合并以上三式得: OP,aQ,aR、 = Pdydz odzdx rdxdy 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 oP 00 OR I(P cos a+2cos B+Rcos y)dS. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系
合并以上三式得： = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 ( cos cos cos ) . ( ) = + + + + P Q R dS dv z R y Q x P Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系
注 。若!不满足上述条件,可以引进若干张辅助曲面 将2分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等,而符号相反,相加时正好抵消,因此上述公 式对这样的区域也成立, 故一般地 OP,oQ,OR、 ddr+a+odv=f Pdydz +odzdx+Rdxdy
注 不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面 将 分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 故一般地 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 1。 若
2。公式成立的条件 (1)∑-封闭曲面 (2)∑-方向取外侧 oP O0 OR 连续 ax ay a 根据 Gauss公式,用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的,但 Gauss公式同时也说明,可用 曲面积分来计算三重积分
2。公式成立的条件 (1) − 封闭曲面 (2) −方向取外侧连续 z R y Q x P (3) , , 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分
二、简单的应用 例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面x=0,3=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0 R=x J aP OR ax ay a
例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. 解 x o z y 1 1 3 , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − = 二、简单的应用 , 0, = 0, = = − z R y Q y z x P
原式=∫(y-z)ddtz(利用柱面坐标得) l(rsin 8-zrdrdedz 9兀 2 例2计算曲面积分 x2cosa+y2cos+z2cosy)ds,其中∑为 锥面x2+y2=x2介于平面 =0及=h(h>0) 之间的部分的下侧, cos a, cos B, COS Y y 是Σ在(x,y,x)处 的法向量的方向余弦
原式 = ( y − z)dxdydz (利用柱面坐标得) = (rsin − z)rdrddz . 2 9 = − 例 2 计算曲面积分 (x cos y cos z cos )ds 2 2 2 + + ,其中Σ为 锥 面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0及z = h(h 0) 之间的部分的下侧, cos,cos,cos 是Σ在(x, y,z)处 的法向量的方向余弦. x y z o h