清华大学：《粒子物理与核物理实验中的数据分析》讲义-向量微分

本讲要点向量微分定义标量函数对向量的梯度向量函数对向量的梯度向量微分常用公式举例

本讲要点 n 向量微分定义 n 标量函数对向量的梯度 n 向量函数对向量的梯度 n 向量微分常用公式 n 举例

简介本课程很多问题涉及到向量微分。处理这些问题，可以按分量展开解决，但是直接进行向量微分会方便很多。函数对向量的微分形式与普通微分类似，只是微分后的结果是向量或者矩阵，不论被微分的函数本身是标量函数还是矢量函数（或者矩阵）本讲义以实函数为例

简介 n 本课程很多问题涉及到向量微分。处理这些问题， 可以按分量展开解决，但是直接进行向量微分会 方便很多。 n 函数对向量的微分形式与普通微分类似，只是微 分后的结果是向量或者矩阵，不论被微分的函数 本身是标量函数还是矢量函数(或者矩阵) n 本讲义以实函数为例

向量微分的定义（1）■对列向量和行向量的微分（梯度）定义对列向量的梯度：相对于n×响向量(列向量)x的梯度算子记作√，定义为aaaVX=Ox, " ax2axax,对行向量的梯度：相对于1×n向量（行向量)的梯度算子记作V，定义为aaaa17=x, ax2axTax

向量微分的定义(1) n 对列向量和行向量的微分（梯度）定义 1 2 1 , , , T n n x x x                     相对于 向量(列向量) 的梯度算子记作 x，定义为 x x x 对列向量的梯度： 对行向量的梯度： 1 2 1 , , , T T T T n n x x x                     相对于 向量(行向量) 的梯度算子记作 x ，定义为 x x x

标量函数对向量的梯度所以，假设标量函数f(x)以n维列向量x为变元其相对于x的梯度是n维列向量af(x) af(x)af(x)af(x)Vxf(x)=axax,OxOx2而f(x)相对于行向量x"的梯度是n维行向量af(x)af(x)af(x) af(x)Vx(x)=axTOxnax,ax2af(x)1)梯度的分量给出了f(x)在第i个方向上的变化率。ax;2标量函数对列向量的微分结果为列向量标量函数对行向量的微分结果为行向量

标量函数对向量的梯度 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , T T n T T n f n n f f f f f x x x f n f f f f f x x x                                   所以，假设标量函数 以 维列向量 为变元， 其相对于 的梯度是 维 ， 而 相对于行向量 的梯度是 维 ， 列向量 行向量 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) i f f i x   1)梯度的分量 给出了 在第 个方向上的变化率。 2)标量函数对列向量的微分结果为列向量 标量函数对行向量的微分结果为行向量 x x

举例

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