事实上，x∈R-{km+k∈2，有x士π∈R-{km+引k∈2}，且 多11雨数 tan(x土π)=tanx. s1.3 第二设极 Hx∈R-{kxk∈Z,有x士π∈R-{kπk∈Z,且 22收敏数列 cot(x士π)=cotx. 访问主页 例14.函数y={x}是以1为周期的周期函数（如图1.4）. 标题页 事实上，x∈R,有x士∈R,且 外 {x-1}=(x-1)-[x-1刂=x-1-[+1=x-[={x}, {x+1}=(+1)-[x+1刂=x+1-1=x-[可={x}, 第37页共513页列 即 {x-1}={}. 返回 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 37 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➥➣þ,∀ x ∈ R − n kπ + π 2 |k ∈ Z o ,❦x ± π ∈ R − n kπ + π 2 |k ∈ Z o ,❹ tan(x ± π) = tan x. ∀ x ∈ R − {kπ|k ∈ Z},❦x ± π ∈ R − {kπ|k ∈ Z},❹ cot(x ± π) = cot x. ⑦14. ➻êy = {x}➫➧1➃➧Ï✛➧Ï➻ê(❳ã1.4). ➥➣þ,∀ x ∈ R,❦x± ∈ R o ,❹ {x − 1} = (x − 1) − [x − 1] = x − 1 − [x] + 1 = x − [x] = {x}, {x + 1} = (x + 1) − [x + 1] = x + 1 − [x] − 1 = x − [x] = {x}, ❂ {x − 1} = {x}
2 S1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 由两要或两要以上的函数用所谓“中间变数”传递的方法能生成新的 函数例如，函数 11雨越 s1.3 第二章极限」 22做敛数列 z=ny与y=x-1. 由“中间变数”y的传递生成新函数 访问主页 标题页 z=ln(x-1). 炒 在这里，z是y的函数，y又是x的函数.于是通过中间变数y的传递得 第38页共513页 到z是x的函数.为了使函数z=y有意义，必须个求y>0,为了使函 返回 数y=x-1>0,必须个求x>1.仅对y=x-1来说，x可取任意实数.但 全屏显示 是，对生成的新函数z=ln(x-1)来说，必须个求x>1. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 38 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 §1.3 ❊Ü➻ê❺❻➻ê ➌✦❊Ü➻ê ❞ü❻➼ü❻➧þ✛➻ê❫↕➣✴➙♠❈ê✵❉✹✛➄④❯✮↕★✛ ➻ê.⑦❳,➻ê z = ln y ❺ y = x − 1. ❞✴➙♠❈ê✵ y✛❉✹✮↕★➻ê z = ln(x − 1). ✸ ù ♣,z➫y✛ ➻ ê,yq ➫x✛ ➻ ê.✉ ➫ Ï ▲ ➙ ♠ ❈ êy✛ ❉ ✹ ✚ ✔z➫x✛➻ê.➃✡➛➻êz = ln y❦➾➶,✼▲❻➛y > 0,➃✡➛➻ êy = x − 1 > 0,✼▲❻➛x > 1.❂éy = x − 1✺❵,x➀✒❄➾➣ê.✂ ➫,é✮↕✛★➻êz = ln(x − 1)✺❵,✼▲❻➛x > 1
定义函数之=f()定义在数集B,函数则=(x)定义在数集A,G是A中 使)=p(x)∈B的x的非空子集（如图1.19），即 多11雨数 G={xx∈A,p(x)∈B}≠O s1.3 第二章极限 $22收敛数列 x∈G,按照对应关系，对应唯一一反y∈B,再按照对应关系f,对应唯 一一反（如图1.19），即Vx∈G都对应唯一一反x.于是在G上定义了一反函 访问主页 数，表为fop,称为函数y=p(x)与函数z=f(y)的复合函数，即 标题页 (fop)(a)=fp(x小，x∈G, y称为中间变数（如图1.20）.今后经常将函数则=p(x)与函数z=f(y)的复合 第39页共513贝 返回 函数表为 全屏显示 z=f[p(x)],x∈G. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 39 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ ➻êz = f(y)➼➶✸ê✽B,➻êy = ϕ(x)➼➶✸ê✽A,G➫A➙ ➛y = ϕ(x) ∈ B✛x✛➎➌❢✽(❳ã1.19),❂ G = {x|x ∈ A, ϕ(x) ∈ B} 6= Ø. ∀x ∈ G,❯ìé❆✬❳ϕ,é❆➁➌➌❻y ∈ B,✷❯ìé❆✬❳f,é❆➁ ➌➌❻z(❳ã1.19),❂∀x ∈ GÑé❆➁➌➌❻z.✉➫✸Gþ➼➶✡➌❻➻ ê,▲➃f ◦ ϕ,→➃➻êy = ϕ(x)❺➻êz = f(y)✛❊Ü➻ê,❂ (f ◦ ϕ)(x) = f[ϕ(x)], x ∈ G, y→➃➙♠❈ê(❳ã1.20).✽➨⑦ò➻êy = ϕ(x)❺➻êz = f(y)✛❊Ü ➻ê▲➃ z = f[ϕ(x)], x ∈ G
例如，函数z=√y的定义域是区间0，+∞).函数 y=(x-1)(2-x) 的定义域是R.为了使其生成复合函数，必须要求 y=(x-1)(2-x)≥0，即1≤x≤2. s1.3 第二章极限 于是，x∈[1,2，函数y=(x-1)(2-x)与z=V√g生成了复合函数 $22收敛数列 z=V(x-1)(2-x) 访问主页 标题页 炒 第40页共513页 X∈G 返回 () 全屏显示 f() 关闭 、z=f八o(ar】 退出 1.19 图 1.20
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 40 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳,➻êz = √ y ✛➼➶➁➫➠♠[0,+∞).➻ê y = (x − 1)(2 − x) ✛➼➶➁➫R.➃✡➛Ù✮↕❊Ü➻ê,✼▲❻➛ y = (x − 1)(2 − x) > 0,❂1 6 x 6 2. ✉➫,∀x ∈ [1, 2],➻êy = (x − 1)(2 − x)❺z = √ y ✮↕✡❊Ü➻ê z = p (x − 1)(2 − x)
例如，质量为m的物体自由下落.已知速度v是时间t的函数v=gt,动 能E是速度u的函数E=mv2.于是，通过中间变量u,动能E就是时间t的函 数，即 多11雨数 s1.3 2mg2, 第二章极服 $22收敛数列 其中，其中g是重力加速度，是常数 以上是两个函数生成的复合函数不难将复合函数概念推广到有限个函 访问主页 数生成的复合函数.例如，三个函数 标题页 外 u=Vz,z=Iny,y=2x+3 第41页共513页 生成的复合函数是 返回 全屏显示 u=Vn(2x+3,x∈[-1，+oo), 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 41 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳,➓þ➃m✛Ô◆❣❞❡á.➤⑧❸Ýv➫➒♠t✛➻êv = gt,➘ ❯E➫❸Ýv✛➻êE = 1 2 mv2 .✉➫,Ï▲➙♠❈þv,➘❯EÒ➫➒♠t✛➻ ê,❂ E = 1 2 mv2 = 1 2 mg2 t 2 , Ù➙,Ù➙ g ➫➢å❭❸Ý,➫⑦ê. ➧þ➫ü❻➻ê✮↕✛❊Ü➻ê.Ø❏ò❊Ü➻ê❱❣í✷✔❦⑩❻➻ ê✮↕✛❊Ü➻ê.⑦❳,♥❻➻ê u = √ z, z = ln y, y = 2x + 3 ✮↕✛❊Ü➻ê➫ u = p ln(2x + 3), x ∈ [−1, +∞)