第五章数学公式 数学是TX的灵魂。就是由于排版数学公式是那么得复杂,在通常的打字 机上根本无法进行, Donald Knuth才开发这个文本格式化系统。另一方面 IX的灵魂是文档设计。不但如此,所有TX的强大数学排版功能IIX也 都具备,而且提供了相当好的组合。我们在本章所讲的绝大部分(并不是全 部)内容都适用于TX,因此要把它们两者区分开,有时是很困难的。我们 因此经常指出命令和环境是属于IIX的,即使它也同样适用于TX 数学公式是通过输入特殊的描述性文本来生成的。这就意味着必须告诉 ITX要把下面的文本解释成一个数学公式,而且也能告诉它数学公式已结 束,返回正常的文本状态。数学文本的处理是通过切换进入数学模式(1.5.3 节)实现的。数学环境就是为了这个目标而引进的 §5.1数学环境 数学公式可以出现在一个文本行中,如(a+b)2=a2+2ab+b2,也可以 与正文分开,如 f(x)dx≈ie"f(xi) 这两种形式分别被称为正文公式和显示公式 正文公式或者方程是用如下环境生成的 beginimath}公式文本\ end-fmath 由于正文公式通常都很短,有的时候只有一个字符,因此也可以用一个更方 便的版本,即\(公式文本\)。如果还嫌它长,那可以用更短的形式$公式 文本串。所有这三种形式是等价的,虽然内部具有某些差别,如\(是脆弱 的,而$就比较牢靠 公式的内容公式文本是由数学构造组成,我们将在下面几节中介绍这些 构造。 显示公式或方程是用下面的环境生成的: begintdisplaymath}公式文本\ endidisplaymath begintequation}公式文本\ endfequation} 这两种环境的差别在于 equation环境会自动给公式加上一个顺序的公 式编号。 display math环境也可以用方便形式\[公式文本Ⅵ给出。 在默认方式下,显示公式是水平居中的,而且如果有公式编号的话,编 号会显示在右页边。通过选择文档类选项f1eqn(3.1.1节),公式就会左对 齐,而且可以具有一个能调整的缩进。这个选项在整篇文档中有效,而缩进量 可以用命令\ setlengthtmathindent}缩进量}来改变 的缩进量就
✦✧ ★ ✩✪ ✫✬ ✭✯✮✱✰✳✲✡✴✶✵✸✷✺✹✱✻✽✼✿✾❀✰❂❁❄❃❆❅✱❇✱✭✱✮❉❈✯❊✱✰✱❋✱●✱❍❆■✱❏❉❑✿▲✱▼❆◆❉✷P❖✱◗ ❘✯❙❯❚✱❱✱❲✱❳❯❨✱❩❉❑❭❬❫❪✛❴✡❵❜❛❞❝❢❡❣❴✗✖✢☞❤❥✐✯❦✱❧✱♠❯♥✱♦❱❯♣✱❊✱q❯r✱s❉✼✉tP✈✱✇❯①❉❑ ②④③✲✡✴✔✵⑤✷⑥✹⑦✻❆✰♦⑦⑧❆⑨⑦⑩✼❢❶❆❷⑦❸✱❹❺❑❼❻✱❽❾✲✡✴✶✵✸✷✺❿✱➀❯✭✱✮❯❅✱❇✱➁❺➂ ②④③✲➃✴✶✵➅➄ ➆➈➇❯➉❺❑❢➊⑦➋❯➌⑦➍✽➎➐➏❺➑➐➒✽✷➐➓❯➔❉✼✺→❯➣❯▲⑦❱✱↔❯❻❯↕❉✷➐➙❯➀✱➛❯➜ ➝✛➞⑦❶❯✰✱➟ ➛❺➠➢➡✺➤✱➆⑦➥❆➦⑦❃❾✲✴✵❺❑➨➧➐❹❆➩⑦➫✱➭❯➣✱➯❯➲❉➳➈➜❦❑❼❽❺➵P✰⑦➸✽➺➐➻❺✷✱✼❢→✱➣ ➧✺❹❆➼⑦◆✱➽❺➾P➚❯➪✱➶❯➹⑦➘✱✰❯➴✱❃ ②③✲✡✴➷✵⑤✷➈❑✟➬P➮❯➭⑦➄❉➱➈✃✱➥❯➦✱❃❾✲✡✴❐✵❺✼ ✭➈✮❉❈➈❊✱✰❯▼✱❒❯❮⑦❰✱Ï❯Ð❉✷➈Ñ✱Ò❯Ó♦❱❯Ô✱Õ❯Ö❉✷❯✼ ♠✾❯×✱Ø❯Ù✱Ú⑦Û❆Ü⑦Ý ②③✲✡✴✔✵➅➩❀➫❯Þß①à✷♦❱❯áßâ⑦Öß✈♥✭ß✮❺❈ã❊❺❑✺➊ß➋❯➄à➂ãÜ❯Ýß➭⑦✭❯✮ä❈➈❊æå❄ç è❆❑❢é❉ê❯ëP◆❺✷♦❱❆ì⑦í❉✼❢✭❆✮♦❱❺✷Pî✱ï❯✰✱▼❯❒✱ð❯ñ✱❨⑦❰❆✭⑦✮✱ò❯❊ó➝ ✛ô④✣✖ô④õ ö➠ø÷✱ù❺✷✱✼✺✭❯✮⑦➹❆➘⑦✾✱✰❯ú❉➎♠✱♥üû✸ý➊❺þP❨❺✷✱✼ ÿ✁✄✂✆☎ ✝✟✞✡✠☞☛ ✭➈✮❉❈✯❊✍✌✏✎➈➾Pù✱▲❯✈♥❯♦❱✱❩✒✑✱❑✸❸✔✓✖✕✘✗✚✙✜✛✆✢✤✣✥✕✦✢✧✗ ✄ ✕✦✙★✗✩✙✜✢ ❑ ➄✪✌✏✎ ✫❯ë♦➜❦❑✺❸ ✬✮✭✯✱✰ ✓✖✲✳✛✵✴✦✲✷✶ ✹✺✼✻✾✽✧✿ ✸ ✺❁❀❃❂❅❄ ✰ ✓✖✲ ✺ ✛ ♠➯❇❆✍❈✱❊❯➜✥❉✪❊✥❋❯ú❍●✍■✥❏✒❑æ➶❍▲✥▼✪❏◆❑ ✼ ë♦❈➈❊✥❖❯➲✱✇✪P⑦✰✱➦❯❸✱Þ❯➹✱➘❯Õ⑦Ö❉✷✪◗ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❪❭✳❫❚❴✦❵✵❛ ❏✪❑❜■✥❝ ❘✦❯❚❨❡❞✵❬❢❭✳❫❚❴❡❵✵❛ ❁✉❃❺ë♦❈➐❊❆▼⑦◆✱➆❯➸✪❣❉❑✺❽❺✷⑦➵✩❤✍✐❯❽✱✈♥◗✍❥❺❑✯➧➈❹⑦➄✪✌✏✎✺➦⑦✈♥✪❦✇ ❧✷✯❇⑦❱❉❑✯➬ ❘✾♠ ❏❇❑❜■✥❝ ❘♦♥ ✼✸❸✪♣✥q✍r❆➭✍s❉❑❢❋✪✌✏✎✺➦❦❣❉✷t❈❆❊✔✉✷❏❇❑ ■❜❝✈✉✯✼ø❻⑦❽♠✪✇❆✪❈⑦❊❯✰✪①✍②❺✷⑦❑④③✍⑤ ➡✺➛ß➇⑦❽✥⑥✪⑦✪⑧✍❉❺❑✺❸ ❘✾♠ ✰✮⑨✍⑩ ✷➈❑⑥➊❶✉➨✾✒❷❹❸✍❺✥❻❺✼ ❈❢❊à✷✽➡➨➤❼❏◆❑❽■❇❝ ✰❂❁❢✭✱✮✥❾✥❿❯➓✱Ö❉❑✍→✱➣✥➀❆▲✱Þ⑦①❇➁ö✑❽➂✪➃♠⑦ ❾❜❿✽✼ ➄❜➅❈➈❊✥❖❯✇✥P❯✰⑦➦✱Þ❯①❉✷➈➹✱➘❯Õ⑦Ö❉✷✪◗ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❅❞★❳❚➆❪➇✵➈❡❫❚➉❚❭✳❫❚❴❡❵✦❛ ❏✪❑✩■✍❝ ❘✦❯❚❨✦❞❱❬❚❞★❳❚➆❪➇❱➈✦❫❚➉❚❭✳❫❅❴✦❵✵❛ ❘❚❙❱❯❚❲★❳❩❨✵❬❡❯❚➊✦➋✵❫❚❴♦❳❪➌❚❨✵❛ ❏❇❑❜■✥❝ ❘✦❯❅❨✦❞✵❬✦❯❚➊❡➋✵❫❚❴★❳❪➌❅❨✵❛ ♠➯✪❆⑦➹❯➘❺✷t⑧✪❉⑦▲❯❃ ❯❚➊✦➋❱❫❚❴★❳❪➌❚❨ ➹✟➘✍➍➏➎➑➐✍➒❺❈➐❊✪➓❯❙⑦✈♥✍➔✪→✷⑦❈ ❊❜➣↕↔⑦✼ ❞★❳❚➆❪➇❱➈✦❫❚➉❚❭✳❫❅❴✦❵ ➹➈➘✱➄✪✌✏✎✺➦⑦✇❧❈✱❊ ❘➛➙❏◆❑❜■✥❝ ❘❚➜ ➒❆➾❯✼ ▲❜➝✪➞⑦✇❆❊⑦Þ❺❑ ➄✪➅❈➈❊⑦✰✪➟✥➠✪➡➢✑✱✷❯❑✺➊❯➋❯❸✥♣⑦❽❺❈➈❊✥➣➢↔❯✷❜➤❉❑➥➣ ↔➥➍➄✪➅▲✍➦✪➧✪➨à✼❢▼❯❒✍➩✪➫♦✱⑧✍➭➩✪➯❶➲ ➈✦❯❅➊✦❨ ➝ õ✖ô❞☎ô ö➠❜❑✟❈➐❊❯✾✍➍✪➳✥➵ ➸❆❑✍➊✱➋✥✌✏✎✺➇✱❽✱✈♥➂t➺❇➻❉✷❽➼✱❨❺✼ ♠✱♥➩✥➯✱▲❇➻✍➽♦❆⑧✑P❽✪➾❉❑✍➊✥➼✱❨✥➚ ✌✒✎✺➦❯➚⑦➪ ❘➪➆❅❯❚❴✵➈❡❯❚❨✦❲✦❴✦❵❱❬✦❘❢❭✳❫❚❴❡❵★❳❩❨✦❞✵❯❪❨✦❴✵❛❡❬❢➶④➹✪➘➴❛ Ô✪➷❜➬à❑ ♠✍➮✷ ➶✮➹✍➘ ✾ ✂✁☎õ
第五章数学公式 是所要定义的长度。除此之外,文档类选项1eqno会使得整篇文档中公式编 号显示在左边界。 最后提一下,可以用如下环境创建多行公式 begin{ eqnarray}公式文本\end{ eqnarray} beginteqnarray*}公式文本\ endteqnarray* 这里的标准形式会给每行公式都加上一个顺序的公式编号,而*-形式则 没有公式编号。 85.2数学公式的主要组 82TEX量与变量 出现在公式中的数字称为常量,而,A变量只由一个字母表示。S5大 多数的数学排版中是用罗马字样显示常量,用斜体显示变量。LIXs数学模 式中也是自动遵守这个规则。s源文本中为了使作者容易读而加的空格都被 忽略。S常量、变量和类似于+,-,=这样的动算符之间的距离是由I取X自 动处理的。例如$z=2a+3y和z=2a+3y$都生成z=2a+3y s键盘上存s对应字符的数学符号有: []() 它们都可以直接用s数学公式中 号{}用来表示公式的逻辑组合,因 此不能作为可直接显示的字符。为了s公式中显示大括号,就必须如通常文 本中那样用命令\和\} M(s)<M(t)<|M|=mH(8)<K(t)<|H=m串 cAfly,y(a)+g(a) sy1=c\ff Ly,y(x)]+g(x)\A 准备工作:创建一个新的EX文件,名称为math.tex,它只是由 documentclass{ artic1e},\ beginidocument}和\ endidocument}命令组 成 练习51:用你自己的练习文件生成下面的文本: The derivative of the indirect function flg(a) is flg(a)l'=f'lg(a)ls(a). For the second derivate of the product of f(a) and f(a)g"() 注意:高阶导数是用多个符号生成的:1)串的结果为y 8522指数和指标 在数学公式中经常可以见到指数和指标,即把字符相对于公式的主要文 本所在行进行提升或下降,并以小号字体显示出来。虽然它们的数学意义可 能不同,上标和下标在印刷上分别与指数和指标是完全一样的。甚至指数本 CTEXGuru, August 15, 1999
✂✁❢➱ ✃➥❐✪❒ ❮✪❰✩Ï➢Ð Ñ❜Ò↕ÓtÔ✥Õ✒Ö❽×✪Ø◆Ù❜Ú✪Û❽Ü✒Ý✥Þ❜ß✩à➢á❽â✪ã ➈✦❯❚➊❡❨✵➌ ➍✯➮❯❍✥➻✪➽♦❯⑧✑⑦❈✯❊✍➣ ↔➄❇➅▲✥➳✪➨✥ä❺✼ å❜æ➌❯✈✱Þ❺❑➥✌ç✎➨➦❯❸✱Þ⑦➹❆➘✍è✪é◆ê➈❩❉❈➐❊↕◗ ❘❚❙✵❯❅❲★❳❩❨✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉✵❛ ❏ì❑❽■✪❝ ❘❡❯❚❨✦❞✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉✵❛ ❘❚❙✵❯❅❲★❳❩❨✵❬✦❯❅➊✦❨✵❫❚ë✦ë❱❫❚➉îí❅❛ ❏✪❑❽■✪❝ ❘✦❯❅❨✦❞✵❬✦❯❚➊❡❨✵❫❚ë✦ë✵❫❅➉îí❅❛ ♠✩➮✷ý✥ï❈❆❊✥➍✍➒❇ð✱❩❉❈➈❊✱➆✥➓❯❙✱✈♥✪➔✥→✷✱❈➈❊✥➣◆↔❯❑ ➊✟ñ✜òó❈➈❊✥ô õ❽✽❈➐❊✥➣✒↔✱✼ ÿ✁✄✂÷ö ✝✟✞↕ø☞ùûúýü↕þ☞ÿ✁ ✂☎✄✝✆✟✞✝✆✡✠ ☛✌☞✎✍✑✏✒☞ ➾✺ù❯▲❉❈➈❊➢✑✱✷➈✭❯◗✥❋⑦ú❯◆✥➚❺❑❢➊✔✓✑✕✪➬✥➚✍✐ ❁➨✈♥◗✗✖✙✘➅✛✚✢✜✤✣✑✥ ê✌✦✛✧✒✦✑★✑✩✑✪✬✫✮✭✑✯✗✰✑✱✑✲✤✳✑✴✑✵✑✶✑✷✎✸✹✯✗✺✙✻✑✴✗✵✑✼✑✷✚✾✽❀✿❂❁❄❃✝❅❆✜✦✑★✑❇ ❈✤✫❊❉✙✭●❋■❍✑❏✎❑▼▲✤◆✙❖✑P✚✢✜✗◗✙❘✑❙✫▼❚✎❯▼❱✤❲✙❳✑❨✎❩▼❬✤❭✑❪✎✧▼❫✙❴✗❵✙❛ ❜✗❝✚❞✜✶✑✷✎❡❞✼✑✷✤❢✑❣✑❤✑✐❦❥■❧♥♠♦❧q♣r▲❊✳s✧❊❍✑t✑✉✤✈✛✇✑✧▼①✤②✑✭④③ ✽✿❁❄❃✝❅ ❋ ❍❊⑤✤⑥✛✧ ✚⑧⑦✑⑨❦⑩☎❶❸❷q❹❸❺❼❻❾❽❼❿q⑩ ❢ ❶ ❷ ❹✤❺ ❻ ❽✗❿➀⑩ ❵❊➁✑➂➄➃➅♣✤➆☎➇➈❥➊➉☎➋ ✚ ✜✒➌✑➍✤➎✑➏✤✜✑➐✤➑✲✑✉✎✧▼✦✤★✑✉✎➒✮➓✛➔ ❻➀→r❷➀➣✑↔✤↕➛➙ ➜ ➝ ➞➠➟➢➡➥➤➠➦ ➧✒➨✗❵✙➩④➫✢➭✑➯✤✯✜✦✑★s➲✒❈✛✫ ✚✢✥✑➳➒➸➵✬➺➻✯✾➼✑➽✤✵s➲▼❈✎✧▼➾✤➚✑➪✤➶✛✸✒➹ ➘✒➴✎➷▼❲✤❚✙➩✗➭✙➯✤✴✑✵✎✧▼✲✙✉✚ ❚✎❯✜➲▼❈✎✫✮✴✑✵✥✑➳➒✙✸✌➬✤➮✤➱⑨✑✃✶❘ ❙✫❊❐✙✳✑✯✤❒✑❮Ï❰❸➵✢❢➸❰❸➺ ✚ ÐsÑÓÒÕÔ×Ö✑ÐsÑ✟ØÙÔ×Ö➀ÚÐÛÚ ♣✤Ü ⑩❼ÝÞ➤àßá➦Õ➣❼ÝÞ➤Ùâ♥➦Õ➣×➞ãÝ❞➞➻❷✑äá⑩ ➋æå❀å✝♣✑çÕèæé♥ê❀➋æåìëÙ➋ ÑÓí❄Ôãî ❥✮ï ÑÓí❄Ôñð ⑩❼❿×➝ò➝ó❷❄ô ❰❸➵☎õ ➟ó❿×➝☎ö÷❿Þ➤ñø♥➦ù➡❊❻✙úÞ➤ñø♥➦ ❰❸➺ ⑩ û✒ü✑ý❲✛➔➊þ✙ÿ✁✑◆✁✂✛✧ ✽✿❁✝❃✝❅❘☎✄✸✝✆✟✞✗❚ ä❺❼â✡✠☞☛óâ✍✌❼ø ✸ ➧✁✎✑✭ ③ ❰✑✏✓✒ ô✕✔❼ä✖✌✑✗òâ❄ô✙✘❸❺ ßòß è ❺✙✚❼â✜✛☎ô✙✘✡✌ ð ✸ ❰✑✢ ✌❼ú✣✛✤✗ ➵✑✏✓✒ ô✕✔❼ä✖✌✑✗òâ ➺➻❢ ❰ ✌✑✗✏q➵✑✏✓✒ ô✥✔❼ä✖✌✑✗❸â ➺⑧❒✒❮✑➪ ➂✁✦ ✧✩★✫✪✭✬✯✮✙✰ ✯☎✱●❋✳✲❊✧✳✴✶✵❘✷✄➁✑➂✷✸✷✹✛✧❘❙➔✳✺❁✼✻✭✽✿✾✭✽❁❀❃❂✯❄✙❅✕❆❇❂✯❄✙✽❉❈✕❊✖❆❇✻✓✽☞❂●❋✭✾✓❂✯❀❃✽❁❍❁❆ ❊❏■✓❋✭❍❁❆❃❂✯❈✙❋ é♥êï ÑÓí❄Ôãî ❂●❑ è é êï ÑãíáÔ î ð å ♣✁éqåóêï ÑãíáÔ î ïòå ÑÓí❄Ô ✬▼▲❈✑❀◆❆❇✻✓✽❖❑❇✽❁❍❁❈✙❋✭✾P✾✭✽❁❀❃❂✯❄✙❅✕❆❇✽❖❈◗❊❘❆❃✻✓✽ ❙❀❇❈❚✾✭■✓❍❁❆❯❈✕❊ é ÑÓí❄Ô ❅✕❋✓✾ ï ÑãíáÔ ❈✙❋✓✽▼✻✖❅◗❑ ê❀é ÑÓí❄Ô ï ÑÓí❄Ôãî å❀å ♣ éå❀å ÑãíáÔ ï ÑãíáÔ ❥✛➆☎éå ÑãíáÔ ïòå ÑÓí❄Ô ❥ é ÑÓí❄Ô ïòå❀å ÑãíáÔ ✬●❱ ❲❨❳➔❬❩❪❭❴❫✮✦✤✭✑✯❛❵▼◆ ➝ ✉✗➒✒➁✤➂✛✧✙➔ ⑩❼❿×➝❸➝ò➝÷⑩ ✧❝❜✁❞✑❚ ➋å❀å❀å❡✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤●✐ ❥☎❦✁❧✷❥✁♠ ♥✦✑★✎➲▼❈✎✫✳♦✤✶✙➩④➫q♣✷r✁s✑✦✤❢✷s✟t✎✸❨✉☎✈✙✲✑✉✁✇➐✐✛➲✒❈✛✧❪①✩②❘ ❙❨③♥✷④✁⑤✟④✩⑥✟⑦✷⑧✸❛⑨✑✸q⑩ ➫❪❶✗➒✮✲✤✻✑✴✤✵✶❷✮➼❛✦❝❸✁❹✙➧✤➨✛✧✒✦✙★❳✁❺➩ ➷✢➴❛❻✑✸ ➎t✤❢✷✸✁t♥✶❼❨❽➎✁❾✟❿✩➀s✁➁✑❢✁s✟t✑✭✁➂✷➃✁✙✳✬✧✟✦✝➄✟➅✷s✁➁❙ ➆❬➇✖➈❇➉➋➊☞➌✑➍❏➌ ❍ ❧✓➎■✭➏✙■✓❑❇❆ ✮➐✪ ❧ ✮✤➑✙➑✑➑
幼臁编号公[的]默认水 1 居还话以右页编边页选择类项左对齐调整缩篇效量边下缩进量的多改变里而 已齐 X和TX以5种简单的方式,某供了以适当字体尺寸创建任i长几和 长标组合的方法:字符命令~把紧接来的字符做为长几(某些),而字符命 令把紧接来的字符做为长标(脆) 当长几和长标5起比现时,它们的顺序是无关紧价的。上>最后那个例子也 可以用x_)+来生成 姻长几差长标的内容不以5个字符,那么就必须用大括号{}把这组 符号包围起来 rn x2+ [2y J A ),j,k}[-+2} 也可以)长几和长标中h次然行某些差脆操作 gi:某些和脆命令和_以能用)几学模式中, 8知候分更 比较小的构几,尤其是正文公式中的构几最好用斜杠字符/表示,如 艹+m)/2$表示(n+m)/2。对于较复杂的构几,命令 frac{分子}分母} 可以用来把分子放分母上∑:而且中间有适当长度的水平线 r+y a-b\[\rac{a2-22}{a+2}=a-2\] 构几也可以嵌套示任何层次 \D frac(\fraca]x-y)+ \fracx+y) 1+\rac{a-2}{a+2}}\ IAEX把构几中的构几有较小的字样显示比来。)552节中介绍了当 凵TX的选择不很好时,如何修改这种自动字样尺寸 8矩候方根 方根是用如命令显示的 sqrt[开方数参数} 例如:$sqrt[3]8}=2串生成 2。如d不写可省参几开方数,就会 生成平方根:$\sqrt{a}$得嫌 方根符号的尺寸和长度是自动将参数大小匹配的 sqrt{x2+y2+2xy}=x+y串y2+y2+2xy=x+y,差者 //2平386878/种g文文 Emal种g文刘263称种
➒❁➓✡➔ →❴➣✁↔✳↕❛➙✷➛✁➜✟➝✳➞✁➟ ✮➐➠✑✪ ➡❨➢❛➤✶➥q➦✟➧➣✟➨➧✁➩❛➫❝➭➲➯✁➳❪➵❴➸❨➺❨➻➲➼✳➽✁➾✁➚➨➲➪✩➶❪➹✁➘✶➛✁➴❪➷✷➬✁➮❛➱ ✃ ➸ ✽❀✿❂❁❃❅❢ ❁❃❅ ➫❐✷❒✷❮✷❰✎✧✳Ï✑❈✛✸ ⑥✷Ð❯✛➫ÒÑ✶Ó▼✲✗✻✟Ô✷Õ✗þ✑ÿ✷Ö❳s✷➁✑❢ s☎t✤➪✑➶✛✧❨Ï✷×s➔♦✲✑✉✑❒✤❮ÙØ❐✈☎Ú✤➯✷✸✤➼✛✧▼✲✤✉✷Û✑❚✁s✷➁ÝÜ⑥✁⑦ßÞ ✸ ❭✑✲✤✉✑❒ ❮áàâ✈❬Ú✑➯✟✸✗➼s✧▼✲✤✉✁Û✑❚✟s✩t Ü✙✸✶⑨ Þ ✦ í✖ã ø Ø ❹ ➇✑ä ❺à ✗ í äå ø Ø ✗ à ✛ Óqs✁➁✑❢✁s✟t✩✟æ✶❷❨ç❛è✑✸✢➧✤➨s✧☎é✟ê✤✭✷ë✁ì✷Ú✟②❛í✷✦ ➎✹✁î✷ï✤❐✙◆⑦✁ð❉ ➩✎➫✌✯ ø à ✛ Ø ✗ ➼❊➁✤➂➲✦ ⑨❞✷s✁➁⑧s✷t❛í✶ñ➢❨✗➴✟✎✷✤◆✑✲✤✉✛✸✌❐✷ò✤➬✑➮✤➱✑✯✟ó➳➒ ➵s➺❐✈✒▲✑➪ ✉✤➒☎ô➲õ✳æ✤➼✛➔ í✖ã ä ø Øæ➵ ❹✑✗ ➺ í ã❇ö ø à❸➵ ❹❼❿ ➺ ÷❐ø ä✭ù ã å ú û❁ú ü ý àò➵ ✛✝öÿþÞö✁ ➺ Øæ➵ →✙✗❆➜ó❹ ➺ ❉✒➩④➫♥s✁➁✑❢✁s✟t✛✫✁❵✄✂⑤✷④✁⑥✟⑦✷⑧✸✶⑨✆☎✑❲✎➔ í✓ö✞✝ ø Ø ➵ ❿ Ø ❹ ➺ í✓ö✞✟ ø Øæ➵ ❿ à✡✠Õ➺ ÷☞☛ ✝✌ û ✝✁✍ ✍✏✎✒✑ ý Øæ➵ ø à ✛ Ø ❹ ➺✡à❸➵ þ Ø ➵ ❹✑✗➺✡à❸➵ ✗ öãä➺❸➺ ❲❨❳➔ ⑥✁⑦❢✟✸❴⑨✮❒✤❮áØ■❢ à❯✎✗➷✒✯♥➁✙★✗❇✙❈✛✫✁✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤✔✓ ✕☎❦ ✖✘✗❶ í❾➁✸✚✙✜✛✙✭✣✢❘ ➲✒❈ ✫ í❾➁î✜✤✤✯✔✺✜✥✔✲✤✉ ↕ ➽✑✵✎✸ ⑨ ⑩ ➤ÿ✗ò❻❼ä ➦Õ↕❸❹ò⑩ ➽✒✵ Ñ✧✦ ❥✒ÜÔ✩★ ➆❝✦ ➐✐✗✫✪✭✬í❾➁✎✸✢❒✗❮ ❰❼õ ✚q❺ ô ➵✯✮✱✰Ï➺❸➵✲✮✱✳Ï➺ ➩✎➫✌✯✙➼✷✈✴✮✫✰✴✵♥ ✮✫✳ ➎✹✎✸✢❭✷✶✎✫✙✇❊➓✟✷Ñ❛Ó✄✸✫✹✶í✆✺✭✻✷✼❛✦ ✮ í ❥ ➋ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è✾✠ ð è øò❻❸❿ ð ✽ ➡ ➇ ã ♠✆✿ ã ➇ ❥❀✿ ♣✙➇ ♠✄✿ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è ❺ Ø ❹✒→ ✢✣Ø ❹ ð è ❺❼❻✢ ð ❷✤❺ò→ ✢ ✽ ➡ ❾➁✗❉✙➩④➫❂❁✷❃✁➅✷Ö✫❄✭❅✷✂✎➔ ❆ ☛ ø ö ❥ ❇ ☛❉❈ ö ✮ ❥ ❆ ø ❇ ❆ ❈ ❇ ✽ ➟ ✽ õ ✚q❺ ô è ✽ õ ✚q❺ ô è ❺ ð è øq→❼❿ ð ❻ ✽ õ ✚q❺ ô è➐✢ ð è øò❻❸❿ ð☎ð è✾✠ ❻ ✽ õ ✚❾❺ ô è ❺❸→ ✢ ð è ❺☎❻✢ ð☎ð ✽ ➡ ✽✿❁❃❅✈❾➁✫✁í❾➁✔➓✗❶ í✲✤✳✔✴✔✵❷➼✦ ♥ ✪✓✬ ✪✭✬ ➆✄❊✫●❋✭❍ ❯ Ó ✽❀✿ù❁á❃❸❅í✚■✭❏✗➴✭❑✷✤❛è✑✸ ⑨❄✫▲◆▼✒▲✷❒ ❋➻❍✙✲✤✳✷Ô✁Õ✶✦ ❢✙❣✜❤✯✐✜❤P❖ ◗✱❘ Ï✆❙✑✭✤✯⑨✸✑❒✤❮✙✴✑✵❛í✑➔ ❰ ß❯❚✡✚❸â×➟✧❱❳❲✫❨➡ ➵❂❩❨ ➺ ⑦❊⑨ ➔ ⑩ ❰ ß❯❚✡✚❸â×➟÷❽☎➡ ➵❭❬❸➺ ❷✔❹❸⑩ ➁❊➂ ❫❪ ❴ ♣✙➆❖✦ ⑨❞✤➴✷❵✙➩❜❛✭❝✷➁ ❱✫❲✷❨ ✸ ➬✷❞ ➁✒➂❜✻✟Ï✷❙✎➔ ⑩ ❰ ß❉❚✡✚❸â ➵ ❺➺ ⑩❢❡r ❫➇q✦ Ï✆❙✑✉✎➒✷í❨Ô✷Õ✤❢✭✸✷✹✤✭●❋■❍➀ ❩❨ ó✶❶✭❣✆❤✶í✤➔ ⑩ ❰ ß❯❚✡✚❸â ➵ ø Ø ❹✾❻✑❿ Ø ❹➠❻✔❹☎ø❸❿ ➺ ❷✤ø❸❻ò❿q⑩ ✐í ã ❥➠➋ã ❥✒➆ í ➋➻♣ í ❥✾➋✢✸ ⑧❳ ✻✡❆❃❆ ❙ ✰✒❥❦❥ ➆ ➠ ➆ ✬ ➉ ❴ ✬✒❧ ❴ ✬ ♠ ❴ ❥❆❃✽♦♥❚➏✑■✓❀❃■ ❃q♣❅◗❂sr ✰ ❆❃✽✏♥✡➏✙■✭❀❃■✉t➆ ❧ ➉ ✬ ❋✓✽❁❆
106 第五章数学公式 +u2n \[\sqrt In]f\fracixn-yn][1 +u"2n5] I 方根也可以嵌套至任何层次 9+92+p3 \r \sgrt [3lt-g+ \sgrtig2+p.3))\ 8525求和与积分 求和与积分符号是用命令\sum与\int生成的,根据其所在的是正文公 式还是显示公式,它们可以有两个不同的大小 求和与积分通常都有上下限。这可以用指数和指标命令和-来得到 上下限的位置也要看其所在的是正文公式还是显示公式而定 在一个正文公式中串\sumi=1}n和串\ int ab$的结果是∑=1和 广,而在显示公式中它们的形状如下面左边所示 而有些作者喜欢把积分的上下限也放在积分号 的上方和下方,就如同求和符号中那样。这可以 在积分符号后面紧接Ⅵ imits命令来得到 \int\limits_[x=0-x=1 在求和与积分符号前后的其它公式文本会与它们适当对齐的。 \[2\sum_[i=1} \int"b 2∑“/f(aia)d f-i(x)g_i(x)\,dx \I 在类似于∫ydx和∫f()d这样的积分中,微分运算符dx和d应与 前面的被积函数之间有很小的空档。只是输入一个空格,并不能实现这个目 标,因为在数学模式中空格都被忽略:$\ int y dx$的结果为∫vydr。我们 可以用在3.5.1节中提到的小间距命令\,来做到这一点。因此串inty\,dx$ 和$intf(z)\,dz会得到所希望的结果∫vdx和∫f(2)dx。在5.5.1节中 给出了更多的可用于数学公式中的间距命令 526连续点一省略号 公式中有时会包含一串点.,表示等等。若只是简单地在一行中输入 三个句号会得到不是想要的结果:…,即点靠得太近了。因此IX提供了 几条命令 dot 偏下的点\ cdots 中间点 竖直点 对角点 以生成正确间距的点。最好地说明前两条命令差别的例子是:a0,a1,,a an,它们分别是用$a_0,a_1,1dots,a_n$和$a0+ a_1+\ cdots+an$生成的。 \dots命令也可以用在普通的文本模式中,而其余三条命令则只能用在 学模式中。在文本模式中,\dots命令可以代替\dots,它们的作用 Guru, August 15. 1999
✮➐➠✈❧ ✇❂①✫② ➣✁↔☎↕➲➙ ✍③④⑥⑤⑧⑦✄⑨❉⑤ ⑩❷❶✆❸❺❹ ⑤ ❻❽❼✚❻⑥❾❯❿❭➀❭➁➂❼✁➃➅➄➇➆❭❻✈➈❭➀✾➉⑥➊❦➆✈➋✉➌✞➃●➍➏➎✡➌✞➃➇➐❭➆➒➑➔➓✷→➒➌❉➆➅➣✈➃➇➐❭➐❭➐✷❻✈➄ ↔✆↕❜➙✭➛➝➜❂➞✷➟✫➠✷➡✫➢✭➤✷➥➧➦ ➨➩ ⑦➭➫ ❶❜➯➫ ❹❷❶✚➲⑥➳ ❻❽❼➵❻⑥❾❉❿❭➀➅➁➂❼➺➸✈➄➇➆➅➍✈❿❀➓✭❻⑥❾❉❿❭➀➅➁➇➆✈❿➒➌❉➣✆➓✫➻➒➌❉➸➅➐❭➐✷❻✈➄ ➼❦➽➒➾s➚➒➾✔➽ ➪✱➶➧➹✄➘✫➴ ➷✆➬✷➮❜➱✭✃✷❐➧❒✄❮✫❰✷Ï✫Ð ❻⑥❾❉→✈Ñ ➮ ❻❺Ò✞➃❭➁ÔÓÖÕ◆×✫Ø ↕✷Ù✫Ú✷Û✭Ü×❮◆Ý✆Þ◆ß à✆á❮✭â✷ã➧ßà Ø❂ä✫å➛æ➜èç✭é❜ê✭ë➧ì ×✆í◆î✭ï ➷✆➬✷➮✫➱✷✃✷ð✫ñ✷ò✫ç✷ó✫ô◆õï÷ö➛➝➜❂❰✷ø✷ù✫➬✷ø✫ú✷Ï✫Ð ➌ ➬ ➍èû✱ü✫ý◆ï ó✆ôþõ×✄ÿ✁➙✁✂☎✄✫Ú✭Û✷Ü×❮➧Ý✄Þ➧ßà✷á❮✷â✫ã◆ßà☎✆✞✝ï Ü✠✟✭ê➧Ý●Þßà☛✡✌☞ ❻➇❾❉→✈Ñ✎✍❭➆✉Ò✑✏ ➑✞➐❺➌ ➃ ☞ ➬ ☞ ❻❺Ò✞➃❭➁✒✍❭➉❺➌✑✓ ☞ ×✕✔✗✖❮ ✘⑤✙✛✚✢✜ ➬ ✣✥✤✦ Ø ✆Ü✷â✫ãßà✧✡ä✫å◆×✩★☎✪✁✫ô☎✬✁✭☎✮✫Û✷ã➧➦ ⑤✯ ✙✛✚✢✜✱✰ ✤ ✦ ✆ç✧✲✴✳✧✵✴✶✴✷✧✸➱✃ × óô õ❜➙☛✹þÜ✣➱þ✃ ❒ ×ó◆↔➬✜ô◆↔Ø✕✺✻✫ ì●➷➬◆❐✣❒ ✡✽✼✗✾ ï❂ö➛ ➜ Ü◆➱✃❐ ❒❀✿✴✬❂❁✴❃ ❻❅❄✉Ò♦Ñ Ò✞➁❺❾ ÏÐ ûü ý ➦ ❻❺Ò✞➃❭➁✾❻❅❄❺Ò♦Ñ Ò ➁❺❾❆✍❭➆✈➋❇✏❉❈❭➐❺➌ ➆✈➋❅✏ ➑ ➐ ❊ ✚✢✜ ✰ ❊ ✚●❋ Ü✆➷✷➬✫➮✷➱✫✃✷❐➧❒■❍☎✿ ×Ú äßàÞ☎❏✁❑✷➮ä✷å✁▲◆▼■❖✁P◆×✫ï ◗ ⑤✯ ✙✛✚✢✜❙❘ ✙ ✰ ✤ ✦✠❚ ✙❱❯ ④❳❲❩❨✙❱❯ ④❳❲❉❬❭④ ❻❽❼❂➣❭❻⑥❾❉→❦Ñ✎✍❭➆❺Ò✑✏ ➑✞➐❺➌✞➃●➉❅✍❺Ò✆❻❺Ò✞➃➅➁➒➌✑✓❉✍❭➉ ➈❉✍❺Ò❳❭ ➋❙❪❴❫❉✍❺Ò✎❭ ➋❙❪✞❻✥❵❜❛✈➋●❻✈➄ Ü✩❝✁❞✞❡❢✣ ⑨❣❬❭④ ➬❤✣ ❚ ❯❩✐ ❲❉❬❭④ ö✾ ×➱✷✃✡ Ø✕❥✃✁❦☎❧✭❐ ❬❭④ ➬ ❬✐♥♠➮ ❍✩✬×✱♦➱✧♣✱ù✞qsr✄ç✁tî✭×✩✉☎✈➧ï✕✇❮☎①✁②☎✟✭ê✉☎③➧Ø✕④ë◆⑤✩⑥✞⑦öê⑨⑧ ú Ø❶⑩❶❷Ü✷ù✁❸☎❹à◆✡✉☎③ò ♦✞❺◆❻➦ ☞ ❻❺Ò✞➃❭➁✷➎☎❛❭➋ ☞ ×✕✔✁✖☎❷ ✣ ⑨❆❬❭④ ï❽❼✷å ➛þ➜❂❰✷Ü❿❾❉➀➂➁➃➀ ⑩➅➄✡✩➆ý◆×❜î r✱➇❜Ï✭Ð ❻✥❵➭û❶➈✫ý✷ö✟s➉ ï❽⑩❶➊ ☞ ❻❺Ò✞➃➅➁✜➎➇❻✥❵➋❛❭➋ ☞ ➬ ☞ ❻✉Ò✞➃❭➁✜➈✥❭❱➌➍❪✞❻✥❵➋❛❅➌ ☞ ❑ ü✫ýÛ✞➎➐➏×✱✔✁✖ ✣ ⑨❣❬❭④ ➬➑✣ ❚ ❯➒✐ ❲❉❬❭④ ï Ü➓➁➃➀➂➁❉➀ ⑩➔➄✡ →✁➣➐↔■↕◆➙ ×➛✫❰☎❡✫ù✞❸◆ßà◆✡ × r✩➇✭Ï✷Ðï ➼❦➽➒➾s➚➒➾➜➛ ➝❶➞✁➟➡➠ ➢✁➤✩➥ ßà◆✡ç◆➦✩❑☎➧✁➨☎✟✧➩➐➉➭➫➯➫✑➫ Ø❽➲ã➵➳☎➳ ï➺➸☎✇❮☎➻✁➼☎➽✭Ü➐✟✞➾✡①☎② ➚ê➐➪❒✱❑ü✷ýë✷❮✁➶☎✂×❶✔✞✖➦➹➫➘➫➜➫ Ø➷➴ ➉❶➬ü☎➮✁➱↔ ï❶⑩✱➊➓✃➂❐❴❒✎❮●❰➆✩Ï◆↔ Ð✩ÑÏ✭Ð◆➦ ❻❅❄Ò❛✒Ó✈➁❺❾ ➫✑➫➯➫ÕÔ✱ô× ➉ ❻➇➊Ö❛❉Ó✈➁❺❾ ×✑×➯× ✡r☎➉ ❻ÒØ❅❛✒Ó✈➁❺❾ ➀ ➀ ➀ Ù❶Ú✧➉ ❻❆❛❅❛❉Ó✈➁❺❾ ➀ ➀ ➀ ❖ÜÛ ➉ ➜Ó✫ÕÝ✱Ý✧r✩➇× ➉ ïßÞ✞à➽✞ásâ■❍❜éÑÏ✭Ð➐ã✞ä ×■å➐æ❮➧➦ ❘ ❋Öç ❘ ✜➯ç ➫➯➫✑➫ ç ❘ ⑤ ➬ ❘ ❋ ❶ ❘ ✜ ❶ ×➯×✑× ❶ ❘ ⑤ Ø÷ä✭å✃✞ä✫❮✫❰ ☞ ➉❇✍❅❈✥❵✚➉❅✍➒➑❳❵✚❻❅❄❆❛❉Ó✈➁❺❾❙❵➵➉❅✍✈➃ ☞ ➬ ☞ ➉ ❈❀➓ ➉ ➑✱➓ ❻⑥➊Ö❛❉Ó❦➁❺❾✆➓✜➉ ➃ ☞ Ó✱Õ➧×✷ï ❻❅❄❆❛❉Ó✈➁❺❾ Ï✆Ð❜➙✷➛ ➜➵❰✷Ü✞è❜ð×Þ✁❏☎❹às✡ Ø ✆Ú☎é➚ÑÏ✷Ð✁ê✇ ⑤✆❰✷Ü ù✩❸✁❹à✧✡ ï Ü✫Þ✞❏✁❹à✧✡ Ø ❻Ò❛✒Ó✈➁❺❾ Ï✆Ð✫➛ ➜✕ë✁ì ❻❇❄Ò❛❉Ó✈➁❺❾èØ ä✫å×✳✫❰✞✟ îÜï✎ð➋ñ❣òôóÒõ➒ó❅ö❉÷ùø➃ú❆ø❉û➋ü í ⑩ ➁ ö ⑩✑ý❆ýÒý
§5.3数学符号 107 样 练习52:生成下面的结果: The reduced cubic equation y+3py+2q=0 has one real and two complex solution when D=92+p3>0. These are given by Cardan's formula as y1=u+,y2 ere +√q2+p3 注意:在显示公式中不同部分之间的空档是用空档命令quad和\ qquad 得到的 练习53:选择文档类选项1eqn,并把定义\ setlengthtmathindent}Lcm 放在导言中。重新排版上面的三个y公式,每个都利用 equation环境单独 做为一个显示公式,而不是用这里的 displaymath或\[.J括号 练习54:生成下列的文本 Each of the measurements 1 <a2 <...<ar occurs P1, P2, .. Pr times The mean value and standard deviation are then 章 练习55:虽下面这个公式看起来常1+,但得到它不会有任何a难: (az+3 同样生成公式1(dv)=号(2+12)=152 a 在数学文本中有当多的符号,其中只有很一部分可以直接从盘上 输入得到。IIX提供了通常用的几所有可以想方得到的数学符号。可以 用符号根可前以命令字符丶来得到。而它们的根可就是来拉于其数学含义 85.至任何层次 小写 t七七 http202.3.6.7 Email: texguruv263net
þ ÿ ✁ ✂☎✄✝✆✟✞✡✠ ⑩☞☛✍✌ ✎✝✏ ✑✝✒ ➁➃➀ ◗✔✓ Ó✱Õô➐✬×✱✔✁✖➦ ❒✖✕✔✗✖✘✙✗✛✚ø í ✗✜✚ íø✔✢✔✣ í ✗✜✤ø✦✥ü✙✣★✧✪✩ ⑨➳ ❶ ❾➲⑨ ❶➺◗ ➫✬✫ ☛ ✕ ✥Öû✭✧✍✩✗✮✘✯✗ ✥✱✰✲✥✱✩✚ ü✴✳✵✧ í✧✍✶✸✷✔✰ ✗✜✹ û✙✧✍✰➘ø❉ü✙✣★✧✪✩✺✳✕✔✗✩✼✻ ✫✭➫ ❹ ❶❳➲➳✾✽ ☛ ➀ ❒✖✕✿✗û✗ ✥ ✘✙✗ ú✍✣★❀✗✩✺✢❂❁❄❃✖✥✘✯✚✥✱✩❆❅ û❈❇❉✧✘✶ø✔✰❊✥❋✥Öû ⑨✜ ✫ ❸ ❶❍● ç ⑨ ❹ ✫✜⑦ ❸ ❶■● ◗ ❶ ❑❏ ◗❆▲❾ ❯ ❸ ⑦ ● ❲ ç ⑨ ➳ ✫✜⑦ ❸ ❶■● ◗ ⑦ ❏ ◗✲▲❾ ❯ ❸ ⑦ ● ❲ ✳ ✕✔✗✜✘✯✗ ❸ ✫ ➨➩ ⑦☞➫ ❶ ➯➫ ❹q❶➔➲➇➳ ç ● ✫ ➨➩ ⑦➭➫➭⑦ ➯➫ ❹❷❶➔➲⑥➳ ▼❖◆➦ Ü✷â✷ã◆ßàs✡ë◆ì◗P✷✃☎qsr ×✱✉➐✈❮✷❰✉☎✈Ï❜Ð ❻✈❿➅→➇➉Ò❛ ➬ ❻✈❿❭❿❭→✾➉Ò❛ ü✆ýþ×✭ï ✑❘✒ ➁➃➀ ❾ ✓❚❙❖❯Þ ✈❝❙❲❱ ➈❉❄❨❳❦❿❭➃❳Ø✒④✸✝❘❩ ❻➇❾✪❳✈➁❉❄❨❳❦➃❅❫❭➁❨❬➇➆➅❻Ñ✉➉✈➁❨❬✡Ò✞➃❅❛✔❳✈➃➅➁➇➐❭➆❭➣⑥➊Ñ✉➐ ✹✆Ü✡❭◗❪✡ ï❴❫✝❵❜❛✝❝ó✞✬×➚ê ⑨ ßà Ø❴❞ê✭ò✝❡✫❰ ❳❦❿❭→➇➉✈➁➒Ò Ó✈➃❣❢◗❤➼❜✐ ➈✩❷✟✭ê✷â✫ã◆ßà Ø ✆ë✫❮✷❰ö❘❥×Õ❛➒Ò✈❾❉➻✒❄❭➉✈➎✈Ñ✉➉❦➁❨❬❧❦ ❻❷❼❨♠❨♠❨♠➺❻❦➄✺♥❒ ï ✑✝✒ ➁➃➀ ♦ ✓ Ó✱Õô❘♣×Þ✁❏◆➦ ❮✥ í✕ ✧q❇❣ü✕✿✗ ✶ ✗ ✥û❜ø✘✯✗✶ ✗✩❇ü➋û ④ ✜✾r ④ ❹ r ×✑×✑× r ④✿s ✧ ííø ✘ û ➲ ✜ ç ➲ ❹ ç ➫✑➫✑➫ ç ➲s ü✙✣★✶✗ û ➀ ❒✖✕✔✗ ✶ ✗ ✥✱✩✸❀✪✥q✰➘ø✗ ✥q✩✚ û❜üt✥q✩✚ ✥ ✘✙✚❄✚✔✗❀❨✣❊✥Öü✯✣✉✧✍✩✈✥✘✙✗ ü ✕✔✗✩ ④✇✫ ⑩① s ✯ ✙✛✚✢✜ ➲ ✙ ④ ✙ ç ② ✫ ③④ ⑤④ ⑩① s ✯ ✙✛✚✢✜ ➲ ✙❜❯ ④ ✙ ⑦ ④❳❲ ❹ ✳ ✕✔✗✜✘✯✗ ① ✫ ➲ ✜ ❶❳➲❹ ❶ ×✑×✑× ❶➔➲s ➀ ✑✝✒ ➁➃➀➂➁ ✓❈⑥❖⑦ô➐✬öê➧ßà✄❜⑧û❜⑨ñ✝⑩❲❶Ø❴❷✫ü✷ý✫äë✞❑❜ç✭➡✫➢❹❸◗❺◆➦ ✰ ➯❯ ❘ ④ ❶◗❻ ❲ ➳ ④ ❬❭④✇✫ ◗➯❯ ❘ ④ ❶◗❻ ❲ ➳ ❾ ❶✠◗✪❻▲❘ ④ ❶◗❻q❶❍❻ ❹ ✰ ❬❭④ ④▲❘ ④ ❶◗❻ ì✾Ó✭Õßà ✣✵❼❽ ✜ ❯ ❬❭④❿❾ ➨▲ ④❳❲➀✫ ➳ ❹ ❯➂➁ ❹➄➃✩➳ ❶✫⑩ ❹t➃✩➳ ❲✭✫ ⑩ ➁ ❾ ◗ ï ➅➇➆✮➈❉➉ ➊➌➋➎➍❑➏ Ü✆ù☎❸✫Þ☎❏✡ç✝➐ ▼ ➙ ×❐➧❒ Ø Ú✡✇ç☎t✝➑☎✟❜P✫✃✷➛æ➜Ú✁❃❲➒❜➓❘➔✭ó ①❶②ü✫ý◆ïÜ✃❐❒✎❮✢❰➆❶Ï◆↔ð✷ñ❜→❜❰ ×Ð❲➣Û✷ç✷➛➝➜➶❜↔ü❜ý◆×ù✁❸✷❐◆❒ ï ➛➝➜ ❰✆❐þ❒➙↕❲➛✁❍❲➜✫Ï✷Ð✝➝✷❐ ❻èû✆ü❜ýï ✆ ä✫å◆×↕❲➛✺❮ û➟➞❡✫Ú✷ù✁❸☎➨❩ ï ➼❦➽➒➾★➠➒➾❊➡ ➢❖➤✝➥❲➦ î❴➧➝❜➨ ✕ ü❜ü✯✷ ✓➫➩✪➩❆◗✍☛❆◗ ➀ ❾ ➁ ➀➫➭ ➁ ➀ ✌ ➁ ➩ü ✗✛✹úÒø✘ø ❮✶✈✥q✣★✰ ✓ ü ✗✜✹ú❆ø✘ø✦➯◗ ➭Ò❾❉➀ ✩ ✗ ü