D0I:10.13374/1.issm100103.2008.07.028 第30卷第7期 北京科技大学学报 Vol.30 No.7 2008年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju.2008 潜水流湿地污水处理反应器模型求解 郑连存)张欣欣)闫海) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要针对潜水流湿地污水处理反应器模型，研究了当Michaelis一Menten方程近似为浓度的非线性（二次幂律）函数情况时 的求解方法.利用Adomai拆分方法，得到了问题具有级数形式的近似解析解.本文所采用的方法和技巧可以用来解决当 Michaelis一Menten方程近似为浓度的其他非线性函数情况. 关键词人工湿地：污水处理：数学模型：解析解 分类号X171.1 Solving the subsurface flow wetland reactor model for sewage treatment ZHENG Liancun).ZHA NG Xinxin2).YAN Hai) 1)School of Applied Science University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 2)School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The subsurface flow wetland reactor model for sewage treatment was studied by approximating the Michaelis-Menten e- quation into a nonlinear power law function of two orders.The analytical solutions were obtained in terms of a rapid convergent power series by utilizing the Adomain decomposition technique.The mathematical technique employed in this paper is also of significance in studying the problems when the Michaelis-Menten equation is approximated by other nonlinear functions. KEY WORDS artificial wetland:sewage treatment:mathematical model:analytical solution 伴随着工业的发展和人口的迅速膨胀，人类正 器模型问题，在数学上可表述为一类反应扩散型偏 面临全球范围的水污染、生态恶化和灾害频生的严 微分方程10] 峻形势，自1974年西德首次建造人工湿地污水处 本文利用Adomian拆分方法考虑当Michaelis一 理反应器系统以来，人工湿地污水处理方法在欧洲、 Menten方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 美国、日本等发达国家迅速得到推广和应用]. 情况求解问题.该方法可以用来解决在Michaelis一 目前我国绝大部分城市的污水处理采用传统的 Menten方程（米氏方程）近似为浓度的其他非线性 活性污泥二级生化处理工艺，这样的处理工艺基建 函数情况， 投资大、能耗高、运行维护费用高，而且对管理技术 1SSFW反应器模型的控制方程 要求也很高，另外，我国大多数乡镇、中小城市的污 水处理基本上是零级处理，当排入受纳水体后对于 人工湿地污水处理系统大体可以分为地表面流 河流污染相当严重.人工湿地污水处理反应器系统 湿地(surface flow wetland,SFW)、潜水流湿地 作为一种优良、简便易性、费用低廉的污水处理新技 (subsurface flow wetland,SSFW)和垂直流湿地 术，是非常适合在我国乡镇、中小城市推广和采用的 (vertical flow wetland,VFW)三类.地表面流湿地 污水处理方法·近年来，我国很多学者在人工湿地 和垂直流湿地均因存在卫生条件差的缺点，在实际 污水处理技术领域进行了研究，关于人工湿地反应 工程中一般不采用。实际工程中应用最多的是潜水 收稿日期：2007-10-20修回日期：2007-11-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。,50476083):北京市教有委员会共建项目“官厅水库上游妫水湖防止营养化和蓝藻水华发展的复 合生态工程治理研究” 作者简介：郑连存(1957一)男，教授，博士，E-mail:liancunheng@163.com
潜水流湿地污水处理反应器模型求解 郑连存1） 张欣欣2） 闫 海1） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 针对潜水流湿地污水处理反应器模型研究了当 Michaelis－Menten 方程近似为浓度的非线性（二次幂律）函数情况时 的求解方法．利用 Adomain 拆分方法得到了问题具有级数形式的近似解析解．本文所采用的方法和技巧可以用来解决当 Michaelis－Menten 方程近似为浓度的其他非线性函数情况． 关键词 人工湿地；污水处理；数学模型；解析解 分类号 X171∙1 Solving the subsurface flow wetland reactor model for sewage treatment ZHENG Liancun 1）ZHA NG Xinxin 2）Y A N Hai 1） 1） School of Applied Science University of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he subsurface flow wetland reactor model for sewage treatment was studied by approximating the Michaelis-Menten equation into a nonlinear power law function of two orders．T he analytical solutions were obtained in terms of a rapid convergent power series by utilizing the Adomain decomposition technique．T he mathematical technique employed in this paper is also of significance in studying the problems when the Michaelis-Menten equation is approximated by other nonlinear functions． KEY WORDS artificial wetland；sewage treatment；mathematical model；analytical solution 收稿日期：2007-10-20 修回日期：2007-11-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50476083）；北京市教育委员会共建项目“官厅水库上游妫水湖防止营养化和蓝藻水华发展的复 合生态工程治理研究” 作者简介：郑连存（1957－）男教授博士E-mail：liancunzheng＠163．com 伴随着工业的发展和人口的迅速膨胀人类正 面临全球范围的水污染、生态恶化和灾害频生的严 峻形势．自1974年西德首次建造人工湿地污水处 理反应器系统以来人工湿地污水处理方法在欧洲、 美国、日本等发达国家迅速得到推广和应用［1－3］． 目前我国绝大部分城市的污水处理采用传统的 活性污泥二级生化处理工艺这样的处理工艺基建 投资大、能耗高、运行维护费用高而且对管理技术 要求也很高．另外我国大多数乡镇、中小城市的污 水处理基本上是零级处理当排入受纳水体后对于 河流污染相当严重．人工湿地污水处理反应器系统 作为一种优良、简便易性、费用低廉的污水处理新技 术是非常适合在我国乡镇、中小城市推广和采用的 污水处理方法．近年来我国很多学者在人工湿地 污水处理技术领域进行了研究．关于人工湿地反应 器模型问题在数学上可表述为一类反应扩散型偏 微分方程［4－10］． 本文利用 Adomian 拆分方法考虑当 Michaelis－ Menten 方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 情况求解问题．该方法可以用来解决在 Michaelis－ Menten 方程（米氏方程）近似为浓度的其他非线性 函数情况． 1 SSFW 反应器模型的控制方程 人工湿地污水处理系统大体可以分为地表面流 湿地 （surface flow wetlandSFW）、潜 水 流 湿 地 （subsurface flow wetlandSSFW） 和垂直流湿 地 （vertical flow wetlandVFW）三类．地表面流湿地 和垂直流湿地均因存在卫生条件差的缺点在实际 工程中一般不采用．实际工程中应用最多的是潜水 第30卷 第7期 2008年 7月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．7 Jul．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．07．028
第7期 郑连存等：潜水流湿地污水处理反应器模型求解 .715. 流湿地反应器问题模型，该反应器问题表述为如下 法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系， 偏微分方程： 最主要的是使其中高阶解分量只取决于低阶解分 yac+r(C) G-D38-Y35 量，以便可由低阶解分量按一定规则推出任意高阶 解分量，（©）对非线性方程中最要害的非线性项提 0<t<T,0<x<L (1) 出巧妙的方法，产生一个与其等价的多项式，用一 其中，r(C)由MichaelisMenten方程（米氏方程）给 个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数，即 出： Adomian多项式，该多项式只由前面低阶的解分量 (c)=-(c.fc (2) 及非线性函数来共同确定，不失一般性，举例说明 如下，考虑下列微分方程动力系统： 在传统的SSFW反应器模型研究中，通常将米 Fu(t)=g(t) (8) 氏方程假设为C《km,而将r(C)近似线性表示为： 其中，F代表非线性和线性的微分算子，将线性的 (c)=-c (3) 现分解成L十R,L是可逆算子，R是余下的线性 算子，N代表非线性算子，则方程(8)可写成： 这样处理虽然使模型得到很大程度简化，但是 Lu+Ru+Nu=g (9) 极大降低了模型的适宜范围和实用性，注意到当 由于L是可逆的，对方程(8)式两边进行L的运 C<1时，由泰勒展开公式有： k 算，得到： u=Lg-LRu-L Nu (10) r(C)=-rmar C km1+C 若L是一阶偏微分算子，则L是从to到t的积 分，若L是二阶偏微分算子，则： 1+8-{8+ u=uu(to)(t-to)'u(to) (11) 令u=∑u,Nu=∑A,考虑二阶偏微分算 取前两项近似，并记r=rmax和r=km,得到： 子时，令o=A十B十L-g,得到： r(c)=c+点c2 (4) ∑u,=w-L-1R∑u-L1∑A.(12) 代入方程(1)得到： 可以写成： 导-v影c+ 2G-D2G- u1=-L-1Ru0-L-1A0, ∂t u2=-L-1R1-L-1A1,…, (<<T,0<x<L (5) un+1=-L Run-L-IAn (13) 初边值条件为： 其中，Am是un(n=1,2,3,)的一个多项式，它依 Clx=0=Co,Clx=L=Ce (6) 赖于由N的形式所决定的o和它的偏导数.用 Cl:=0=Co (7) Adomian拆分法可以很快逼近函数，即N取很小 方程(5)为非线性偏微分方程，不能按常规方法 整数时便可得到函数的解析近似解，并且误差很 求解.本文拟采用Adomian拆分方法山来研究方 小. 程(5)~(7)的求解问题，即考虑当Michaelis一 2.2近似解析解 Menten方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 为利用Adomian拆分法求解方程(5)~(7)的 的情况 近似解，设方程的解表示成： 2控制方程求解 C(x,t)=。 a (14) 2.1 Adomian拆分法 引入算子：1=。，应用到方程（⑤）得： Adomian拆分法的主要思想概括为：(a)将一个 C(x,t)= 真解分解为若干个解分量之和，设法分别求出各阶 解分量，然后让这些解分量之和以任意所需的高精 c,0+以n影-v-c+ca= ax k 度逼近真值.(b)将整个方程恰当地分解为若干部 分，主要按照算符分解为线性、非线性、确定及随机 c+4a=+L{会4= 性各部分，然后利用已知初值或边值条件，从中设
流湿地反应器问题模型．该反应器问题表述为如下 偏微分方程： ∂C ∂t ＝ D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x ＋ r（C） 0＜t＜ T0＜ x＜ L （1） 其中r（C）由 Michaelis－Menten 方程（米氏方程）给 出： r（C）＝－ rmax（C） C km＋C （2） 在传统的 SSFW 反应器模型研究中通常将米 氏方程假设为 C≪km而将 r（C）近似线性表示为： r（C）＝－ rmax km C （3） 这样处理虽然使模型得到很大程度简化但是 极大降低了模型的适宜范围和实用性．注意到当 C km ＜1时由泰勒展开公式有： r（C）＝－ rmax C km 1＋ C km ＝ － rmax km C 1－ C km ＋ C km 2 － C km 3 ＋… C km ＜1 取前两项近似并记 r＝ rmax和 r＝km得到： r（C）＝－ r k C＋ r k 2 C 2 （4） 代入方程（1）得到： ∂C ∂t ＝ D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x － r k C＋ r k 2 C 2 0＜t＜ T0＜ x＜ L （5） 初边值条件为： C｜x＝0＝C0C｜x＝ L＝Ce （6） C｜t＝0＝C0 （7） 方程（5）为非线性偏微分方程不能按常规方法 求解．本文拟采用 Adomian 拆分方法［11］ 来研究方 程（5） ～ （7） 的 求 解 问 题即 考 虑 当 Michaelis－ Menten 方程（米氏方程）近似为浓度的非线性函数 的情况． 2 控制方程求解 2∙1 Adomian 拆分法 Adomian 拆分法的主要思想概括为：（a）将一个 真解分解为若干个解分量之和设法分别求出各阶 解分量然后让这些解分量之和以任意所需的高精 度逼近真值．（b）将整个方程恰当地分解为若干部 分主要按照算符分解为线性、非线性、确定及随机 性各部分然后利用已知初值或边值条件从中设 法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系 最主要的是使其中高阶解分量只取决于低阶解分 量以便可由低阶解分量按一定规则推出任意高阶 解分量．（c）对非线性方程中最要害的非线性项提 出巧妙的方法产生一个与其等价的多项式用一 个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数即 Adomian 多项式该多项式只由前面低阶的解分量 及非线性函数来共同确定．不失一般性举例说明 如下考虑下列微分方程动力系统： Fu（ t）＝g（ t） （8） 其中F 代表非线性和线性的微分算子将线性的 现分解成 L＋ RL 是可逆算子R 是余下的线性 算子N 代表非线性算子．则方程（8）可写成： L u＋ Ru＋ Nu＝g （9） 由于 L 是可逆的对方程（8）式两边进行 L －1的运 算得到： u＝ L －1 g－ L －1Ru－ L －1Nu （10） 若 L 是一阶偏微分算子则 L －1是从 t0 到 t 的积 分若 L 是二阶偏微分算子则： u＝ u－ u（ t0）－（ t－t0）′u（ t0） （11） 令 u＝ ∑ unNu＝ ∑ An考虑二阶偏微分算 子时令 u0＝ A＋Bt＋ L －1 g得到： ∑ un＝ u0－ L －1R ∑ un－ L －1∑ An （12） 可以写成： u1＝－ L －1Ru0－ L －1A0 u2＝－ L －1Ru1－ L －1A1… un＋1＝－ L －1Run－ L －1A n （13） 其中A n 是 un（ n＝123…）的一个多项式它依 赖于由 N 的形式所决定的 u0 和它的偏导数．用 Adomian 拆分法可以很快逼近函数即 N 取很小 整数时便可得到函数的解析近似解并且误差很 小． 2∙2 近似解析解 为利用 Adomian 拆分法求解方程（5）～（7）的 近似解设方程的解表示成： C（ xt）＝ ∑ ∞ n＝0 Cn （14） 引入算子 L －1 t ＝∫ t 0 应用到方程（5）得： C（ xt）＝ C（ x0）＋∫ t 0 D ∂2C ∂x 2－ V ∂C ∂x － r k C＋ r k 2 C 2 dτ＝ C0＋∫ t 0 ∑ ∞ n＝0 A n dτ＝C0＋ L －1 t ∑ ∞ n＝0 A n ＝ 第7期 郑连存等： 潜水流湿地污水处理反应器模型求解 ·715·
,716 北京科技大学学报 第30卷 Co+(A),A≥0 (15) 需要的最少时间为T=一上1n 名混地床体长度为 这里An为Adomiand多项式，由如下规则确定： L=TV. C0(x,t)=C0, 3结论 Cm+1(x,t)=L:(An),n0. 注意到： 本文研究了潜流式人工湿地污水处理反应器模 Co(x,t)=Co,Cox=0,Coxx=0. 型的求解问题，利用Adomain解析拆分方法技巧， A=-,2+5c. 给出了当Michaelis一Menten方程（米氏方程）近似 为浓度的二次幂律非线性函数情况时的求解方法， 成功得到了问题的近似解析解.本文所采用的方法 G-(4--- 和技巧可以用来解决在Michaelis一Menten方程（米 -9 氏方程)的泰勒展开公式中取更多项来近似或近似 -co 为浓度的其他非线性函数情况， A1-C+CoCI--1-2C9 参考文献 C1= [1]Cole S.The emergence of treatment wetlands.Environ Sci c1-1-9用 Technol,1998,32(9):218 [2]Kadlee R H.Overview Surface flow constructed wetlands.Wa- ter Sci Technol.1995,32(3):1 c=aa-c1--9 [3]Kadlee R H.Knight R L.Treatment Wetlands.New York: CRC Press Lewis Publishers,1996 A=-,g++2cc)- [4]Huang Z Y.Enironment Hydrodynamics.Beijing:Science Press,2006 -tlca-t(ci+acoca) (黄志勇.环境水利学.北京：科学出版社，2006) [5]Xiao Y,Ye J.Yang D.ct al.Research of application of Monod modd in subsurface constructed wetland.Environ Technol,2003(2):21 (肖艳，叶旌，杨敦，等.Monod模型在潜流式人工湿地中的应 用探讨.环境技术，2003(2)：21) C3=o(A2)d- [6]Yang C H.Zheng Z H.On the digital model on the dissolving organic matters by constructed wetland sewage disposal reactor.North Chi- na Inst Water Conser Hydroelectr Power.2004.25(2):66 (杨崇豪，郑志宏，人工湿地污水处理反应器降解有机物的数 学模型.华北水利水电学院学报，2004,25(2)：66) 类似可以得到其他各项，最后可以得到问题的近似 [7]Wang A P.Zhou Q.Study on wastewater treatment by con- 解析解： structed wetlands.Sichuan Environ:2005.24(2):76 C=C0十C1+C2十C3十..= (王爱萍，周琪.人工湿地处理污水的研究.四川环境，2005， 24(2):76) [8]Liu L.Li D Y,Cui G B,et al.Study of organic contaminant biodegradation in wetland system.Tech Equip Eniron Pollut c1- 1- 2Co 12 Control,2002,3(2):2 (刘凌，李大勇，崔广柏，等.有机污染物湿地生物降解实验规 6Co+6C园 律研究环境污染治理技术与设备，2002,3(2)：2) c1-9 [9]Zhang J.Zhou Q.Ecological kinetic models and methods of phos- phorus cycle in free water surface constructed wetlands.Sichuan 特别，当米氏方程近似为浓度的线性函数（方程 Environ,2004,23(1):88 (3))时，由本文方法立即可以得到问题的解析解为： (张军，周琪。表面流人工湿地磷循环生态动力学模型及实现 C=C0十C1+C2十C3+…= 方法.四川环境，2004,23(1)：88) [10]Pan K.Yang S S,Chen Y.Advances in the research of con- 21。 3 c-c+c一k 十= structed wetland wastewater treatment technology in China. Sichuan Eniron.2005.24(2):71 Coe2,0≤t≤T. (潘科，杨顺生，陈钰，等.人工湿地污水处理技术在我国的发 展研究.四川环境，2005,24(2)：71) 当要求出口浓度为C。时，C。=CoeT,得到所 [11]Adomian G.A review of the decomposition method in applied mathematics.Math Anal Appl.1998.135:501
C0＋ ∑ ∞ n＝0 L －1 t （ A n）n≥0 （15） 这里 A n 为 Adomiand 多项式由如下规则确定： C0（ xt）＝C0 Cn＋1（ xt）＝ L －1 t （ A n）n≥0． 注意到： C0（ xt）＝C0C0x＝0C0xx＝0． A0＝－ r C0 k ＋ r k 2 C 2 0 C1＝∫ t 0 （ A0）dτ＝－∫ t 0 r C0 k － r k 2 C 2 0 dτ＝ －C0 1－ C0 k r k t A1＝－ r k C1＋ 2r k 2 C0C1＝－ r k 1－ 2 k C0 C1＝ C0 1－ C0 k 1－ 2C0 k r k 2 t C2＝∫ t 0 （ A1）dτ＝ 1 2！ C0 1－ C0 k 1－ 2C0 k r k t 2 A2＝－ r C2 k ＋ r 1 k 2（C 2 1＋2C0C2）＝ － r k C2－ 1 k （C 2 1＋2C0C2） ＝ － 1 2！ C0 1－ C0 k 1－ 6C0 k ＋ 6C 2 0 k 2 r k r k t 2 C3＝∫ t 0 （ A2）dτ＝ － 1 3！ C0 1－ C0 k 1－ 6C0 k ＋ 6C 2 0 k 2 r k t 3 … 类似可以得到其他各项．最后可以得到问题的近似 解析解： C＝C0＋C1＋C2＋C3＋…＝ C0－C0 1－ C0 k r k t ＋ 1 2！ C0 1－ C0 k 1－ 2C0 k r k t 2 － 1 3！ C0 1－ C0 k 1－ 6C0 k ＋ 6C 2 0 k 2 r k t 3 ＋… 特别当米氏方程近似为浓度的线性函数（方程 （3））时由本文方法立即可以得到问题的解析解为： C＝C0＋C1＋C2＋C3＋…＝ C0－C0 r k t ＋ 1 2！ C0 r k t 2 － 1 3！ C0 r k t 3 ＋…＝ C0e － r k t 0≤t≤ T． 当要求出口浓度为 Ce 时Ce＝C0e － r k T 得到所 需要的最少时间为 T＝－ k r ln Ce C0 湿地床体长度为 L＝ TV ． 3 结论 本文研究了潜流式人工湿地污水处理反应器模 型的求解问题．利用 Adomain 解析拆分方法技巧 给出了当 Michaelis－Menten 方程（米氏方程）近似 为浓度的二次幂律非线性函数情况时的求解方法 成功得到了问题的近似解析解．本文所采用的方法 和技巧可以用来解决在 Michaelis－Menten 方程（米 氏方程）的泰勒展开公式中取更多项来近似或近似 为浓度的其他非线性函数情况． 参 考 文 献 ［1］ Cole S．The emergence of treatment wetlands． Environ Sci Technol199832（9）：218 ［2］ Kadlec R H．Overview：Surface flow constructed wetlands．Water Sci Technol199532（3）：1 ［3］ Kadlec R HKnight R L．T reatment Wetlands．New York： CRC Press Lewis Publishers1996 ［4］ Huang Z Y． Environment Hydrodynamics．Beijing：Science Press2006 （黄志勇．环境水利学．北京：科学出版社2006） ［5］ Xiao YYe JYang Det al．Research of application of Monod model in subsurface constructed wetland．Environ Technol2003（2）：21 （肖艳叶旌杨敦等．Monod 模型在潜流式人工湿地中的应 用探讨．环境技术2003（2）：21） ［6］ Yang C HZheng Z H．On the digital model on the dissolving organic matters by constructed wetland sewage disposal reactor．J North China Inst Water Conserv Hydroelectr Power200425（2）：66 （杨崇豪郑志宏．人工湿地污水处理反应器降解有机物的数 学模型．华北水利水电学院学报200425（2）：66） ［7］ Wang A PZhou Q．Study on wastewater treatment by constructed wetlands．Sichuan Environ200524（2）：76 （王爱萍周琪．人工湿地处理污水的研究．四川环境2005 24（2）：76） ［8］ Liu LLi D YCui G Bet al．Study of organic contaminant biodegradation in wetland system． Tech Equip Environ Pollut Control20023（2）：2 （刘凌李大勇崔广柏等．有机污染物湿地生物降解实验规 律研究．环境污染治理技术与设备20023（2）：2） ［9］ Zhang JZhou Q．Ecological kinetic models and methods of phosphorus cycle in free water surface constructed wetlands．Sichuan Environ200423（1）：88 （张军周琪．表面流人工湿地磷循环生态动力学模型及实现 方法．四川环境200423（1）：88） ［10］ Pan KYang S SChen Y．Advances in the research of constructed wetland wastewater treatment technology in China． Sichuan Environ200524（2）：71 （潘科杨顺生陈钰等．人工湿地污水处理技术在我国的发 展研究．四川环境200524（2）：71） ［11］ Adomian G．A review of the decomposition method in applied mathematics．Math A nal Appl1998135：501 ·716· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷