3.“Vx>0,对应则=1x=0对应y=0,x<0,对应则=-1.”显 然，Hx∈R都对应唯一一个y这是一个函数（如图1.5），表为y=sgnx,即 x>0, x=0, x<0. 多11雨数 s1.3 第二章极服 22收敛数列 1 访问主页 标题页 图 1.5 第17页共513页 因为Vx∈R,总有 返回 ll=xsgn 全屏显示 所以sgna起了x符号的作用.因此，这个函数成为符号函数. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 17 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3.✴∀ x > 0,é❆y = 1;x = 0é❆y = 0;∀ x < 0,é❆y = −1.✵✇ ✱,∀ x ∈ RÑé❆➁➌➌❻y.ù➫➌❻➻ê(❳ã1.5),▲➃y=sgn x,❂ y = 1, x > 0, 0, x = 0, −1, x < 0. Ï➃∀ x ∈ R,♦❦ |x| = xsgn x, ↕➧sgnxå✡x❰Ò✛❾❫.Ï❞,ù❻➻ê↕➃❰Ò➻ê
4.地当x是有理数时，对应y=1;当x是无理数时，对应y=0.”显然，/x∈ R都对应唯一一个y.这是一个函数，表为y=D(x),即 y=D(x 1, x是有理数 0 x是无理数 1.1雨越 s1.3 第二章极限 522 收敏数列 (1,x是有理数 访问主页 D(x)= 0，x是无理数 标题页 图 1.6 第18页共513页 返回 全屏显示 这个函数称为狄利克雷函数（如图1.6）.因为数轴上有理点与无理点都是稠 关闭 密的，所以它的图像不能在数轴上准确地描绘出来.图1.6是示意图 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 18 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 4.✴✟ x➫❦♥ê➒,é❆y = 1;✟ x➫➹♥ê➒,é❆y = 0.✵✇✱,∀ x ∈ RÑé❆➁➌➌❻y.ù➫➌❻➻ê,▲➃y = D(x),❂ y = D(x) = ( 1, x➫❦♥ê, 0, x➫➹♥ê. ù❻➻ê→➃✮⑤➂❳➻ê(❳ã1.6).Ï➃ê➯þ❦♥✿❺➹♥✿Ñ➫➮ ➋✛,↕➧➜✛ã➈Ø❯✸ê➯þ❖✭✴↔➧Ñ✺.ã1.6➫➠➾ã
四、数列 数列是一类特殊的函数，并且是一类很有用的函数 定义定义在正整数集N+上的函数f(x)称为数列 s1.3 第二章极 Vn∈N+,设f(n)=an.因为正整数能够按大小顺序排列起来，所以数列 22 收敛数列 的值域{ann∈N+}中的数也能够相应地按照正整数n的顺序排列起来，即 访问主页 a1,a2,a3,·,an,· (1) 标题页 an称为数列(I)的第n项或通项将数列(l)简单地表为{an.自变数n与其 函数值（因变数）am之间的对应关如f如下表 第19页共513页 自变数123456·10· 100 1000 返回 函数值a1a2a3a4a5a6 ··010 a100 a1000 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 19 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♦✦ê✎ ê✎➫➌❛❆Ï✛➻ê➜➾❹➫➌❛é❦❫✛➻ê. ➼➶ ➼➶✸✔✒ê✽N+þ✛➻êf(x)→➃ê✎. ∀ n ∈ N+,✗f(n) = an.Ï➃✔✒ê❯✡❯➀✂❫❙ü✎å✺,↕➧ê✎ ✛❾➁{an|n ∈ N+}➙✛ê➃❯✡❷❆✴❯ì✔✒ên✛❫❙ü✎å✺,❂ a1, a2, a3, · · · , an, · · · (1) an →➃ê✎(1)✛✶ n ➅➼Ï➅.òê✎(1)④ü✴▲➃{an}.❣❈ê n ❺Ù ➻ê❾(Ï❈ê) an ❷♠✛é❆✬❳ f ❳❡▲: ❣❈ê 1 2 3 4 5 6 · · · 10 · · · 100 · · · 1000 · · · ➻ê❾ a1 a2 a3 a4 a5 a6 · · · a10 · · · a100 · · · a1000 · · ·
数别之例： 123 4 2. {n} 1.1雨数 234151 n+1,. s1.3 111 (-1)n 第二章极限 -1,2,34 522 收敛数列 4.3 1+(-1)+1 2 :1,0,1,0., 1+(-1)+1 2 访问主页 5.{n}:1l,2,3,4,.,n,. 标题页 6.V2的不足近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001，.的数则是 炒 1,1.4,1.414,1.4142,1.41421,. 第20页共513页 返回 若Vk∈N+,有ak+1-a=d(常数)，a1=a,则称数别{an}是等差数别，d为 全屏显示 公差.于是，公差为d的数列是 关闭 退出 a,a+d,a+2d,.,a+(m-1)d
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 20 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ê✎❷⑦: 1. n 1 n o : 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , · · · , 1 n , · · · 2. n n n + 1 o : 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , · · · , n n + 1 , · · · 3. n(−1)n n o : −1, 1 2 , − 1 3 , 1 4 , · · · , (−1)n n , · · · 4. n1 + (−1)n+1 2 o : 1, 0, 1, 0, · · · , 1 + (−1)n+1 2 , · · · 5. {n!} : 1!, 2!, 3!, 4!, · · · , n!, · · · 6. √ 2 ✛Ø✈❈q❾,➦✭✔1, 0.1, 0.01, 0.001, · · ·✛ê✎➫ 1, 1.4, 1.414, 1.4142, 1.41421, · · · ❡∀ k ∈ N+,❦ak+1 − ak = d(⑦ê),a1 = a,❑→ê✎{an}➫✤☛ê✎,d➃ ú☛.✉➫,ú☛➃d✛ê✎➫ a, a + d, a + 2d, · · · , a + (n − 1)d, · · ·
61.2 四类具有特殊性质的函数 “函数f(x)定义在数集A”与“函数f(x)在数集A有定义”，这两 句话是有不同含意的通常人们认为，前者是指数集A是函数f(x)的定义 多11雨数 s1.3 域；后者是指数集A是函数f(x)的定义域的子集，后者可能是前者。 第二章极限 $22收敛数列 一、有界函数 访问主页 标题页 定义设函数f(x)在数集A有定义若函数值的集合 f(A)={f()x∈A} 第21页共513页 返回 有上界（有下界、有界），则称函数f(x)在A有上界（有下界、有界），否则称 全屏显示 函数f(x)在A无上界（无下界、无界）. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 21 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ §1.2 ♦❛ä❦❆Ï✺➓✛➻ê ✴ ➻ êf(x)➼ ➶ ✸ ê ✽A✵ ❺ ✴ ➻ êf(x)✸ ê ✽A❦ ➼ ➶ ✵,ù ü é④➫❦ØÓ➵➾✛.Ï⑦❁❶❅➃,❝ö➫➁ê✽A➫➻êf(x)✛➼➶ ➁;ö➫➁ê✽A➫➻êf(x)✛➼➶➁✛❢✽,ö➀❯➫❝ö. ➌✦❦✳➻ê ➼➶ ✗➻ê f(x) ✸ê✽A❦➼➶.❡➻ê❾✛✽Ü f(A) = {f(x)|x ∈ A} ❦þ✳(❦❡✳✦❦✳),❑→➻ê f(x) ✸A❦þ✳(❦❡✳✦❦✳),➘❑→ ➻ê f(x) ✸A➹þ✳(➹❡✳✦➹✳)