 式 为 : J 。 : 卿 6 o d。 了 , b · 。 u d+V 丁 卜 6 u ds ( 3 ) 1 增 强 假 设 应 变 有 限 元 法 L l 基 本思 想 常规 四节 点 等参 单 元 因单 元节 点 数过 少 , 对 变形 过度 约束 , 容 易产 生 自锁 现 象 , 且 刚度 平 均 化 , 在 实 际 问题 中难 于 模拟 出变 形局 部 化现 象 , 收 稿 日期 : 20 -4 1仁 18 修回 日期 : 2 0 0 4 一 1 1习 0 基 金项 目 : 归 国人员 基金 资助 课题 作 者简介 : 陈章 华 ( 19 5 9一) , 男 , 教 授 , 博士 式 中 , 犷为 参 考构 型 , P 为密度 , 。 为 C au c妙 应 力 , 5 “ 为真 实位 移 , b , t 分 别 为单位 体 力 和 面力 . 如 前 所 述 , E A S M 的关键 思想 在 于将 变 形梯 度 附加 一独 立 场 , 即增 强位 移 梯度 H , 得 =F 1+ 脚血+ 万 ( 4 ) 其 中 , 变形 梯 度不 能任 意增 强 , 依 照 H u - 叭a/ s h咖 变 分 原理 需 附加两 个 基本 限制 条件 : a( ) 增 强场 的切 线 空 间 与名 义应 力 场从 正 交 . DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 042

Vol.27 No.5 陈章华等：增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 ·557 ∫x-δhdW-o (5) =f-J[b]'rd-0 (16) 式中，h为H的空间等效值 A=[g]ido=0 (6)独立增强场的有限元空间不包含在位移 线性应变算子[b]定义为：[b]=[b…b].其中， [N O 梯度变量的有限元空间内，即： [b]=0Ng,=1,…,ne (17) Hngrad,u=0 (6) N NI 式(5)，(6)可以保证能够通过非线性分片试验. 线性增强应变算子[g]定义为： 通过在单元一级建立变形梯度F=grad,p的附 eigi 加增强项F,最终有表达式： [g]-[g…g]其中[g]= eig ，=l,",nah(18) F-grad.o+F (7) eigi+eigl 式中，增强项F由增强插值F的公式给出： 而已知 gaKgaFr'E (19) F=FoF (8) 1.5 刚度矩阵 F。表示单元中心的变形梯度的协调项： 对非线性方程组采用Newton-Raphson法求 F。=gard,p=grad. (9) 解，得到线性方程Ⅲ 「KaKA4_∫Ar 上式中的F保证最终的变形梯度及有限元 (20) KaKl△al△r 列式的客观性.在单元的参考构型上定义增强插 上式适用于第k个迭代步，节点位移增量及增强 值F: 内部自由度增量分别为： F=色F' (10) △=n-t,△a=a-a (21) 式中，J,表示单元中心等参映射X白的雅克比 而△a可由式(20)求出得： 矩阵. △a-[K.]'(A-KuAd (22) G婆K 其中，刚度矩阵包括物质部分和几何部分， (11) [K=[K]+[K.即： jj()=det(),j=det( (12) [K]=[bl[C=lbldQ+Jo[blHbldo 增强插值F-F()采用如下形式： IK.]-SgM[C.lgldQ+S[gT+gldQ (23) F)-ΣF(Oa (13) [K]=[gT[CI[bld2+JogTroldo 其中，a∈R为增强参数.为避免单元在弯曲问题 1.6对原算法的改进 中的过刚反应，考虑如下增强变形梯度： 「501051001001 为了克服由Simo提出的方法中所固有的缺 F= o otooo +a3 (14) 陷，即在模拟压缩变形时容易出现奇异能量模式 从运算角度看，在一般扭曲后的参考构型中 而导致计算失稳甚至崩遗溃，本文探讨了对原方法 的单元性能有很大的改善. 中有关内变量和应力更新的算法进行改进，对原 13变形梯度的乘法分解 算法做出了如下修正： 弹性变形的一个主要特征是弹塑性加载阶 (a)通过数值实验发现在原算法中，在平衡迭 段和卸载阶段具有完全不同的响应，故需对应变 代时，由于内部自由度a直接叠加，导致在局部化 或应变率作相对的分解.Le从运动学及弹塑性 区域内的刚度矩阵的秩变化很快，容易出现奇异 变形正确定义的角度提出了变形梯度F的弹塑 能量模式(Hourglass),从而导致计算失败.为防 性乘法分解公式例： 止这种情况出现，采用插分的计算格式计算内部 F=FF (15) 自由度增量△a.由差分计算可推出等效的缩减 此理论假设存在一个中间无应力构性C,由 系数入和B,即： 初始构性C,向中间构性C,的映射由塑性变形F [K]=[K]-A[K]K][Ka] (24) 描述，而由C,向当前构性C,的映射由弹性变形梯 {△f={a}-KaJr'[K.]'{△fr) (25) 度F给出 其中，1=0.1，B=0.8.相应地将内部自由度表达 1.4有限元残值 式变为： 由弱势方程可以得出下列有限元方程： △a-[Ka]'{Ar-KAu} (26) 由式(24)(26)得出增强后内部自由度公式为：

Vb l 一 2 7 N O 一 5 陈章 华等 : 增 强假 设 变形梯 度有 限 元方法 稳定 性计 算 . 5 5 7 . 了 r · 6元d卜o ( 5 ) 犷 = 广 川 一 儿[b 〕 T ~ “ 犷 一 五回 T会d。 一 0 ( 16 ) 式 中 , h 为H 的 空 间等效 值 . (b ) 独 立增 强场 的有 限元 空 间 不包 含 在位 移 梯度 变 量 的有 限 元 空间 内 , 即 : 万门 g r a dx =u 0 ( 6 ) 式( 5) , (6 )可 以保证 能够 通 过 非线 性 分 片试 验`5] . 通 过在 单 元一 级建 立 变形 梯度 介g r a d辛 的附 加 增强 项 F , 最 终 有表 达 式 : 尸= g r a 迄p 血+ F ( 7 ) 式 中 , 增 强项 尹由增 强插 值 矛的公 式 给 出 : F = 虱 F ( 8 ) 0F 表示 单 元 中心 的变 形 梯度 的协 调项 : 几= g a r d X尹性gr a dx 州。 、 (9 ) 上式 中 的 0F 保 证 最 终 的变 形 梯 度 及 有 限 元 列式 的客 观性 . 在 单元 的参考 构 型上 定义 增 强插 值熟 线性 应变 算 子 【司定义 为 : 【闰姚.bl 二 b问 . 其 中 _ _ 严 ” _ ! Lb’ 」一 } ” _ . 竺卜介’ , ” 一 ” ` 【刀三N { ] ( 17 ) 线性 增 强应 变算 子 嗜1定 义 为 : 、夕. 了、少. O八ùn, 门.1 了、. 月 矛、 J { 心 1 、 回一 国 “ ` 州其 中国卜} _ 哪 _ 卜=I ` , ` ’ ` , ” ` 【e 瑟佃姿岁」 而 已 知 L S 刚 度矩 阵 以 ` 〕渝 〔以 , 一 ` “ 对 非线 性 方程 组 采用 N e wt o n se Ra Ph so n 法 求 解 , 得 到线 性方 程`10 川 匹 “ 1 “ ’ ! △u } 一 1扩1 (2 0 ) i凡 d K 臼」 l△a j l匀 , j 上 式 适用 于第 k个迭 代 步 , 节 点位 移增 量 及增 强 内部 自由度增 量 分 别 为 : 、 ., 了、产. 1 1 2 山,`, 了、. 护 ` 、 补孙从 ( 10 ) A=u u (卜 , ,一 u(k , , △=a a (+k , )一 a ( ` ) 式 中 , 0J 表 示单 元 中 心等 参 映 射方异双口的雅 克 比 矩 阵 . 而 △a 可 由式 ( 20 ) 求 出得 : △=a 〔瓜 」 一 义八了 勺 一五益△u ) =(6J 带 , “ 孤 少勺(口= d e (LI 约 , j0 = d e 试口} 、 增 强 插值介月约采 用 如 下形 式 : ( 11) ( 12 ) 只口= 艺域口铸 ( 13 ) 其 中 , a, E R为增 强 参数 . 为避 免 单元 在 弯 曲问题 中 的过 刚 反应 , 考 虑 如 下增 强 变形 梯 度 : 。 一 …; :1 一…: ;1 一…: :1 一…: :1 ( ,` , 从运算 角 度看 , 在一 般 扭 曲后 的参 考 构型 中 的 单元 性 能有 很大 的改善 . 1.3 变形梯 度 的 乘法 分解 弹性 变 形 的一 个 主 要 特 征 是 弹 塑 性 加 载 阶 段和 卸载 阶段 具有 完全 不 同 的响应 , 故需 对应 变 或应 变 率作 相对 的分 解 . L e 从运 动 学及 弹塑 性 变 形 正 确 定 义 的 角 度 提 出 了变 形 梯 度 F 的 弹 塑 性 乘法 分解 公 式`刃 : 矛任 尸尸 ( 15 ) 此理 论假 设 存在 一 个 中 间无应 力 构 性 q , 由 初 始 构性 oC 向中 间 构 性 q 的映 射 由塑 性 变 形尸 描述 , 而 由 q 向当前 构 性 C 的 映射 由弹 性变 形 梯 度尸给 出 . 1.4 有限 元残 值 由弱 势 方程 可 以得 出下列 有 限元 方 程 : 其 中 , 刚 度 矩 阵 包 括 物 质 部 分 和 几 何 部 分 , [阅= !州呀〔周 “ . 即 : } [瓜〕一 C[。] T [吼 ] [, ]涂 仁[。 ]、 [, ]胡 { [aeK 」= l 、 嗦」 T【吼」回己口+ ! , 嗜] T r g[ 」四 ( 2 3 ) } [瓜」一 J 。 嗜] T [心 j [b ]己。 + J 。 嗜]、 [b ]四 L 6 对原 算 法 的改 进 为 了克 服 由 S而 。 提 出的方 法 中所 固 有 的缺 陷 , 即在模 拟压 缩 变形 时容 易 出现奇 异 能量模 式 而 导致 计算 失稳 甚 至崩溃 , 本文 探讨 了对 原方 法 中有关 内变 量和 应 力更新 的算法 进行 改进 , 对 原 算 法 做 出 了如下 修 正 : a( )通 过 数值 实验 发现 在 原算 法 中 , 在 平衡 迭 代 时 , 由于 内部 自 由度 a 直接 叠 加 , 导致在 局部 化 区域 内的 刚度矩 阵的秩变 化 很快 , 容 易 出现奇 异 能量模 式 ( H o u 电 l as s) , 从而 导致 计 算 失败 . 为防 止 这种 情况 出现 , 采用 插分 的计 算格 式计 算 内部 自由度 增量 △a . 由差 分计 算 可推 出等 效 的缩 减 系 数又和刀 , 即 : 因 二【瓜〕一 又〔瓜」 T 〔瓜〕 一 ’ !aK d 〕 {叮卜 {叮 “ } 一刀[几〕 T [aK 〕 一 , {叮 。 } ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其 中 , 又一 0 . 1 , 刀一 .0 8 . 相 应 地将 内部 自 由度 表 达 式 变 为 : 阮 = [瓜 ] 一 , {犷 一 元 d△“ } ( 2 6 ) 由式 (2 4卜( 2 6) 得 出增 强后 内部 自由度 公式 为 :

·558 北京科技大学学报 2005年第5期 △a= 21圆棒拉伸的轴对称问题 125K22-1ok图Am 圆棒拉伸问题材料常数：杨氏模量E-206.0 (b)由于增强变形梯度△F在单元中心计算， GPa;密度p=7.8×10kgm;泊松比-0.3：体积模 为了满足分片实验的要求，可采用静水压力场后 量=164.21GPa;线性硬化系数H=1.0MPa;屈服应 处理，即光滑的方法，对静水压进行全局光滑. 力a,-450MPa;切变模量μ=80.19GPa 非连续应力场可由下式表示： 在此拉伸实验中，所用的试件是半径为 p-vp 6.413mm,长度为53.334mm的圆棒.为了诱发颈 (28) [1,x∈g 缩现象，圆棒的原始尺寸不均匀，在中心位置的 其中，x0,x难g 半径为顶部位置的98.2%，并且在长度方向半径 光滑后应力表示为： 缩减量呈线性变化.进行网格划分时，对拉伸部 p=M币 (29) 位进行局部密集划分，单元总数为288，如图1所 用标准最小二乘法得到以下公式： 示.在模型的顶部施加位移S=7mm,分50步均匀 T-p-P 加载. (30) 其中，T[Tw],={},P{P}. 07 T-40,P4p (31) 0672 其中，=[wl,p'=pih,lsi可sNa,FJoN-Nydo, pi=p·Jodo =d,j5,n)(不对i求和) (32) ∂x崤dx a花 On 其中，= ax发a点 由最小二乘法可以得出光滑 [aξn 图1圆棒拉伸的颈缩问题 Fig.1 Axisymmetric necking:distribution of equivalent plastic 后的应力场为： p=p°j(5,n) (33) strain 2算例 可以看出，圆棒出现明显的颈缩现象，扭曲 后的单元网格无Hourglass现象，从而证明EASM 以超弹性-塑性材料拉伸出现颈缩和墩粗过 单元具有较好的稳定性. 程产生变形局部化作为具体的算例，检验了本文 2.2轴对称圆柱体的墩粗问题 所阐述的改进方法.材料的储能函数为： 在此墩粗实验中，所用的试件是半径为50 -U)+]uLJ-Wur[C]-3] (34) mm,高度为200mm的圆柱体，原始尺寸均匀分 其中，小-1)-，k和分别为线性理论 布.材料常数E-206GPa,0.3,其余与3.1所列相 的体积和切变模量.材料应力应变曲线采用适合 同.因墩粗过程中需考忠摩擦力影响，所以取切 于金属大变形的饱和应变硬化公式，硬化函数为： 向应力：号9-25MPa.在分折中，取圆柱解 h(e,)(oao,[1-exp(-元，)]+He, (35) 面的1/2，在边界上施加对称边界条件.进行单元 其中，为内部变量，文中为累积等效塑性应变， 划分时，在单元横向和纵向的划分数分别为16 om为饱和应力，为屈服应力，6为材料系数，H为 和18，总单元数为288，如图2所示.在试件顶部 线性硬化系数. 施加位移S=-40mm,分200步均匀加载. 口：口6使7 0294 图2圆柱嫩粗问题 Fig.2 Elastic/plastic compression of a cylindrical billet

. 8 5 5 . 2 0 0 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 5 5 △叹 = 1 . 2 5 [ u K ] 一 ` {犷 一叨 - ] [ [ 瓜 K 」 一 , 一 `“ 、 」一 爆儡 △“ ( , 7 , (b )由于 增 强 变 形 梯度 △尸在 单元 中心 计 算 , 为 了满足分 片 实验 的要求 , 可采用静水压 力场 后 处 理 , 即光滑 的 方法 , 对 静水压 进 行全 局 光滑 〔12 . 非连 续 应 力场 可 由下 式表 示 : 其 中 , 沁比 , t U , P 性Z 旷 ,P ` 目 . 1 x 任名了 x 举穿 ’ ( 2 8) 光滑 后 应 力表 示 为 : 9)0 `汽, j 了.了、.、 护丢从 . 吞 用标 准 最 小二 乘 法得 到 以下公 式 : T诵子 其 中 , 卜【几〕 , 介仇 } , =P {只} . .2 1 圆棒拉 伸 的轴 对 称问题 圆棒 拉 伸 问题材 料 常 数 : 杨 氏模 量 =E 2 06 . 0 G P ;a 密 度厂.7 x8 l 护峪 · m 一 , ; 泊 松 比 v = 0 . 3 ; 体积 模 量 卜 164 .2 1 GP ;a 线性 硬化系 数月` 1 . O M P a ;屈服 应 力马科 5 0 M P;a 切变 模量产 = 80 . 19 GP .a 在 此 拉 伸 实 验 中 , 所 用 的 试件 是 半 径 为 6 .4 13 ~ , 长度 为 53 . 3 34 ~ 的 圆棒 . 为 了诱 发 颈 缩 现象 , 圆棒 的原 始 尺 寸不 均 匀 , 在 中心位 置 的 半 径 为顶 部 位 置 的 98 2 % , 并且 在长 度 方 向半 径 缩 减量 呈 线 性 变化 . 进 行 网格划 分 时 , 对 拉伸 部 位 进行 局 部 密集 划分 , 单 元 总 数为 2 8 , 如 图 1所 示 . 在 模 型 的顶部 施加 位 移 S = 7 r n r n , 分 50 步均 匀 加 载 . 卜氢(r) , 介戈伽今 (3 1) 其 中 P丁甲 ` , =f #t[], =eP 柯 } , , “ 产蠕 , 个工片片四 , 曝嘿 其 中 , .j 仗吞刀` ) (不 对 i 求和 ) ( 3 2 ) 刁或 1 而 } , 毛} , 由 最 小二 乘法 可 以得 出光滑 夕左 l 百」 图 1 回棒拉伸 的颈 缩 问题 后 的应 力 场 为 : 尸了甲丫叹氛帕 ( 33) 2 算例 以超 弹 性一塑 性材 料 拉伸 出现 颈 缩和 墩粗 过 程产 生 变形 局部 化作 为 具体 的算 例 , 检验 了本文 所 阐述 的改进 方 法 . 材 料 的储 能 函数 为 : 解、 小甘 二tr 〔。 一 3 , `34 , 其 中 , u(A 树扣 一 ` , 一 呵印 , 分别 为线 性理 论 的体 积和 切变模量 . 材料 应力 应变 曲线采 用适 合 于金属 大变形 的饱和应变硬化 公式 , 硬 化函数 为 : h佩)气为一 动 【l 一 e x p ( 一佩) 1 + 珑 p ( 3 5 ) 其 中 ,乙为 内部变 量 , 文 中 为 累积 等效 塑 性应变 , 匈为饱 和 应 力两 为 屈服 应 力 , 咨为材 料 系 数 , H 为 线 性 硬化 系 数 . F抽 . 1 为山y m m e州 c n ec 拓 . 9 : d 如tir b u 廿o n of 叫u 加 al e . t p俪U e s t口 i n 可 以看 出 , 圆棒 出现 明显 的颈 缩现 象 , 扭 曲 后 的单元 网格 无 H O U飞l as s 现 象 , 从而 证 明 E A S M 单元 具有 较 好 的稳 定 性 . .2 2 轴 对称 圆柱体 的墩粗 问题 在 此 墩粗 实 验 中 , 所 用 的试 件 是 半 径 为 50 m m , 高度 为 Z o n 业11 的 圆柱 体 , 原始 尺 寸均 匀 分 布 . 材 料 常 数石卜 2 06 G P a, 0 .0 3 , 其 余 与 3 . 1 所 列相 同 . 因墩 粗过程 中需考虑 摩擦 力影 响 , 所 以取切 向应力 号粤 = 2 25 aMP . 在 分析 中 , 取 圆柱 剖 面 的 12/ , 在边 界 上施 加 对称 边 界条 件 . 进 行 单元 划 分 时 , 在 单元 横 向和纵 向 的划分 数 分 别 为 16 和 18 , 总单 元 数 为 2 8 , 如 图 2 所示 . 在试 件 顶部 施加 位 移 S = 一 4 0 ~ , 分 2 0 步 均匀 加 载 . 娜j乡 2 E l a s tj 心p l a 功 c c o ln p n 地. io . o f a e y血d ir ca l b 沮e t

VoL27 No.5 陈章华等：增强假设变形梯度有限元方法稳定性计算 ·559· 由于圆柱墩粗属于轴对称问题，其加载过程 >70%时，不能完成计算. 是一个非稳定的塑性流动过程，所以会产生不均 (⑤)迭代步对计算结果的影响，本文分别以迭 匀变形，从而导致边部鼓形的产生，如图2所示， 代步20,50,100,200进行计算，通过结果比较得 出迭代步越多，应变越大，变形图越好，但是相差 3结果与讨论 都在0.25%之内，实际意义不大. (1)在计算静水压时，由于静水压在全局范围 参考文献 内是不连续的，需将其在全局范围内进行光滑， [】中国机械工程学会锻压学会，世界塑性加工最新技术，北 这样得到的静水压立场是全局连续的，因而能更 京：机械工业出版社，1987 精确地满足平衡方程， [2】黄克智，徐秉业.固体力学发展趋势.北京：北京理工大学 (2)本文采用EASM方法，对变形梯度进行了 出版社，1995 [3]KobayashiS.Metal forming and the finite element method.Lon- 增强.为了不使作为独立变量的假设应变出现在 don:Oxford University,1989 总刚度方程中，在此增加了内部自由度△a的计 [4]Simo J C,Rifai M S.A class of assumed strain methods and the 算，将独立假设应变场在单元一级静态凝聚， methods of compatible modes.Meth Eng,1990,29:1595 (3)试件尺寸对结果的影响.通过数值模拟发 [5]Simo J C,Armero F.Geometrically non-linear enhanced strain mixed methods and the method of incompatible modes.Int J 现，对于不同高径比的坯料进行墩粗时，产生的 Numer Method Eng.1992,33:1413 变形特征和内部分布也不同.当HD>2时，在上、 [6]Simo J C.Armero F,Taylor R L.Improved versions of assumed 下两端面附近首先产生变形，而中间鼓出（如 enhanced strain tri-liner elements of 3D finite deformation prob 图3).当HD≈1时，在外侧形成一单鼓形. lems.Mech Eng,1993,110:359 [7]Armero F,Glaser S.Enhanced strain finite element methods for (4)压下量在墩粗时的影响.经过试验发现， finite deformation problems.Congress of SEMMI.Zaragoza 当压下量△h<45%时，变形后网格良好.当压下量 1996 △h>45%,上部网格出现畸变（如图4）.当压下量△h [8]Glaser S,Armero F.On the formulation of enhanced strain finite element in finite deformations.Eng Comput,1997,14:759 [9]Lee E H.Elastic-plastic deformation at finite strains.Appl Mech, 1969.36:1 [10]Wriggers P,Reese S.A note on the enhanced strain methods for large deformations.Mech Eng,1996,135:201 [11]Luhrs G,Hartmann S,Haupt P.On the numerical treatment of fi- nite deformation in the elastovisco plasticity.Mech Eng,1997, 图3HD>2时变形网格 图4△h>40%时变形网格 144:1 Fig.3 Deformed configuration Fig.4 Deformed coofiguration [12]Thomas J R,Hughes.The finite element method linear static and at HID>2 at△h>40% dynamic finite element analysis.Prentice-Hall Inc,1987 Stability of the enhanced assumed strain finite element method CHEN Zhanghua,LIU Hongbo,MA Wenjiang Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT The basic theory of the Enhanced Assumed Strain Modes(EASM)and the corresponding constitutive relationship as well as finite element formulation were addressed.In order to overcome the deficiency of the original method proposed by Simo,i.e.,the Hourglass modes appear in the case of compression,algorithms for updating stresses and interior variables were developed by using an optimal post-process technique.It were proved from nu- merical results that the improved EASM is of good stability especially in the case of large compressive situation be- ing involved. KEY WORDS large deformation:enhanced assumed strain mode;finite element method;stress smoothing

V匕1 . 2 7 N o . 5 陈 章华 等 : 增 强假 设 变形 梯度有 限 元方 法稳 定性计 算 一 5 5 9 由于 圆柱墩 粗 属于 轴对 称 问题 , 其加 载 过程 是 一个 非稳 定 的塑性 流动 过 程 , 所 以会产 生 不均 匀 变形 , 从而 导致 边 部鼓 形 的产 生 , 如 图 2 所 示 . 参3145l[]2[] l9l8[ 11J0 3 结果 与 讨论 ( l) 在计 算静 水压 时 , 由于静 水压 在全 局范 围 内是不 连续 的 , 需将 其 在全 局 范 围内进行 光 滑 . 这样 得到 的静 水压 立场 是 全局 连续 的 , 因而 能 更 精确 地满 足 平衡 方 程 . (2 ) 本文 采 用 EA S M 方法 , 对 变 形 梯度 进 行 了 增强 . 为 了不 使作 为独 立变 量 的假 设应 变 出现在 总 刚度方 程 中 , 在 此 增 加 了 内部 自由度△ a 的计 算 , 将独 立假 设 应 变场 在 单元 一 级静 态凝 聚 . (3) 试 件尺 寸对 结果 的影 响 . 通过 数值 模拟 发 现 , 对于 不 同高 径 比 的坯料 进 行 墩粗 时 , 产 生 的 变 形特 征 和 内部 分布 也 不 同 . 当去刀D > 2 时 , 在 上 、 下 两 端 面 附近 首 先产 生变 形 , 而 中 间 鼓 出 ( 如 图 3) . 当月了D 二 1 时 , 在外 侧 形成 一 单鼓 形 . (4 ) 压 下量 在 墩粗 时的影 响 . 经过 试验 发 现 , 当压 下量 劫4< 5% 时 , 变 形后 网 格 良好 , 当压 下量 △h > 45 % , 上部 网格 出现 畸 变 (如 图 4) . 当压 下 量△h > 70 % 时 , 不 能完成 计 算 . (5) 迭 代 步对计 算 结果 的影 响 . 本文 分 别 以迭 代 步 2 0 , 5 0 , 10 0 , 2 0 0 进 行 计 算 , 通 过 结果 比较 得 出迭代 步越 多 , 应变 越 大 , 变 形 图越好 . 但是 相差 都 在 .0 2 5% 之 内 , 实 际意 义不 大 . 考 文 献 一 l 、 、 、 、 、 l 、 飞 、 、 丫 、 ~ 1 止 片t 不 几 、 I t 飞 、 、 、 、 、 { , ( l 匕t 几 . 屯 飞 、 、 、 \ 、 、 l 悦 \ \ r , 州 气、 、 \ 、 、 、 } ` 悦、 : 飞 、 犷布 月 飞 、 ’ t \ 、 、 飞 、 、 、 、 、 l L 、 元 、 、 、 飞 、 、 、 、 、 胜 , 1 1 几 i 、 、 、 、 、 飞 、 ) 日{ }丁} } l } { } {土入份长劝 寸 十十书饰讯铆 一 卜饥饵 卜 卜戈 八 书长比 . 饵 护 干 J八份 竹 七弄七共七 蒸从城牡中们 # 几即故翔 月 共丰任升电蜘井 寸十下 }布} } { 几, 比, , 二 {习 ’ ` ` 未 4 ~ 仁 , 图 3 月lD > 2 时变形 网格 中国机械 工程学 会锻压 学会 . 世界 塑性加 工 最新 技术 . 北 京 : 机 械工业 出版 社 , 19 8 7 黄克 智 , 徐 秉业 . 固体 力学 发展趋 势 . 北京 :北 京理 工大 学 出版社 , 19 9 5 K o ab y as ih 5 . M e 协1 of rm in g an d t h e fm ite e l e m e nt m e t h o d . L o n - d o n : o x of 记 U n i v e r s i ty, 19 8 9 S加 0 J C , 形af i M 5 . A e l a s s o f as s Lu n e d s恤i n m e ht o d s an d ht e m e ht o d s o f C o m p a t ib l e m o d e s . M e t h E n g , 19 9 0 , 2 9 : 15 9 5 S油 0 J C , A 刀刀 e ro .F G e o me itr c a lly n o n 一 lin e ar e hn an e e d s tr 呱 m ixe d m e ht o ds an d ht e m e ht o d o f in c o m P a it b l e m o d e s . I n t J N u m e r M e t h o d E n g , 19 9 2 , 3 3 : 14 13 S im o J C , A n 刀 e or E aT y l o r R L . lm P or v e d v e rs i o n s o f a s s um e d e hn an c e d s atr i n itr 一 line r e l em e n t s o f 3 D if in t e de of rm iat on orP b - l e m s . M ce h E n g , 1 9 9 3 , 110 : 3 59 Ar m o m F, G l a s e r 5 . Ebn a n e e d s tr a i n 枷 it e e l e m e nt m e ht o ds of r if 山 et d e of mr at i o n Por b l e m s . C o n叨 5 5 o f S EM M I . Z ar g o az , 19 9 6 G l a se r S , 产工m e or F o n t h e of rm u lat i o n o f e hn an e e d s atr i n fm ite e l e me nt in if in t e d e of n 刀 a t i o n s . E n g C o m P u t , 199 7 , 14 : 7 5 9 L e e E H . Elas ti e 一 I a s it e d e of n n a t i o n at ifn ite s atr i n s . A p p I M ce 血 , 1 96 9 , 3 6 : 1 W ir g e rs P, 取 e s e 5 . A n o et o n ht e e n h acn e d s加 in m e ht od s of r l agr e de of mr a t i o n s . M e c h E o g , 1 9 9 6 , 13 5 : 2 0 1 L u hr s G , H a rt m an S , H a uP t R On ht e n 口叮 en e a l 加 a tl 刀 e nt o f if - n ite d e of n 刀 a t i on in ht e e l a s t o v i s e o P l a st i e i .ty M e e b E n g , 19 9 7 , 14 4 : l iF .g 3 D oef rm e d c o n 瘫 u ar it o n 肠t IH D > 2 图 4 △六> 4 0% 时变 形网格 F ig . 4 D oef rln e d c o . 飞 u r a it o n 舀t △h > 4 0% [ 12 ] hT om as J R, H u hg e s . T b e if in t e e l e m ent m e ht o d lin e ar s at i c an d d y n a m i c if n iet e l e m e nt an ly s i s . p er n t i e e一 H a l l cln , 19 87 S atb ility o f ht e e il an c e d a s s um e d s atr i n if n ite e l e m e nt m e ht o d C 月E 那 hZ a 妙 “ a, IL U H d砂 o, 人工咬肠咖gn A P P li e d S e ien c e S e h o o l , U n iv e r s ity o f s e i e cn e an d eT e hn o l o gy B e ij i n g , B e ij in g l 0 0 0 8 3 , C b i n a A B S T R A C T hT e b a s i e ht e o ry o f hte Ehn an e e d A s s um e d S atr i n M o d e s (E A S M ) an d ht e e o 二 s P o n d ign e o n s t itu t i v e re lat i on s h iP a s w e ll a s if n ite e l e m e in of rmu l at i o n w er a d dle s s e d . I n o 川e r t o o v e re o m e ht e d e if e i e n e y o f ht e o ir g i n a l m het o d P or P o s e d b y S im o , i . e . , ht e H o u 电 l a s s m o d e s ap P e ar in ht e e a s e o f e om Per s s i o n , a l g o r i t h m s fo r u P d a ti n g s忱 s s e s an d i n t e ir or v iar ab l e s w e 正 d e v e lop e d b y u s i n g an o P it m a l P o s t 一 P or e e s s t e e lm iqu e . It w e 正 P or v e d for m n u - m e ir e a l er s u it s ht at ht e im Por v e d E A S M 1 5 o f g o o d s abt iliyt e s P e e i a l ly i n het e a s e o f l哩 e e o m P er s s i v e s i ut at i o n b e - i n g ivn o vl e d . K E Y W O R D S l a 很e de fo mr at i o n ; e n h an e e d a s s um e d s atr i n m o d e : fm it e e l e m e n t m e ht o d ; s加 5 5 s m o o ht igl