例1.求圆柱螺旋线x= Rcos o,y= Rsin g,z=k在 q=对应点处的切线方程和法平面方程 解:由于x'=- Rsin o,y'=Rcs,z=k,当=2时, 对应的切向量为T=(-R,0,k),故 M0(0,R,k) 切线方程 x R R 0 A 即 kx+rz-ZRk=o y-R=0 法平面方程-Rx+k(z-k)=0 即 Rx-kz+k=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k = 即 − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk 即 解: 由于 0 y − R k z k 2 − = (0, , ) 0 2 M R k 对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k = 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (−R, 0, k) , 故
2.曲线为一般式的情况 光滑曲线r:{F(x,y=)=0 G(x2y2z)=0 当J 0(2S)≠0时r可表示为() 0(F,G) 且有 z=y(x) ly 1 a(F,G dz 1 a(F,G d_d Ix a(z,x) dx j(x,y) 曲线上一点M(x02y,=)处的切向量为 T={1,y(x0),v'(xo)} IO(F,G 1a(F,G ⑦(=2,x)M (2(x,y)M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 当 0 ( , ) ( , ) = y z F G J = x y d d 曲线上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z , 且有 = x z d d , ( , ) 1 ( , ) z x F G J , ( , ) 1 ( , ) x y F G J 时, 可表示为 处的切向量为 = M x y M F G z x J F G J ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = 1,(x0 ),(x0 )
或7={a(F,O O(F,G 0(F,G (,x) (X 则在点M(x,y2=0)有 X-x 切线方程 y-yo a(F,G) aF,G OF,G) a(E,x)M a(x, y)m 法平面方程OF,G a(F, G X- 0) (y-y0) OFG (二-20)=0 z-20 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 0 0 x x y y z − z = − = − y z M F G ( , ) ( , ) 则在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 切线方程 法平面方程 有 y z M F G ( , ) ( , ) z x M F G ( , ) ( , ) x y M F G ( , ) ( , ) ( ) 0 x − x x y M F G ( , ) ( , ) + z x M F G ( , ) ( , ) + ( ) 0 y − y (z − z0 ) = 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = M M x y M F G z x F G y z F G T ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
法平面方程 0(2)(x-1)O(F,G),/(y-y0) a(F,G a(z,x)M a(F, G) r(-=0)=0 a(x, y)M 也可表为 0y-y0 0 F(M)F(M)F(M)|=0 Gr(M G,(M) G(M HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = − − − G M G M G M F M F M F M x x y y z z x y z x y z 也可表为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 y y z x M F G x x y z M F G − − + 法平面方程 ( ) 0 ( , ) ( , ) − 0 = + z z x y M F G 机动 目录 上页 下页 返回 结束