2.6.2梁弯曲法测量杨氏模量 杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一，是工程技术设计中常用的参数。杨氏模 量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料 的力学性质有着重要的意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、弯曲法、振动法、利用霍尔元件传感器等方法。本 实验采用的是弯曲法。 【实险目的】 1掌握梁弯曲法测量杨氏模量的原理及方法。 2.学会用作图法处理实验数据。 【实险仪春】 梁弯曲试验仪、螺旋测微器、游标卡尺、米尺等，如图 显微镜远近 刀日 横采 目镜 梁弯曲实验仪由两个上端带有水平刀口的支座、测量用的金属粱、梁上有一个内部是刀 口的金属框，在金属框下部挂钩上挂一个砝码盘组成。 【实险原理】 在横梁发生微小弯曲时，粱中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸， 所以整体来说，可以理解横梁发生形变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。 如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为x的 一小段：设其曲率半径为R(G),所对应的张角为d,再取中性面上部距离y、厚为dy的
2.6.2 梁弯曲法测量杨氏模量 杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一，是工程技术设计中常用的参数。杨氏模 量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料 的力学性质有着重要的意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、弯曲法、振动法、利用霍尔元件传感器等方法。本 实验采用的是弯曲法。 【实验目的】 1.掌握梁弯曲法测量杨氏模量的原理及方法。 2.学会用作图法处理实验数据。 【实验仪器】 梁弯曲试验仪、螺旋测微器、游标卡尺、米尺等，如图： 梁弯曲实验仪由两个上端带有水平刀口的支座、测量用的金属梁、梁上有一个内部是刀 口的金属框，在金属框下部挂钩上挂一个砝码盘组成。 【实验原理】 在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸， 所以整体来说，可以理解横梁发生形变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。 如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为𝒅𝒅𝒅𝒅的 一小段：设其曲率半径为𝑹𝑹（𝒙𝒙），所对应的张角为𝒅𝒅𝒅𝒅，再取中性面上部距离𝒚𝒚、厚为𝒅𝒅𝒅𝒅的
一层面为研究对象。 那么，梁亨曲后其长变为[R(x)-y门d0,所以变化量为 [R(x)-y]de-dx 又因为d0=所以有 因-a0-dk=因-n-d女= 所以应凌为E=一 根据胡克定律有器=-Y高又因为5=b~d,所以有 对中性面的转矩为 du(x)=ldF·y= 积分得 国-品 对粱上各点有 y"(x) R网1+ym23 因梁的弯曲微小，即y(x)=0,所以有 R=y网 (2 粱平衡时，粱在x处的转矩应与粱右端支撑力为婴对x处的力矩平衡，所以有 田-2号-刘 3) 根据公式(1)-3)得 y四=702号 (4 据所讨论问题的性质有边界条件y(0)=0,y(0)=0,解上述微分方程(4)得 闭=0品经-言 5) 将x=代入(1)，得到右端点的y值为
一层面为研究对象。 那么，梁弯曲后其长变为[𝑹𝑹(𝒙𝒙) − 𝒚𝒚]𝒅𝒅𝒅𝒅，所以变化量为 [𝑹𝑹(𝒙𝒙) − 𝒚𝒚]𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝒅𝒅 又因为𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹(𝒙𝒙) ，所以有 [𝑹𝑹(𝒙𝒙) − 𝒚𝒚]𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝒅𝒅 = (𝑹𝑹(𝒙𝒙) − 𝒚𝒚) 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹(𝒙𝒙) − 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝒚𝒚 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 所以应变为𝜺𝜺 = − 𝒚𝒚 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 根据胡克定律有𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝒀𝒀 𝒚𝒚 𝑹𝑹(𝒙𝒙) ，又因为𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝒅𝒅，所以有 𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒙𝒙) = − 𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒚𝒚 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 对中性面的转矩为 𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒙𝒙) = |𝒅𝒅𝒅𝒅| ∙ 𝒚𝒚 = − 𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 积分得 𝝁𝝁(𝒙𝒙) = � 𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒂𝒂𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∙ 𝑹𝑹(𝒙𝒙) 𝒂𝒂 𝟐𝟐 −𝒂𝒂 𝟐𝟐 (1) 对梁上各点有 𝟏𝟏 𝑹𝑹(𝒙𝒙) = 𝒚𝒚′′(𝒙𝒙) [𝟏𝟏 + 𝒚𝒚′ (𝒙𝒙)𝟐𝟐] 𝟑𝟑 𝟐𝟐 因梁的弯曲微小，即𝒚𝒚′ (𝒙𝒙) = 𝟎𝟎，所以有 𝑹𝑹(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝒚𝒚′′(𝒙𝒙) (2) 梁平衡时，梁在x处的转矩应与梁右端支撑力为𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟐𝟐 对x处的力矩平衡，所以有 𝝁𝝁(𝒙𝒙) = 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟐𝟐 ( 𝒅𝒅 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙) (3) 根据公式(1)-(3)得 𝒚𝒚′′(𝒙𝒙) = 𝟔𝟔𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒂𝒂𝟑𝟑 ( 𝒅𝒅 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙) (4) 据所讨论问题的性质有边界条件𝒚𝒚(𝟎𝟎) = 𝟎𝟎，𝒚𝒚′ (𝟎𝟎) = 𝟎𝟎，解上述微分方程(4)得 𝒚𝒚(𝒙𝒙) = 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∙ 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝟒𝟒𝒀𝒀 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒂𝒂𝟑𝟑 ( 𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑) (5) 将𝒙𝒙 = 𝒅𝒅 𝟐𝟐 代入(1)，得到右端点的y值为
又因为y=△Z,所以杨氏模量为 d3Mg Y=4a3bAZ (6) 式中，d为两刀口问梁的距离：a为梁的厚度：△Z为梁中心由于外力的作用而下降的距离：M为 珐码的质量；g为重力加速度。 【实验步豪】 1将待测材料矩形横梁放在两文座上端的刀口上，套上金属框并使刀刃刚好在仪器两刀 口的中间。 2,将水准仪放在衡量上，用支座下的可调底脚调节，直到横梁处于水平位置。 3.调节读数显微镜的上下和左右位置，使镜筒轴线正对金属框上的小圆孔。调节读数显 微镜目镜，直到用眼晴能观察到镜筒内清事的十字叉丝，然后前后移动读数显微镜的距离 使其能清楚地看到小孔中横梁的边沿，再转动读数显微镜的鼓轮使横梁的某边沿与读数显微 镜内十字刻线吻合，并记下初始读数数值。 4.在砖码查上逐次增加砝码，每次增加20.00g,相应从读数显微镜读出梁中心的位置 Z4(mm)填入表1中。然后依次减少砝码，每次减少200.00g,微同样的记录。 5测量横梁的有效长度d(两刀口间的距离，一次测量)、横梁的宽度b(一次测量)填 入表2中：在横梁不同的位置测量其厚度a(6次测量取平均值)填入表3中。 6更换待测材料，重复上述操作。 【数指记录及处理】 表1 Z的单位为mm 次i mi/g 增加砝码 减少砝码 平均值 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 表2衡量有效长度d及宽度b的测量
𝒚𝒚 = 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∙ 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒂𝒂𝟑𝟑 又因为𝒚𝒚 = ∆𝒁𝒁，所以杨氏模量为 𝒀𝒀 = 𝒅𝒅𝟑𝟑𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟒𝟒𝒂𝒂𝟑𝟑𝒃𝒃∆𝒁𝒁 (6) 式中，d为两刀口间梁的距离；a为梁的厚度；∆Z为梁中心由于外力的作用而下降的距离；M为 砝码的质量；g为重力加速度。 【实验步骤】 1.将待测材料矩形横梁放在两支座上端的刀口上，套上金属框并使刀刃刚好在仪器两刀 口的中间。 2.将水准仪放在衡量上，用支座下的可调底脚调节，直到横梁处于水平位置。 3.调节读数显微镜的上下和左右位置，使镜筒轴线正对金属框上的小圆孔。调节读数显 微镜目镜，直到用眼睛能观察到镜筒内清晰的十字叉丝，然后前后移动读数显微镜的距离， 使其能清楚地看到小孔中横梁的边沿，再转动读数显微镜的鼓轮使横梁的某边沿与读数显微 镜内十字刻线吻合，并记下初始读数数值。 4.在砝码盘上逐次增加砝码，每次增加200.00g，相应从读数显微镜读出梁中心的位置 Zi(mm)填入表 1 中。然后依次减少砝码，每次减少200.00g，做同样的记录。 5.测量横梁的有效长度d（两刀口间的距离，一次测量）、横梁的宽度b（一次测量）填 入表 2 中；在横梁不同的位置测量其厚度a（6 次测量取平均值）填入表 3 中。 6.更换待测材料，重复上述操作。 【数据记录及处理】 表 1 Z 的单位为mm 次i mi/g 增加砝码 减少砝码 平均值Zı � Zi Zi 1 200.00 2 400.00 3 600.00 4 800.00 5 1000.00 表 2 衡量有效长度d及宽度b的测量
4等=0.02mm,4制天=0.5mm d/(mm) b/(mm) 200.00 表3横梁厚度a的测量 4+=0.004mm 1 2 3 4 5 6 a(mm) (1)作图：根据表1中的数据，以m为横坐标，以z为纵坐标，做出m与Z的关系图， 其中Z-m关系应为直线。 (2)计算：作出的直线应使数据点均匀分布在直线两侧，以直线通过的两个数据点 0,2)、00,)京出直线的斜率K=品斧测材料的格氏模经为 (3)待测材料杨氏模量的相对误差为 =3当+3告+尝2+尝 式中，4=△0.5mm,4h=4g002mm,4=5号+年，5。=2e=夏 dw-画 (4)根据杨氏模量相对误差计算出标准误差4y并写出实验结果表达式 '0=F±Ay 【思考题】 1实验中误差主要来源有哪些？ 2两种材料相同，长度、宽度、厚度不同的衡量，在相同加载的条件下，弯曲量相同吗？ 杨氏模量相同吗？ 3实验中记入数据的衡量长度是哪一段？为什么？
∆游= 0.02mm，∆钢尺= 0.5mm M/(g) d/(mm) b/(mm) 200.00 表 3 横梁厚度a的测量 ∆千= 0.004mm 1 2 3 4 5 6 a�(mm) （1）作图：根据表 1 中的数据，以m为横坐标，以Z为纵坐标，做出m与Z的关系图， 其中Z − m关系应为直线。 （2）计算：作出的直线应使数据点均匀分布在直线两侧，以直线通过的两个数据点 （𝒎𝒎𝟏𝟏, 𝒁𝒁𝟏𝟏）、（𝒎𝒎𝟐𝟐, 𝒁𝒁𝟐𝟐）求出直线的斜率𝑲𝑲 = 𝒁𝒁𝟐𝟐−𝒁𝒁𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐−𝒎𝒎𝟏𝟏 ，待测材料的杨氏模量为 𝒀𝒀 = 𝒅𝒅𝟑𝟑𝒈𝒈 𝟒𝟒𝒂𝒂𝟑𝟑𝒃𝒃𝒃𝒃 （3）待测材料杨氏模量的相对误差为 𝑬𝑬𝒀𝒀 = �(𝟑𝟑 ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 )𝟐𝟐 + (𝟑𝟑 ∆𝒂𝒂 𝒂𝒂 )𝟐𝟐+( ∆𝒃𝒃 𝒃𝒃 )𝟐𝟐 + ( ∆∆𝒛𝒛 ∆𝒛𝒛 )𝟐𝟐 式中， ∆𝒅𝒅= ∆钢尺= 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ， ∆𝒃𝒃= ∆游= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ， ∆𝒂𝒂= �𝑺𝑺𝒂𝒂 𝟐𝟐 + ∆千 𝟐𝟐 ， 𝑺𝑺𝒂𝒂 = �∑(𝒂𝒂𝒊𝒊−𝒂𝒂�)𝟐𝟐 𝟔𝟔−𝟏𝟏 ， ∆∆𝒛𝒛= �∑[(∆𝒛𝒛𝒊𝒊)−∆𝒁𝒁𝒊𝒊 �����] 𝟓𝟓−𝟏𝟏 . （4）根据杨氏模量相对误差计算出标准误差∆𝒀𝒀并写出实验结果表达式 𝒀𝒀黄铜 = 𝒀𝒀� ± ∆𝒀𝒀 【思考题】 1.实验中误差主要来源有哪些？ 2.两种材料相同，长度、宽度、厚度不同的衡量，在相同加载的条件下，弯曲量相同吗？ 杨氏模量相同吗？ 3.实验中记入数据的衡量长度是哪一段？为什么？