8.3关联函数和标度律以铁磁系统为例，我们定义其关联函数。系统的序参量是M，设其密度函数为m（r)，则序参量为:M =<Jd3rm(r))这里(.)表示系综平均。关联函数可写为：(r)=I(r2一r1）=((m(r1)-m)(m(r2)-m))在动量空间里，我们有m(k)=『d3re-ik-r(m(r)-m).考虑到m(r)是实的，所以有m*(k)=m(-k),于是/d3rieik-r1(m(r1)-m) / d3a2e-ik-r2(m(r2)-m))~ /d3(a2-1)e-ik-(r2-ri)r(r2-ri)=r(k)<m(k)2)<1m(k)2)可通过下面的考虑获得：首先涨落应该是各向同性的，因此在序参量密度函数的最低阶近似下，自由能G有如下形式：G= J d3r [ci/Vm(r)2 + C2m2(r)] = J (c1k2 + c2) [m(k)2故在动量空间里G(k) = (cik2 + c2) [m(k)/2.它的平均值在kBT的量级，因此有kBT(Im())= c/k2 +c2这称为关联函数的Ornstein-Zernike形式，代入到上面的式子并求反傅立叶变换，我们得e-r/sr(r) :其中=Vc1/c2是关联长度，它一般在临界点发散。在临界点附近，我们假定关联函数有着Ornstein-Zernike形式，即T(r）→r-Pe-r/s.我们引入两个临界指数来描述关联长度和关联函数在临界点附近的行为：11s~|t/-v;T(r) ~(fort =)rd-2+rp这里d为空间维数
8.3 关联函数和标度律 以铁磁系统为例，我们定义其关联函数。系统的序参量是M，设其密度函数为m(r)，则序参量 为： 这里 表示系综平均。关联函数可写为： 在动量空间里，我们有 考虑到 是实的，所以有 于是 可通过下面的考虑获得：首先涨落应该是各向同性的，因此在序参量密度函数的最低 阶近似下，自由能G有如下形式： 故在动量空间里 它的平均值在 的量级，因此有 这称为关联函数的Ornstein-Zernike形式，代入到上面的式子并求反傅立叶变换，我们得 其中 是关联长度，它一般在临界点发散。 在临界点附近，我们假定关联函数有着Ornstein-Zernike形式，即 我们引入两个临界指数来描述关联长度和关联函数在临界点附近的行为： 这里d为空间维数
由上节和本节我们得到了六个临界指数，它们并不是完全独立的，我们有以下四个关系式：(Fisher)=V(2-m)α+2B+=2(Rushbrooke)= β(8 - 1)(Widom)vd=2-α(Josephson)这称为标度律。我们稍后将由标度理论基础上推导出标度律。下面我们列出了一些系统的临界指数：临界二维三维三维平均场指数Ising模型Ising模型Heisenberg模型00.1200.14a11β0.30.31827Y1.251.414a1553110.640.7L210.050.0404
由上节和本节我们得到了六个临界指数，它们并不是完全独立的，我们有以下四个关系式： 这称为标度律。我们稍后将由标度理论基础上推导出标度律。 下面我们列出了一些系统的临界指数：
8.4涨落一耗散定理（fluctuation-dissipationtheorem）对铁磁系统我们可以把序参量M显式地写出：Trm(0)e-H/knTTrm(r)e-H/knTMd3V-VTre-H/kaTTre-H/knT上面最后一式我们已经假定了系统有平移不变性。假定外场H线性地与序参量耦合，哈密顿量可写为：H= Ho - H / d3r'm(r"),这里H。是无外场时的哈密顿量。把第一个等式对H求偏导可得到磁化率xd3r [<m(r)m(0)) - (m(0)] .x(r)= kBT J对比前节的公式我们发现了关联函数和磁化率之间的关系：d3rr(r)x(r) = kBT.这是涨落一耗散定理(fluctuation-dissipationtheorem)的一个特殊情形。一般情形：·我们先研究两个随机变量A和B的时间关联函数（A(t)B(O)）的涨落谱。系统哈密顿量为H，其本征态的完全集为|n)，利用完全性条件和A(t)=eiHtAe-it，系综平均值为ITr(e-ieintAe-iftB) -2Z(mle-Biein Ae-it Blm)(A(t)B(0))Z1e-βEme(Em-En)t(n|B|m)(m|A|n).Zn,m其傅立叶变换即为涨落谱：-BEm (nBm)(mlAIn)(Em-E +)(A(t)B(0)etwtdt =Ji(w) =2n,m
8.4 涨落－耗散定理(fluctuation-dissipation theorem) 对铁磁系统我们可以把序参量M显式地写出： 上面最后一式我们已经假定了系统有平移不变性。假定外场H线性地与序参量耦合，哈密顿量 可写为： 这里 是无外场时的哈密顿量。把第一个等式对H求偏导可得到磁化率χ： 对比前节的公式我们发现了关联函数和磁化率之间的关系： 这是涨落－耗散定理(fluctuation-dissipation theorem)的一个特殊情形。 一般情形： • 我们先研究两个随机变量A和B的时间关联函数 的涨落谱。系统哈密顿量为 ，其 本征态的完全集为 ，利用完全性条件和 ，系综平均值为 其傅立叶变换即为涨落谱：
类似我们有：2元Z -B (nBm)(ml41)(Em - + ) = -u (a)(B(0)A(t))eiwtdt J2(w)n.m·我们再研究推迟格林函数，其定义为：1 (t>0)GR(t) =-i0(t)<[A(t),B(O)), 其中 (t) =0(t<0)由上面的结果得：[i(w") - Je(w")]e-iw't d"(1 -e-Ba")Ji(w")e-iw't dw"GR(t) = -i0(t)-i0(t)2元2元利用：0(t)=de%,ei01dwGR(t)eiwtdt可得：GR(w)=w'+i02元再利用主=P干i()，这里P表示主值，可得-a2即对w0，有：J(a)=lmc(a),这就是涨落一耗散定理(fluctuation-dissipationtheorem）·外力的响应函数（广义磁化率）的实部和虚部的关系：考虑线性响应(linearresponsetheory)。由因果律，在外场V(t)作用下，在时刻t'的系统的某一力学量A(t)）的响应只与t'以前的扰动有关。因此K(t*-t)V(t)dt=A(t') =K()V(t-T)dr,K(T)eiwTdT = A(w)/V(w),这里K(t)是响应函数。在频域里，我们有：x(w）=
类似我们有： • 我们再研究推迟格林函数，其定义为： ，其中 由上面的结果得： 利用： 可得： 再利用 ，这里P表示主值，可得 即对 ，有： 这就是涨落－耗散定理(fluctuation-dissipation theorem) • 外力的响应函数（广义磁化率）的实部和虚部的关系： 考虑线性响应(linear response theory)。由因果律，在外场V(t)作用下，在时刻t’的系统的某一力 学量A(t’)的响应只与t’以前的扰动有关。因此 这里K(τ)是响应函数。在频域里，我们有：
响应函数K(t)是实的，因此X*(w）=x(-w）。由因果律t>0可以导出x(z)的实部和虚部的关系。为此，在如图所示的区域内计算函数4Imzf(2) = x(a)-2的积分。由于区域内无奇点积分为零。设z趋于无限时x(z)趋于零，并定义主值积分x(w)x(w)x(w)-dwRezwwuuwuo4+7z=u则有x(u+reid)( x(z2)x(w)ireo0u+reid)-u2x(w)r=0dw-irx(u)2x(w)1于是有：x(u)PdwiTw-记x(w）=x(w)+ix"(w），则有x(u)=PJ+x()dw1 x"(u)=-PJtdw8w-t这称为Kramers-Kronigrelation。推迟格林函数也有类似上面的表达式
响应函数K(τ)是实的，因此 。由因果律τ>0可以导出χ(z)的实部和虚部的关系。 为此，在如图所示的区域内计算函数 的积分。由于区域内无奇点积分为零。设|z|趋于无限时 χ(z)趋于零，并定义主值积分 则有 于是有： 记 ，则有 这称为Kramers-Kronig relation。推迟格林函数也有类似上面的表达式