题型分类·深度剖析 题型二等差数列的前n项和及综合应用 【例2】()在等差数列{an}中,已知思维启迪解析 探究提高 n∈N,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S3=130 方法三同方法一求得d= 3 又由S10=S1s得a1+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a3=0,即a13=0. 当n=12或13时,Sn有最大值 且最大值为S2=S13=130 (2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25, an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21 所以数列{a}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列 an=4n-25<0, an+1=4(n+1)-25≥0,② 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 【例 2】 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15， 求当 n 取何值时，Sn取得最大值， 并求出它的最大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和． 题型分类·深度剖析 题型二 ∵n∈N * ，∴当 n＝12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为 S12＝S13＝130. 方法三 同方法一求得 d＝－ 5 3 . 思维启迪 解析 探究提高 又由 S10＝S15得 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即 a13＝0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn有最大值． 且最大值为 S12＝S13＝130. 等差数列的前n项和及综合应用 (2)∵an ＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an ＝4＝d，又 a1＝4×1－25＝－21. 所以数列{an}是以－21 为首项，以 4 为公差的递增的等差数列． 令 an ＝4n－25<0， ① an＋1＝4(n＋1)－25≥0， ②
题型分类·深度剖析 题型二等差数列的前n项和及综合应用 【例2】(在等差数列{a中,已知思维启迪解析探究提高 由①得n<6;由②得n≥5,所以n=6 即数列{an的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7 项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而(=a1=4×7-25=3 设{an}的前n项和为Tn,则 nn 721n+2×(-4)(n≤6 2n2+23n(n≤6 66+3(-6+ (n-6(-7) 2n2-23n+132(m≥7) 4(n≥7 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 【例 2】 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15， 求当 n 取何值时，Sn取得最大值， 并求出它的最大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和． 题型分类·深度剖析 题型二 由①得 n<6 1 4；由②得 n≥5 1 4，所以 n＝6. 思维启迪 解析 探究提高 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项，公差为－4 的等差数列，从第 7 项起以后各项构成公差为 4 的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－25＝3. 设{|an|}的前 n 项和为 Tn，则 等差数列的前n项和及综合应用 Tn＝ 21n＋ n(n－1) 2 ×(－4) (n≤6) 66＋3(n－6)＋ (n－6)(n－7) 2 ×4 (n≥7) ＝ －2n 2＋23n (n≤6)， 2n 2－23n＋132 (n≥7)
题型分类·深度剖析 题型二等差数列的前n项和及综合应用 【例2】(1)在等差数列{a中,已知思维启迪解析探究提高 a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15, 求等差数列前n项和的最值,常 求当n取何值时,S取得最大值,用的方法:①利用等差数列的单 并求出它的最大值; 调性,求出其正负转折项;②利 用性质求出其正负转折项,便可 (2)已知数列{an}的通项公式是an= 求得和的最值;③将等差数列的 4n-2,求数列{an的前n项和.前n项和S,=4m2+Bn(A、B为 常数)看做二次函数,根据二次函 数的性质求最值. 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 【例 2】 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15， 求当 n 取何值时，Sn取得最大值， 并求出它的最大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和． 题型分类·深度剖析 题型二 思维启迪 解析 探究提高 等差数列的前n项和及综合应用 求等差数列前 n 项和的最值，常 用的方法：①利用等差数列的单 调性，求出其正负转折项；②利 用性质求出其正负转折项，便可 求得和的最值；③将等差数列的 前 n 项和 Sn＝An2＋Bn (A、B 为 常数)看做二次函数，根据二次函 数的性质求最值．
题型分类·深度剖析 变式训练2(2012湖北已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的 积为8 (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a成等比数列,求数列{an}的前n项和 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 则a2=a1+d,a3=a1+2d 由题意得 a(+0+20=8,解得1=2,5=-4 3a1+3d=-3, d=-3 d=3 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3m-7 故an=-3n+5或an=3n-7 2)当an=-3n+5时,a2,a,a1分别为-1,-42,不成等比数列 当an=3n-7时,a,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 基础知识 题型分类 思想方法练出高分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 变式训练2 (2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的 积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和． 题型分类·深度剖析 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由题意得 3a1＋3d＝－3， a1(a1＋d)(a1＋2d)＝8， 解得 a1＝2， d＝－3， 或 a1＝－4， d＝3. 所以由等差数列通项公式可得 an ＝2－3(n－1)＝－3n＋5 或 an ＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故 an ＝－3n＋5 或 an ＝3n－7. (2)当 an ＝－3n＋5 时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当an ＝3n－7 时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
题型分类·深度剖析 变式训练2(2012湖北已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的 积为8 (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若a2,a3,a成等比数列,求数列{an}的前n项和 3n+7,n=1,2, 故a=13n-7=13m-7,n≥3 记数列{an}的前n项和为Sn 当n=1时,S1=a=4;当n=2时,S2=a+a2=5; 当n≥3时,SS+2++…十叫=5+(3×3-7+(3×4-7)+…+n=7 S(n-2)2+(3n 2 2n+10 当n=2时,满足此式 综上,Sn=13211 n+10,n≥2 基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分 变式训练2 (2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的 积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)若 a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和． 题型分类·深度剖析 故|an|＝|3n－7|＝ －3n＋7，n＝1，2， 3n－7，n≥3. 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n＝1 时，S1＝|a1|＝4；当 n＝2 时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当n≥3时，Sn ＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋ (n－2)[2＋(3n－7)] 2 ＝ 3 2 n 2－ 11 2 n＋10. 当 n＝2 时，满足此式． 综上，Sn＝ 4，n＝1， 3 2 n 2－ 11 2 n＋10，n≥2