f(t)的傅里叶级数由f(t)和f2(t)的级数之和来表示 f(t)=f1(t)+/2(t) (1-2(-1))n,m01t= 1t+ 2-6若从周期信号f(t)的三角形式傅里叶级数中选取2N+1项,构成一个有限级数 当用Sx(t)代替f(t)时,引起的误差函数为 (t)=f(t)-Sn(t 均方误差为 试证明 下两式 tdt b T. 给出的an,b值满足最小误差条件。 2.最小均方误差为 En=f(t) (a2+b2) I Sv()=uo+>(a,cosnw(+b, sinno t) (a, conant+b, sinno t) E (t)dt 2[()-(.0+5m osno t+ b., t )+ +2a, bn, sinnot+b2 sinnott)
若E、最小,an应满足 0 ai 2/(t)@,t )da 2 a,'COs nw i td: 2b,'T),sinno),tcosnaytdt 因为 sinno, t oona tdt = G 所以T 2a, cos no , tdt 2f(t) ∫"()madJ"()mat td T T f(t)cosna,tdt 同理b,应满足N=0 ÷ 2(t)sinna tdt 2 sinna/tcosnw1tdt+260o*7 sin ndt=0 由 sinno, torso, tdt =0 T 得 2f(t)sinn tdt +2b, sinnoh tdz =0 f(t)sinno,tda f(t)si o sin2 nardi 6 f(sinn,tdi 2.由题意知EN(t)=f(t)-SN(t) EA=「 o+T1 EN(t)dt 1 IA()-E(a, cosnwu, I +6,sino) 2)],dr s [f(t)-2()∑(a,1t+b,imn1t)+
(a, cosn, t+b, sinn ())]e ”P(-,”(md 1o*1>[a, cosn@1 t bn t jdt 式中 ,wMt+bsmt)d=∑(a:+6) f(t)dt =f(t) 2-7将f1(t)作激励信号经过线性时不变 n 系统,从理论上讲可否产生f2(t)或 f3(t)的波形。为什么 解都不能产生。由图可见f1(t),f2(t), J()具有相同的T和r,且r≈工。若AD4 不改虑直流分量,则f1(t)=-f1(t 刀)为奇谐函数其频谱中只有奇次谐 波。又f2(t)和f3(t)都不是奇谐函数 其频谐必然含有偶次谐波。而线性时不 变系统不会产生新的频率分量,故不能 由f(t)产生/2(t),f3(t)的波形。 图选2.7 2-8求图选28所示半波余弦脉冲f(t)的 频谱。 f(1)=Eco z|tl≤2 A r>2 解I由傅里叶积分的定义式计算 图选28 F(ω)=|.E· coste >u dt= dt
EI+w (=+2)+s(2- “s aRe 解∏利用卷积定理 将f()看做矩形脉冲6()=(+)-(-)与余弦函数f(1)=Ec 的乘积,即f(t)=f1(t/G(t)。 已知[G(t)]=rSal g[f,(t)]=End o+T)+Ero(c-t 由卷积定理 F(a)=1gc()]f() zSa(:)*!Eroa++Eπ(a s[+)号]+号(m-)手] 2ITE 解Ⅲ利用簿里叶变换的微分性质 f()Ex5[(+号)-(1-2) ()-8n…(+号)-(-)+Em[+号)-8(-= sin"t·tt+ f(=_EroI Fcm[(2+)-(-0)+2(+)+2(-
整理有 r(4)+f()+=2x(2+2)+a(- 对上式两边取傅里叶变换 F(a)+(j)2F( e学+e-谬 整理得 F(a) 2E F(u)还可以整理成 F(a)=(2+2)+(=号) 29试不直接用傅里叶变换公式求图选29所示 x() Isitt It<l 其他t值 的傅里叶变换X(a) 解设x(t)=x1(t)+x;(t+1) x, (t)=sinrt[u(t)-u(t-1) 图选29 I sint]==[aw-x)-oa+n) g[a(t)-a(t-1)]=sa()e 1(a)=1x1(a-m)-8(a+m)]“S()e理 Sa X(a)=X1(a)(1te) -Sai [S("2)p(2) Sat Cs- 210求图选2-10所示单周正弦脉冲f(t)的傅里叶变换F(a)表达式。 解图示信号f(t)可以看做是单个矩形脉冲被正弦调制,即 f(t)=Lu(t)-u(t-T)]sinwot