三、奇函数与偶函数 定义函数f(x)定义在数集A若Vx∈A,有-x∈A,且 1.1雨越 s1.3 f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x) 第二章极限 22收敏数列 则称函数f(x)是奇函数（偶函数）， 如果(o,6)在奇函数y=f(x)的图像上，即0=f(x0),则 访问主页 标题页 f(-x0)=-f(zo）=-0, 炒 即(-x0,一0)也在奇函数y=f(x)的图像上.于是，奇函数的图像关于原点 第32页共513页 对称. 返回 同理可知，偶函数的图像关于y轴对称 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 32 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦Û➻ê❺ó➻ê ➼➶ ➻ê f(x) ➼➶✸ê✽A.❡∀ x ∈ A,❦−x ∈ A,❹ f(−x) = −f(x) (f(−x) = f(x)), ❑→➻ê f(x) ➫Û➻ê(ó➻ê). ❳❏(x0, y0)✸Û➻ê y = f(x) ✛ã➈þ,❂ y0 = f(x0) ,❑ f(−x0) = −f(x0) = −y0, ❂(−x0, −y0)➃✸Û➻ê y = f(x) ✛ã➈þ.✉➫,Û➻ê✛ã➈✬✉✝✿ é→. Ó♥➀⑧,ó➻ê✛ã➈✬✉y➯é→
例9.正弦函数y=sinx是奇函数（如图1.8）：余弦函数y=cosx是偶函 数（如图1.9） 事实上，Hx∈R,有-x∈R,且 多11雨数 s1.3 sin(-x)=-sinz cos(-)=cosa. 第二设极服 $22收敛数列 例10.个正弦函数y=arcsin:是奇函数（如图1.14）：个正切函数y= 访问主页 arctanz也是奇函数（如图1.l0). 标题页 事实上，x∈[-1,1，有-x∈[-1,1，且 外 arcsin(-x)=-arcsin x. 第33页共513页 Vx∈R,有-x∈R,且 返回 全屏显示 arctan(-x)=-arctan x. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 33 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦9. ✔✉➻êy = sin x➫Û➻ê(❳ã1.8);④✉➻êy = cos x➫ó➻ ê(❳ã1.9). ➥➣þ,∀ x ∈ R,❦−x ∈ R,❹ sin(−x) = − sin x ❺ cos(−x) = cos x. ⑦10. ❻✔✉➻êy = arcsin x➫Û➻ê(❳ã1.14);❻✔❷➻êy = arctan x➃➫Û➻ê(❳ã1.10). ➥➣þ,∀ x ∈ [−1, 1],❦−x ∈ [−1, 1],❹ arcsin(−x) = − arcsin x. ∀ x ∈ R,❦−x ∈ R,❹ arctan(−x) = − arctan x
例11. y=x 1.1) 1.1雨越 s1.3 第二章极限 $22收敏数列 0 访问主页 了(-1，-1) 标题页 1.16 炒 一函数y=x2k是偶函数（如图1.16）：=x2+1是奇函数（如图1.16），其中k是 自然数. 第34页共513页 事实上，Vx∈R,有-x∈R,且 返回 (-x)2=x2k 全屏显示 关闭 与 (-x)2k+1=-x2k+1 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 34 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦11. ➌➻êy = x 2k➫ó➻ê(❳ã1.16);y = x 2k+1➫Û➻ê(❳ã1.16),Ù➙k➫ ❣✱ê. ➥➣þ,∀ x ∈ R,❦−x ∈ R,❹ (−x) 2k = x 2k , ❺ (−x) 2k+1 = −x 2k+1
四、周期函数 定义设函数f(x)定义在数集A.若3l>0,Hx∈A,有x士1∈A,且 f(x士)=f(x) 则称函数f(x)是周期函数，l称为函数f(x)的一个周期 11雨数 若1是函数f(x)的周期，则21也是它的周期事实上， s1.3 第二章极服 22 收敛数列 f(x+21)=f(x+1+)=f(x+)=f(x) =f(x-)=f(x-1-)=f(x-2): 访问主页 标题页 不难用归纳法证明，若1是函数f(x)的周期，则nl(n是正整数)也是它的周 期若函数f(x)有最小的正周期，通例将这个最小正周期称为函数f(x)的 第35页共513页 究本周期，简称周期， 返回 描绘周期函数的图像，只要在一个周期长的区间上描出函数的图像然 全屏显示 后将此图像一个周期一个周期向左、右平移，就得到些整个周期函数的图 关闭 像 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 35 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♦✦➧Ï➻ê ➼➶ ✗➻ê f(x) ➼➶✸ê✽A.❡∃ l > 0, ∀ x ∈ A,❦x ± l ∈ A,❹ f(x ± l) = f(x), ❑→➻ê f(x) ➫➧Ï➻ê, l→➃➻ê f(x) ✛➌❻➧Ï. ❡ l➫➻ê f(x) ✛➧Ï,❑ 2l➃➫➜✛➧Ï.➥➣þ, f(x + 2l) =f(x + l + l) = f(x + l) = f(x) =f(x − l) = f(x − l − l) = f(x − 2l). Ø❏❫✽❇④②➨,❡ l➫➻ê f(x) ✛➧Ï,❑ nl(n➫✔✒ê)➃➫➜✛➧ Ï.❡➻ê f(x) ❦⑩✂✛✔➧Ï,Ï⑦òù❻⑩✂✔➧Ï→➃➻ê f(x) ✛ ➘✢➧Ï,④→➧Ï. ↔➧➧Ï➻ê✛ã➈,➄❻✸➌❻➧Ï⑧✛➠♠þ↔Ñ➻ê✛ã➈.✱ ò❞ã➈➌❻➧Ï➌❻➧Ï➉❺✦♠➨↔,Ò✚✔✡✒❻➧Ï➻ê✛ã ➈
例12.正弦函数y=sinx是与简弦函数y=cosx都是以2π为周期的周期 函数（如图1.8与图1.9） 事实上，Hx∈R,有x士2π∈R,且 sin(x土2π)=sinx与cos(x土2π)=cosx. 1.1雨数 例13.正切函数y=tanx是与简切函数y=cotx都是以π为周期的周期 s1.3. 第二章极限 函数（如图1.17与图1.18）. $22收敛数列 访问主页 标题页 第36页共513页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 36 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦12. ✔✉➻êy = sin x➫❺④✉➻êy = cos xÑ➫➧2π➃➧Ï✛➧Ï ➻ê(❳ã1.8❺ã1.9). ➥➣þ,∀ x ∈ R,❦x ± 2π ∈ R,❹ sin(x ± 2π) = sin x ❺ cos(x ± 2π) = cos x. ⑦13. ✔❷➻êy = tan x➫❺④❷➻êy = cot xÑ➫➧π➃➧Ï✛➧Ï ➻ê(❳ã1.17❺ã1.18)