D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.10.018 第30卷第10期 北京科技大学学报 Vol.30 No.10 2008年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2008 四位置导引机构解域分析及综合方法 钱卫香韩建友 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要对于给定的刚体四位置，在布尔梅斯特曲线上任取两组位置点可得到无穷多个机构解，要求设计者快速准确地从中 选取位置点综合出满足各项设计要求的最优机构是比较困难的·本文提出将无穷多机构解用有限机构解域来表示，通过机构 解域初步分析绘出机构属性图，据此设计者可了解每个机构的类型、最小传动角、杆长比以及有无缺陷等信息.·其次施加约束 条件构成可行机构解域，这样可避免位置点选取的盲目性·最后基于可行机构解域或感兴趣的区域绘制机构性能分析图确定 机构最优解 关键词刚体导引：综合方法；解域：计算机辅助设计 分类号TH112.1 Solution region analysis and synthesis method of 4-position rigid-body guidance QIA N Weixiang,HA N Jianyou School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A set of Burmester curves can present an infinite number of rigid-body guidance solutions for given four rigid-body pos- es.It is difficult for designers to synthesize the best linkage through rapidly and exactly select points that ensure to satisfy every design condition.First,an infinite number of rigid-body guidance solutions were expressed as finite solution regions in this paper.Based on initial analysis of solution regions,the mechanism property graph was computed to make designers find out the revolved mechanism's information,such as type,minimum transmission angle,link-length ratio,defects,and so on.Second.after the design constraints were considered and imposed,the feasible solution regions which avoid aimlessness in choosing positions can be calculated.Finally.on the feasible solution regions or the one of interest,property analysis graphs were displayed,along with which the optimized rigid-body quidance solution produces. KEY WORDS rigid-body guidance:synthesis method:solution regions:computer-aid design 刚体导引机构尺度综合就是设计一个四杆机构 法]，但只能得到一个最优解，对其他机构的特性 能引导其连杆顺次地通过若干个给定位置的问 缺乏认识，优化过程不直观， 题山，目前相关文献[24]探讨较多的是综合模型 为此，本文提出了一种新的思路和方法可以巧 的建立、求解及原有综合方法的改进，对综合过程 妙地解决上述问题，为能够将无穷多个机构解在有 中涉及到的一些关键问题仍缺乏系统研究，如综合 限的坐标平面内表示出来，引入了机构解域和可行 机构的性能、综合过程的可视化与智能化以及按设 机构解域的概念，通过建立圆点曲线上的点与解域 计者多方面要求进行方案优选等方面问题较少涉 坐标的映射，解域内的点元素与机构形成一一对应 及，对于给定刚体四位置的综合，从理论上来讲在 关系，然后通过机构解域分析，设计者可以直观准 布氏曲线上任取两组点可得到无穷多个机构解，而 确地获取解域中每个机构的属性，包括机构类型、有 设计者从中选取满足各项设计要求的最优机构却是 无缺陷、杆长比、机构最小传动角等，从而引导设计 一项比较费时费力的工作。尽管可以采用优化方 者在有解区域所对应的位置点处选取机构，另外在 收稿日期：2007-09-24修回日期：2007-10-16 作者简介：钱卫香(I975一)，女，博士研究生：韩建友(l956一)，男，教授，博士生导师，Emal:jyhan(@ustb.edu-en
四位置导引机构解域分析及综合方法 钱卫香 韩建友 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 对于给定的刚体四位置在布尔梅斯特曲线上任取两组位置点可得到无穷多个机构解要求设计者快速准确地从中 选取位置点综合出满足各项设计要求的最优机构是比较困难的．本文提出将无穷多机构解用有限机构解域来表示通过机构 解域初步分析绘出机构属性图据此设计者可了解每个机构的类型、最小传动角、杆长比以及有无缺陷等信息．其次施加约束 条件构成可行机构解域这样可避免位置点选取的盲目性．最后基于可行机构解域或感兴趣的区域绘制机构性能分析图确定 机构最优解． 关键词 刚体导引；综合方法；解域；计算机辅助设计 分类号 T H112∙1 Solution region analysis and synthesis method of4-position rigid-body guidance QIA N WeixiangHA N Jianyou School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A set of Burmester curves can present an infinite number of rigid-body guidance solutions for given four rigid-body poses．It is difficult for designers to synthesize the best linkage through rapidly and exactly select points that ensure to satisfy every design condition．Firstan infinite number of rigid-body guidance solutions were expressed as finite solution regions in this paper．Based on initial analysis of solution regionsthe mechanism property graph was computed to make designers find out the revolved mechanismʾs informationsuch as typeminimum transmission anglelink-length ratiodefectsand so on．Secondafter the design constraints were considered and imposedthe feasible solution regions which avoid aimlessness in choosing positions can be calculated．Finallyon the feasible solution regions or the one of interestproperty analysis graphs were displayedalong with which the optimized rigid-body guidance solution produces． KEY WORDS rigid-body guidance；synthesis method；solution regions；computer-aid design 收稿日期：2007-09-24 修回日期：2007-10-16 作者简介：钱卫香（1975—）女博士研究生；韩建友（1956—）男教授博士生导师E-mail：jyhan＠ustb．edu．cn 刚体导引机构尺度综合就是设计一个四杆机构 能引导其连杆顺次地通过若干个给定位置的问 题［1］．目前相关文献［2—4］探讨较多的是综合模型 的建立、求解及原有综合方法的改进．对综合过程 中涉及到的一些关键问题仍缺乏系统研究如综合 机构的性能、综合过程的可视化与智能化以及按设 计者多方面要求进行方案优选等方面问题较少涉 及．对于给定刚体四位置的综合从理论上来讲在 布氏曲线上任取两组点可得到无穷多个机构解而 设计者从中选取满足各项设计要求的最优机构却是 一项比较费时费力的工作．尽管可以采用优化方 法［5—8］但只能得到一个最优解对其他机构的特性 缺乏认识优化过程不直观． 为此本文提出了一种新的思路和方法可以巧 妙地解决上述问题．为能够将无穷多个机构解在有 限的坐标平面内表示出来引入了机构解域和可行 机构解域的概念．通过建立圆点曲线上的点与解域 坐标的映射解域内的点元素与机构形成一一对应 关系．然后通过机构解域分析设计者可以直观准 确地获取解域中每个机构的属性包括机构类型、有 无缺陷、杆长比、机构最小传动角等从而引导设计 者在有解区域所对应的位置点处选取机构．另外在 第30卷 第10期 2008年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．10 Oct．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．10．018
,1164 北京科技大学学报 第30卷 可行机构解域寻优的过程可由机构性能分析图直观 1=-引1- 4(d+2ch) 地反映出来，便于设计者了解机构性能变化趋势，允 y2+4h2 (4) 许设计者划定感兴趣的区域，通过逐步缩小区域采 y1=1-, r(d+2ch) 样步长减少计算量，提高计算精度 Y2+4h2 1各种情况下圆点曲线参数方程 其中，c=一e/Y,h是圆束中任取圆的圆心纵坐标. 此时圆点曲线可能出现三种典型形状：(a)两个独立 圆点曲线与圆心曲线统称为布氏曲线，其中圆 分支一闭合分支和开放分支：(b)只有一支，且有 点曲线是三阶虚圆点曲线（圆点坐标(x,y),是镜 一个二重点（也称扭结线）：(c)只有一支，无二重点 极坐标的函数.选定极点P12为坐标原点时，三阶圆 (也称拇指线)， 点曲线方程为9 为实现在同一有限坐标平面内确定连续机构解 (x6+y6)(j2x0-j1yo)+(j1k2-j2k1一j3)x6+ 域，本文将各种形状圆点曲线的点坐标均统一表示 (j1k2-j2k+j3)yo+2jaxoyo+ 成以角度(9∈(0,2π)为参数的方程. (-j1k3十jzk4+j3k1-jAk2)x0十 (a)两个独立分支(mo<0,mo=d-Y/4十e2/ (jik+jzk3-j3k2-jak)yo=0 (1) 丫).式(3)和(4)中，h=cot9.当9∈(0，π)时，采 式中，k1=x13十x24,k2=y13十y24,k3=x13y24十 用式(3)；当9∈（π，2π）时，采用式(4) y13x24,k4=x13x24十y13y24,j1=x23十x14一k1, (b)扭结线(m0=0).式(3)和(4)中，h=-e/ j2=y23+y14-k2,j3=x23y14+x14y23-k3,j4= Y+cot9.当9∈(0，π/2)U(3π/2,2π)时，采用 x23x14一y14y23一k4·其中，（x13,y13)、(x24,y24)、 式(3)：当9∈（π/2，π）U(π，3π/2)时，采用公式(4). (x14,y14)和(x23,y23)分别是镜极P13、P24、P14和 (c)拇指线(m0>0).当9∈(0，π/2)时，采用 P的坐标.焦心F的坐标为p=i士的，ye +洛，= 式(3)，式中h=-e/y+Jmo十cotp;当p∈（π/2， jj3j2j4 π)时，采用式(4)，式中h=-e/y+Jm0-cot9;当 + 9∈（π，3π/2）时，采用式(4)，式中h=-e/y- (1)若十≠0（焦点为实点），将坐标原点移 Jm0-cot9;当9∈(3π/2,2π)时，采用式(3)，式中 到焦点，并使坐标轴旋转0(tan0=一j1/j2)角.经 h=-e/y-Jmo十cot9. 坐标变换后，圆点曲线方程为： 当参数9连续取值时，圆点曲线将沿某一分支 (xi+yi)(x1+Y)+dx1+ey1=0 (2) 走向连续变化，若Y、e同时为零，圆点曲线分解为 式中，Y=土32xr九y十@ (j2≥0，取“+”号；j2< 圆和直线，方程分别为： N+ x1=alcos29 0,取-号)，1=2n426,e=2加士2 p∈(0，π) (5) +形 +危 yi=alsin29 其中，b1=号（号十品）十(r-p)十 x1=0 9∈（π，2π） (6) y1=cot axp十aep+a,6s=2(号+月)十r(g (2)若吊+=0（焦点为虚点），将坐标轴旋转 jiyr)+azxp+asyr+as;a=jik2-jzki-j3, B角(cot2B=一j3/j4),并移动坐标原点到（一g, a2=j4,a3=j1k2一jzk1十j3,a4=(-j1k3十j2k4十 一f),其中， j3k1-j4k2)/2,a5=(ji1k4十j2k3-j3k2-j4k1)/2. 可以证明]，若Y、e不同时为零（圆点曲线不 9kjk )cos)sin 2(一j3cos23+j4sin2 分解)，根据射影几何原理，利用射影对应的圆束和 直线束可求解方程(2)，圆点曲线方程解有两种形 )sincos 2(-j3cos2B+jisin2B) 式： 经坐标变换后，圆点曲线方程(1)化简为： x1=- 21+ 4(d-2ch) y2+4h2 x1-y1-(g2-f2)=0 (7) (3) y1=h1+1- 4(d+2ch) 若g2-∫≠0，方程(7)为双曲线 y2+4h2 当|g>lfl时，参数方程为：
可行机构解域寻优的过程可由机构性能分析图直观 地反映出来便于设计者了解机构性能变化趋势允 许设计者划定感兴趣的区域通过逐步缩小区域采 样步长减少计算量提高计算精度． 1 各种情况下圆点曲线参数方程 圆点曲线与圆心曲线统称为布氏曲线其中圆 点曲线是三阶虚圆点曲线（圆点坐标（ xy））是镜 极坐标的函数．选定极点 P12为坐标原点时三阶圆 点曲线方程为［9］： （ x 2 0＋y 2 0）（ j2x0— j1y0）＋（ j1k2— j2k1— j3） x 2 0＋ （ j1k2— j2k1＋ j3） y 2 0＋2j4x0y0＋ （— j1k3＋ j2k4＋ j3k1— j4k2） x0＋ （ j1k4＋ j2k3— j3k2— j4k1） y0＝0 （1） 式中k1＝ x13＋ x24k2＝ y13＋ y24k3＝ x13y24＋ y13x24k4＝ x13 x24＋ y13 y24j1＝ x23＋ x14— k1 j2＝y23＋ y14— k2j3＝ x23y14＋ x14y23— k3j4＝ x23x14— y14y23— k4．其中（ x13y13）、（ x24y24）、 （ x14y14）和（ x23y23）分别是镜极 P13、P 1 24、P14和 P 1 23的坐标．焦心 F 的坐标为 xF＝ j1j4＋ j2j3 j 2 1＋ j 2 2 yF＝ j1j3— j2j4 j 2 1＋ j 2 2 ． （1）若 j 2 1＋ j 2 2≠0（焦点为实点）．将坐标原点移 到焦点并使坐标轴旋转 θ（tanθ＝— j1／j2）角．经 坐标变换后圆点曲线方程为： （ x 2 1＋y 2 1）（ x1＋γ）＋d x1＋ey1＝0 （2） 式中γ＝± 3j2xF—j1yF＋a1 j 2 1＋j 2 2 （ j2≥0取“＋”号；j2＜ 0取“—”号）d＝ 2j2b4—2j1b5 j 2 1＋ j 2 2 e＝ 2j2b5＋2j1b4 j 2 1＋ j 2 2 ． 其中b4＝ j2 2 （ x 2 F ＋ y 2 F ） ＋ xF （ j2xF — j1yF ） ＋ a1xF＋a2yF＋ a4b5＝ j1 2 （ x 2 F＋ y 2 F）＋ yF （ j2xF— j1yF）＋ a2xF ＋ a3yF ＋ a5；a1＝ j1k2— j2k1— j3 a2＝j4a3＝ j1k2— j2k1＋ j3a4＝（— j1k3＋ j2k4＋ j3k1— j4k2）／2a5＝（ j1k4＋ j2k3— j3k2— j4k1）／2． 可以证明［9］若 γ、e 不同时为零（圆点曲线不 分解）根据射影几何原理利用射影对应的圆束和 直线束可求解方程（2）圆点曲线方程解有两种形 式： x1＝— γ 2 1＋ 1— 4（ d—2ch） γ2＋4h 2 y1＝h 1＋ 1— 4（ d＋2ch） γ2＋4h 2 （3） x1＝— γ 2 1— 1— 4（ d＋2ch） γ2＋4h 2 y1＝h 1— 1— r（ d＋2ch） γ2＋4h 2 （4） 其中c＝—e／γh 是圆束中任取圆的圆心纵坐标． 此时圆点曲线可能出现三种典型形状：（a）两个独立 分支———闭合分支和开放分支；（b）只有一支且有 一个二重点（也称扭结线）；（c）只有一支无二重点 （也称拇指线）． 为实现在同一有限坐标平面内确定连续机构解 域本文将各种形状圆点曲线的点坐标均统一表示 成以角度 φ（φ∈（02π））为参数的方程． （a）两个独立分支（ m0＜0m0＝ d—γ2／4＋e 2／ γ2）．式（3）和（4）中h＝cotφ．当 φ∈（0π）时采 用式（3）；当 φ∈（π2π）时采用式（4）． （b）扭结线（ m0＝0）．式（3）和（4）中h＝—e／ γ＋cotφ．当 φ∈（0π／2） ∪（3π／22π） 时采用 式（3）；当 φ∈（π／2π）∪（π3π／2）时采用公式（4）． （c）拇指线（ m0＞0）．当 φ∈（0π／2）时采用 式（3）式中 h＝—e／γ＋ m0＋cotφ；当 φ∈（π／2 π）时采用式（4）式中 h＝—e／γ＋ m0—cotφ；当 φ∈（π3π／2）时采用式（4）式中 h ＝— e／γ— m0—cotφ；当 φ∈（3π／22π）时采用式（3）式中 h＝—e／γ— m0＋cotφ． 当参数 φ连续取值时圆点曲线将沿某一分支 走向连续变化．若 γ、e 同时为零圆点曲线分解为 圆和直线方程分别为： x1＝ ｜d｜cos2φ y1＝ ｜d｜sin2φ φ∈（0π） （5） x1＝0 y1＝cotφ φ∈（π2π） （6） （2）若 j 2 1＋ j 2 2＝0（焦点为虚点）．将坐标轴旋转 β角（cot2β＝— j3／j4）并移动坐标原点到（— g — f ）其中 g＝ （ j3k1— j4k2）cosβ—（ j3k2＋ j4k1）sinβ 2（— j3cos2β＋ j4sin2β） f＝ （ j3k1— j4k2）sinβ＋（ j3k2＋ j4k1）cosβ 2（— j3cos2β＋ j4sin2β） ． 经坐标变换后圆点曲线方程（1）化简为： x 2 1—y 2 1—（ g 2— f 2）＝0 （7） 若 g 2— f 2≠0方程（7）为双曲线． 当｜g｜＞｜f｜时参数方程为： ·1164· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第10期 钱卫香等：四位置导引机构解域分析及综合方法 ,1165 x1=Jg2-fsec(9-π/2) (1)建立三维直角坐标系.机构解域位于X0Y 9∈(0，π)U(π，2π) yn=Jg2-ftan(9-元/2) 平面内，解域中每一个机构都有一些属性，包括机构 类型、有无缺陷、杆长比、机构最小传动角等，属性 (8) 值对应一个坐标轴Z. 当g<f时，参数方程为： (2)选取适当步长，在整个机构解域的横纵坐标 x1=f-g2tan(9-元/2) 上离散采样 p∈(0，π)U(元，2π) (3)构成机构，计算机构属性，横纵坐标上的采 y1=Nf2-g2sec(g-π/2) 样点两两组合得到的点即可确定一个机构，进而机 (9) 构的类型、缺陷等属性可以计算出来 若g2-∫2=0，圆点曲线为两条直线，方程分别 (4)显示属性图，属性中机构最小传动角和杆 为： 长比可用三维曲面表示，机构类型、有无缺陷等属性 x1-cot p(0,π) (10) 作为枚举数据类型可以在解域中直观地标示出来. y1=一cot9 3.2可行机构解域的构成 x1-cot 在实际机构设计中，用户根据加工条件、装配空 p∈（π，2π） y1=cot 间等可能提出各种设计要求，包括构件位置尺寸要 求、性能要求，可选取去除缺陷段，选择欲设计的机 2建立映射关系 构类型等，满足以上约束条件的机构解域称为可行 设A是圆点曲线上点的集合，集合B由参数P 机构解域， 的取值构成，中∈(0,2π)，则依据参数方程，集合A ()位置及尺寸约束，位置约束是指对定铰点 与集合B之间可形成一一对应映射关系，据此，可 (圆心)以及动铰点（圆点）坐标范围的要求，尺寸约 实现将圆点坐标位于（一，十）无限区间内的点 束是指四个杆件长度的变化范围，通过施加此项约 集合映射到参数P的有限取值区间(0,2π)内 束，机构将被限定在指定的装配空间范围内，同时单 圆点曲线上的每个点可对应产生一个连架杆 个杆件长度及杆长比均满足设计要求.设计者是否 (主动杆或从动杆)，而四杆机构可以看作是两个连 施加此项约束以及约束极值的大小要根据实际工况 架杆的组合，这样每个机构解可用一组圆点曲线上 或是设计者感兴趣的某一范围来确定.加入此项约 的点来表示.机构解域是所有满足四位置要求的机 束将使综合机构解域大为减少，从而节省计算时间， 构解的集合，由于集合A与集合B之间映射关系 (②)机构性能约束.机构性能约束中包括机构 的存在，机构解域的横、纵坐标均取为参数P(φ∈ 类型、最小传动角及有无缺陷的要求.，根据杆件尺 (0,2π))，两个坐标轴均对应同一圆点曲线，设定横 寸条件及原动件选取不同，可分为两类八种不同机 轴代表主动杆，纵轴代表从动杆，则机构解域上的点 构，如果对机构类型有特殊要求，如欲综合机构原 与满足四位置要求的机构就建立了一一对应关系· 动件为曲柄，则可根据要求施加机构类型约束，最 小传动角是反映机构传动质量的重要性能指标，一 3机构解域分析方法 般应设置最小传动角的下限，考虑到回路缺陷和顺 通过分析机构解域，一方面可以了解机构不同 序缺陷L10]会导致机构连续运动时无法导引连杆 属性在解域上的分布，获取机构相关信息，从而避免 顺序通过给定各位置，因此认为可行机构解域不包 设计者在圆点曲线上选取位置点的盲目性，使综合 含具有回路缺陷或顺序缺陷的机构，分支缺陷对机 过程更直观：另一方面能够在可行机构解域中迅速 构运行并不是致命的，去除与否取决于设计者的实 准确地找到约束最优点，实现综合过程的自动化、可 际需要 视化 3.3寻优算法 3.1机构解域的初步分析 基于机构解域寻优的基本思想是：首先根据给 在分步骤综合机构时，根据机构解域属性图可 定四位置条件列出映射方程，将布氏曲线上的点两 引导设计者有针对性地选取位置点，只有从有解区 两组合所得到的无穷多个机构在有限的区域范围内 域所对应的坐标中选取位置点，才能综合出满足设 表示出来；然后根据设计要求确定评价函数，可以将 计需求的机构 机构最小传动角最大作为寻优目标，也可以是机构 解域初步分析过程： 杆件长度之和最小，或是多个性能指标综合考虑：其
x1＝ g 2— f 2sec（φ—π／2） y1＝ g 2— f 2 tan（φ—π／2） φ∈（0π）∪（π2π） （8） 当｜g｜＜｜f｜时参数方程为： x1＝ f 2—g 2 tan（φ—π／2） y1＝ f 2—g 2sec（φ—π／2） φ∈（0π）∪（π2π） （9） 若 g 2— f 2＝0圆点曲线为两条直线方程分别 为： x1＝cotφ y1＝—cotφ φ∈（0π） （10） x1＝cotφ y1＝cotφ φ∈（π2π） （11） 2 建立映射关系 设 A 是圆点曲线上点的集合集合 B 由参数φ 的取值构成φ∈（02π）则依据参数方程集合 A 与集合 B 之间可形成一一对应映射关系据此可 实现将圆点坐标位于（—∞＋∞）无限区间内的点 集合映射到参数 φ的有限取值区间（02π）内． 圆点曲线上的每个点可对应产生一个连架杆 （主动杆或从动杆）而四杆机构可以看作是两个连 架杆的组合这样每个机构解可用一组圆点曲线上 的点来表示．机构解域是所有满足四位置要求的机 构解的集合．由于集合 A 与集合 B 之间映射关系 的存在机构解域的横、纵坐标均取为参数 φ（φ∈ （02π））两个坐标轴均对应同一圆点曲线设定横 轴代表主动杆纵轴代表从动杆则机构解域上的点 与满足四位置要求的机构就建立了一一对应关系． 3 机构解域分析方法 通过分析机构解域一方面可以了解机构不同 属性在解域上的分布获取机构相关信息从而避免 设计者在圆点曲线上选取位置点的盲目性使综合 过程更直观；另一方面能够在可行机构解域中迅速 准确地找到约束最优点实现综合过程的自动化、可 视化． 3∙1 机构解域的初步分析 在分步骤综合机构时根据机构解域属性图可 引导设计者有针对性地选取位置点．只有从有解区 域所对应的坐标中选取位置点才能综合出满足设 计需求的机构． 解域初步分析过程： （1）建立三维直角坐标系．机构解域位于 XOY 平面内解域中每一个机构都有一些属性包括机构 类型、有无缺陷、杆长比、机构最小传动角等．属性 值对应一个坐标轴 Z． （2）选取适当步长在整个机构解域的横纵坐标 上离散采样． （3）构成机构计算机构属性．横纵坐标上的采 样点两两组合得到的点即可确定一个机构进而机 构的类型、缺陷等属性可以计算出来． （4）显示属性图．属性中机构最小传动角和杆 长比可用三维曲面表示机构类型、有无缺陷等属性 作为枚举数据类型可以在解域中直观地标示出来． 3∙2 可行机构解域的构成 在实际机构设计中用户根据加工条件、装配空 间等可能提出各种设计要求包括构件位置尺寸要 求、性能要求可选取去除缺陷段选择欲设计的机 构类型等．满足以上约束条件的机构解域称为可行 机构解域． （1） 位置及尺寸约束．位置约束是指对定铰点 （圆心）以及动铰点（圆点）坐标范围的要求尺寸约 束是指四个杆件长度的变化范围．通过施加此项约 束机构将被限定在指定的装配空间范围内同时单 个杆件长度及杆长比均满足设计要求．设计者是否 施加此项约束以及约束极值的大小要根据实际工况 或是设计者感兴趣的某一范围来确定．加入此项约 束将使综合机构解域大为减少从而节省计算时间． （2） 机构性能约束．机构性能约束中包括机构 类型、最小传动角及有无缺陷的要求．根据杆件尺 寸条件及原动件选取不同可分为两类八种不同机 构．如果对机构类型有特殊要求如欲综合机构原 动件为曲柄则可根据要求施加机构类型约束．最 小传动角是反映机构传动质量的重要性能指标一 般应设置最小传动角的下限．考虑到回路缺陷和顺 序缺陷［110］会导致机构连续运动时无法导引连杆 顺序通过给定各位置因此认为可行机构解域不包 含具有回路缺陷或顺序缺陷的机构．分支缺陷对机 构运行并不是致命的去除与否取决于设计者的实 际需要． 3∙3 寻优算法 基于机构解域寻优的基本思想是：首先根据给 定四位置条件列出映射方程将布氏曲线上的点两 两组合所得到的无穷多个机构在有限的区域范围内 表示出来；然后根据设计要求确定评价函数可以将 机构最小传动角最大作为寻优目标也可以是机构 杆件长度之和最小或是多个性能指标综合考虑；其 第10期 钱卫香等： 四位置导引机构解域分析及综合方法 ·1165·
,1166 北京科技大学学报 第30卷 次施加约束条件，确定可行机构解域，并绘出机构性 两个独立分支，映射方程为式(3)和(4).当P在(0， 能分析图，从中可看出机构性能变化趋势及峰值分 π)区间取值时，P值与开放分支上的点相对应；当P 布情况；最后在峰值附近缩小解域横纵坐标采样步 在（π，2π）区间取值时，P值与闭合分支上的点相对 长，重新计算直到计算精度满足要求，得到所有局部 应.设定参数9采样步长△9=0.2°，在整个解域上 最优，点及全局最优点，根据映射关系输出最优点所 绘出机构属性图，如图1所示. 对应机构的结构参数和性能参数 表1四位置参数 4综合示例 Table 1 Four-position parameters 位置i yi 0/ 例如，四位置参数见表1，设计要求如下 1 8 -7 0 机构类型：曲柄摇杆机构：单个杆件长度：≤ 2 -3.5 -20 -26 200:杆长比：lmin/lmar>0.1;最小传动角：Ymim≥ 3 -11.5 -11 -40 30°；缺陷：无回路和顺序缺陷 -15.5 -2 -44 (1)机构解域的初步分析，经计算，圆点曲线有 (a)360 0.1y 02 0.2 (b) 6 6 0.6 0 0 o心##水 h2 0 0功400助 6 120 1 90 90 3 02 60 30 -0.30 0 30 60 90120150180210240270300330360 0 306090120150180210240270300330360 主动杆) 主动杆() 01.2 13 (c)360 330 2 10 1 0 0 12 30 2 0 306090120150180210240270300330360 主动杆() 图1机构属性图，(a)杆长比（等值线图）：(b)机构类型分布：1一曲柄摇杆：2一双摇杆；3一摇杆曲柄；4一双曲柄：5一三摇杆（内外摆）： 6一三摇杆（外外摆）：7一三摇杆（外内摆）：8一三摇杆（内内摆）：（©）机构缺陷分布：0一无缺陷：1一分支缺陷：2一回路缺陷：3一顺序缺陷 FigI Mechanism property graphs:(a)link-length ratio (contour);(b)mechanism type distribution,I-crank rocker,2-double rocker.3-rock er crank.4-double crank,5-triple rocker (in out rock),6-triple rocker (out out rock).7-triple rocker (out in rock),8-triple rocker (in in rock):(c)defects distribution.O-defect free region.I-branch defect.2-circuit defect,3-order defect
次施加约束条件确定可行机构解域并绘出机构性 能分析图从中可看出机构性能变化趋势及峰值分 布情况；最后在峰值附近缩小解域横纵坐标采样步 长重新计算直到计算精度满足要求得到所有局部 最优点及全局最优点根据映射关系输出最优点所 对应机构的结构参数和性能参数． 4 综合示例 例如四位置参数见表1设计要求如下． 机构类型：曲柄摇杆机构；单个杆件长度：≤ 200；杆长比：lmin／lmax ＞0∙1；最小传动角：γmin ≥ 30°；缺陷：无回路和顺序缺陷． （1）机构解域的初步分析．经计算圆点曲线有 两个独立分支映射方程为式（3）和（4）．当 φ在（0 π）区间取值时φ值与开放分支上的点相对应；当 φ 在（π2π）区间取值时φ值与闭合分支上的点相对 应．设定参数 φ采样步长Δφ＝0∙2°在整个解域上 绘出机构属性图如图1所示． 表1 四位置参数 Table1 Four-position parameters 位置 i xi yi θ1／i （°） 1 8 —7 0 2 —3∙5 —20 —26 3 —11∙5 —11 —40 4 —15∙5 —2 —44 图1 机构属性图．（a） 杆长比（等值线图）；（b） 机构类型分布：1—曲柄摇杆；2—双摇杆；3—摇杆曲柄；4—双曲柄；5—三摇杆（内外摆）； 6—三摇杆（外外摆）；7—三摇杆（外内摆）；8—三摇杆（内内摆）；（c） 机构缺陷分布：0—无缺陷；1—分支缺陷；2—回路缺陷；3—顺序缺陷 Fig．1 Mechanism property graphs：（a） link-length ratio （contour）；（b） mechanism type distribution1—crank rocker2—double rocker3—rocker crank4—double crank5—triple rocker （in-out rock）6—triple rocker （out-out rock）7—triple rocker （out-in rock）8—triple rocker （in-in rock）；（c） defects distribution0—defect-free region1—branch defect2—circuit defect3—order defect ·1166· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第10期 钱卫香等：四位置导引机构解域分析及综合方法 ,1167 (2)施加约束条件，可行机构解域如图2所示 360 可行解域分别向X轴、Y轴投影，即可确定两连架 杆的可行区间集合，对于主动件，参数9∈[16.2， 机构1： 机构2： X-346.8 126.21U[180,188.2]U[330.6,360):对于从动件， 270 X=68.8 =313.6 参数9∈[135.2,145.2]U[211.2,327.6].可行机 240 =313.2 2-64.76 Z-60.98 构解域与圆点曲线上的可行区段（如图3，线上数据 210 为P值)是相对应的，采用可行机构解域的优点是， 150 在其上可同时得到主动杆和从动杆的可选范围，并 120 不要求必须先选主动杆（或从动杆） %以 ◆机构3： (③)机构优选.以机构最小传动角最大作为寻 60 X=120 优目标，机构性能分析图如图4，机构1为全局最优 30 =70 Z-6.49 解，机构2为一个局部最优解.为方便对比分析，在 63060901201501802024027030030360 主动杆p() 可行机构解域外任取一点对应产生机构3，机构在 解域中所处各位置见图2. 图2可行机构解域 综合所得各机构如图5所示，其结构和性能参 Fig.2 Feasible mechanism solution regions 100 一可行区段 (b) 一可行区段 80F …不可行区段 80 ·不可行区段 60 180° 350 60 180 350° (360) 40 330.650° (360）).… '150 188.24 40 327.6°1 1352 20 200° 126.2 -20 200° …3000 100° 2112° 300° 100° 0 250° 01 250 -20 -20 50 50° -40 -40 -6900-80-60-40-2002040608000 -69160-80-6040-20020406080100 图3圆点曲线第一点的可行区段，(a)先选主动件时：(b)先选从动件时 Fig.3 Feasible regions of the first point on the circle point curve:(a)when the driving link is selected firstly:(b)when the driven link is selected firstly 构1、2为无缺陷曲柄摇杆机构，性能较为优越，满足 0 各项设计要求.但机构2最小传动角为60.98°，稍 次于机构1最小传动角(64.76°)，机构3存在回路 40 缺陷，且最小传动角为6.49°，远远小于30°（要求 30 值)，不满足设计要求， 240 360 120 300 5结论 0001201020 60 主动杆p9 本文对四位置导引机构综合和寻优方法进行了 研究，提出将无穷多机构解用有限机构解域来表示 图4机构性能分析图(Mcsh图) 的方法，研究表明，通过机构解域分析能很好地解 Fig.4 Mechanism property graphs (Mesh) 决综合过程中圆点（或圆心）盲目选取的问题，同时 数（包括最小传动角Ya,杆件长度之和∑l,最 实现了机构综合和寻优的可视化和智能化，方法不 大杆长lma以及杆长比lmim/lmax)见表2.显然，机 涉及繁复的综合理论，易于掌握和推广使用
（2）施加约束条件可行机构解域如图2所示． 可行解域分别向 X 轴、Y 轴投影即可确定两连架 杆的可行区间集合．对于主动件参数 φ∈［16∙2 126∙2］∪［180188∙2］∪［330∙6360）；对于从动件 参数 φ∈［135∙2145∙2］∪［211∙2327∙6］．可行机 构解域与圆点曲线上的可行区段（如图3线上数据 为 φ值）是相对应的．采用可行机构解域的优点是 在其上可同时得到主动杆和从动杆的可选范围并 不要求必须先选主动杆（或从动杆）． （3）机构优选．以机构最小传动角最大作为寻 优目标机构性能分析图如图4机构1为全局最优 解机构2为一个局部最优解．为方便对比分析在 可行机构解域外任取一点对应产生机构3．机构在 解域中所处各位置见图2． 综合所得各机构如图5所示其结构和性能参 图2 可行机构解域 Fig．2 Feasible mechanism solution regions 图3 圆点曲线第一点的可行区段．（a） 先选主动件时；（b） 先选从动件时 Fig．3 Feasible regions of the first point on the circle point curve：（a） when the driving link is selected firstly；（b） when the driven link is selected firstly 图4 机构性能分析图（Mesh 图） Fig．4 Mechanism property graphs （Mesh） 数（包括最小传动角 γmin杆件长度之和 ∑ li最 大杆长 lmax以及杆长比 lmin／lmax）见表2．显然机 构1、2为无缺陷曲柄摇杆机构性能较为优越满足 各项设计要求．但机构2最小传动角为60∙98°稍 次于机构1最小传动角（64∙76°）．机构3存在回路 缺陷且最小传动角为6∙49°远远小于30°（要求 值）不满足设计要求． 5 结论 本文对四位置导引机构综合和寻优方法进行了 研究提出将无穷多机构解用有限机构解域来表示 的方法．研究表明通过机构解域分析能很好地解 决综合过程中圆点（或圆心）盲目选取的问题同时 实现了机构综合和寻优的可视化和智能化．方法不 涉及繁复的综合理论易于掌握和推广使用． 第10期 钱卫香等： 四位置导引机构解域分析及综合方法 ·1167·