3.离散傅里叶级数(DFS) △1 令x(n) N ∑R(k)2=1(△(m)2 代入(3-11)式 ∑(m∑ jk(n-m) N 可以证明”=(02四+N △ X(n)=1∑X(k)lN=x(m) k=0 1ⅹ(k)e (3-13) N
− = = 1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N j X k e N x n （3-13） ( ) ~ ( ) ~ X k ⎯→ x n 3.离散傅里叶级数(DFS) 代入（3-11）式 − = = 1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N j X k e N x n △ 令 − = − = − = 1 0 1 2 0 2 ( ) ) ~ ( 1 N k kn N j N m km N j x m e e N 1 1 2 ( ) 0 0 1 ( ) N N j k n m N m k x m e N − − − = = = 可以证明 + = + = − = − − n m lN N n m lN e N K k n m N j 0 1 0 ( ) 2 ( ) ~ ( ) 1 ~ ( ) ~ 1 0 2 X k e x n N x n N k kn N j = = − = △
3.离散傅里叶级数(DFS) 结合(3-11)、(3-13)式, x(n)< DES X(K 为方便起见,令 △ 2丌 e →>W因子 DFS变换: X(k)=DFS[F(m)]=∑(m)形,k △ ()DN(小∑X(形
结合（3-11）、（3-13）式， ( ) ~ ( ) ~ x n X k DFS ⎯→ 因子 △ N N j WN =e ⎯→W − 2 为方便起见，令 DFS变换： − = = = 1 0 ( ) , ~ ( ) ~ ( ) ~ N n kn N X k DFS x n x n W k △ − = − = = 1 0 ( ) , 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ N k kn X k WN n N x n IDFS X k △ 3.离散傅里叶级数(DFS)
3.离散傅里叶级数(DFS) 、DFS的主要性质 1线性特性 迭加原理7(n)=a(n)+62(m) X, (k)=DFSax, (n)+bx,(n)]=aX, (k)+bX,(k) 2移位特性 (1)时域移位 若x(mn)>X(k,则(m+m)<D3WmX(k) 2)频域移位 若X(k)"3)xn.则X(k+1)<D3→Wmx(n)
二、DFS的主要性质 1.线性特性 迭加原理 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ x3 n = ax1 n +bx2 n ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 3 1 2 1 2 X k = DFS ax n +bx n = aX k +bX k 2.移位特性 （1）时域移位 ( ) ~ ( ) ~ ( ), ~ x(n) X k x n m W X k mk N DFS DFS ⎯→ − 若 ⎯→ 则 + （2）频域移位 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ), ~ X k x n X k l W x n nl N 若 IDFS ⎯→ 则 + IDFS ⎯→ 3.离散傅里叶级数(DFS)
3.离散傅里叶级数(DFS) 3周期卷积特性 (1)时域 vx(n)<,X1(k),x2(m)<>X2(k) 比较: X(k)=X1(k)x2(k) IDFS 个 x(n)= ∑x(m)2(n=m) 仅一个周期上 N ∑x(m)(n-=m) x(n)=x(n+M) x(n)⑧x2(m)→>周期卷积 时域周期卷积<)频域相乘
3.周期卷积特性 ( ) ~ ( ) ~ ( ), ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x n X k x n X k DFS ⎯→ DFS ⎯→ （1）时域 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 2 X k = X k X k IDFS − = = − 1 0 1 2 ( ) ~ ( ) ~ ( ) N m x n x n x n m − = = − 1 0 2 1 ( ) ~ ( ) ~ N m x n x n m ( ) ~ ( ) ~ = x1 n x2 n 周期卷积 比较： * + m=− − = 1 0 N m 仅一个周期上 ( ) ~ ( ) ~ x n = x n + N 时域周期卷积⎯→频域相乘 3.离散傅里叶级数(DFS)
X, (n) (n) 线性卷积 周期为3 LLLLLLL 周期为: X (n 周期卷积 Example 3. 1
1 x (n) 2 x (n) 1 x (n) 2 x (n) 1 x (n) 2 x (n) 周期为3 周期为5 线性卷积 周期卷积 周期卷积 Example 3.1