例如，函数fz)=x,x∈R;g(x)=x(sinx+cos2x),x∈R.有相同的定 义域R.尽管这两个函数的解析式不同，但是xinR,有 x =x(sin2x+cos2 x), 1.1雨越 s1.3. 于是，函数f(x)=x与g(z)=x(sin2x+cos2x)相等 第二章极限 $22收敏数列 例如，函数fa)=工+1，x∈R:g(回)=，x∈R-{.尽管这两个函 数，x∈R-{1}有 访问主页 x+1= x2-1 x-11 标题页 但是这两个函数定义域不相等.于是，这两个函数不相等 炒 例如，函数f(a)=n(1-x),x∈(-o∞，1)g(x)=V1-x2,x∈[-1,1： 第12页共513页 (-∞，1)n[-1,1=[-1,1) 返回 全屏显示 (-∞，1)n[-1,1-{xlg(x)=0}=[-1,1)-{-1,1 关闭 =(-1,1) 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳,➻êf(x) = x, x ∈ R;g(x) = x(sin2 x + cos2 x), x ∈ R.❦❷Ó✛➼ ➶➁R.➛✰ùü❻➻ê✛✮Û➟ØÓ,✂➫∀xinR,❦ x = x(sin2 x + cos2 x), ✉➫,➻êf(x) = x❺g(x) = x(sin2 x + cos2 x)❷✤. ⑦❳,➻êf(x) = x + 1, x ∈ R;g(x) = x 2−1 x−1 , x ∈ R − {1}.➛✰ùü❻➻ ê,∀x ∈ R − {1}❦ x + 1 = x 2 − 1 x − 1 , ✂➫ùü❻➻ê➼➶➁Ø❷✤.✉➫,ùü❻➻êØ❷✤. ⑦❳,➻êf(x) = ln(1 − x), x ∈ (−∞, 1);g(x) = √ 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1]. (−∞, 1) ∩ [−1, 1] =[−1, 1) (−∞, 1) ∩ [−1, 1] − {x|g(x) = 0} =[−1, 1) − {−1, 1} =(−1, 1)
于是，函数∫与g的和、差、积、商分别是 (f+g(a)=n(1-x)+V1-x2, x∈[-1,1) 多11雨数 s1.3 (f-g)(x)=ln(1-x)-V1-x2, x∈[-1,1) 第二设极服 $22收敛数列 (fg)(z)=V1-x2n(1-x), x∈[-1,1) In(1-x) V1-x2 x∈[-1,1) 访问主页 标题页 例如，函数f(x)=x自乘n次，再乘以常数c,就是幂函数f(x)=cx”,它 的定义域是R有限多个幂函数的和就是多项式函数（按降幂排列） 第13页共513页 Pn(x)=aoz"alzm-1+.:.+an-1x+an; x∈R, 返回 其中n∈N,a0,a1,·,an都是常数，且a0≠0. 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✉➫➜➻ê f ❺ g ✛Ú✦☛✦➮✦û➞❖➫ (f + g)(x) = ln(1 − x) + p 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1) (f − g)(x) = ln(1 − x) − p 1 − x 2 , x ∈ [−1, 1) (fg)(x) = p 1 − x 2 ln(1 − x), x ∈ [−1, 1) f g (x) = ln(1 − x) √ 1 − x 2 x ∈ [−1, 1) ⑦❳,➻ê f(x) = x ❣➛ n ❣➜✷➛➧⑦ê c ,Ò➫➌➻êf(x) = cxn ,➜ ✛➼➶➁➫R.❦⑩õ❻➌➻ê✛ÚÒ➫õ➅➟➻ê(❯ü➌ü✎) Pn(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an, x ∈ R, Ù➙n ∈ N, a0, a1, · · · , anÑ➫⑦ê,❹a0 6= 0
三、函数的图像 函数的图像能将函数的几析性态表现接十分明显.即使对那些能用解析 式表示的函数，为了对它有个直观形象的了解，也常常将它的图像描绘都 来。 1.1雨数 s1.3 设函数y=f(x)定义在数集A.坐标平面上的点集 第二章极限 522 收敏数列 G(f)={(x,)川z∈A,y=f(x)} 访问主页 称为函数y=f(x)在数集A上的图像，简称函数y=f(x)的图像.显然，坐 标题页 标平面上的一个点集G是某个函数图像的必要充分条件是，平行y轴的每 炒 条直线与点集G至多有一个交点 第14页共513页 有些特殊的函数并不是用解析式给都的，其对应关着是用“一联话”给 返回 都的，用特定的符号予以表示，然后再描绘它的图像，函数的几析性态可一 全屏显示 目了然常如 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦➻ê✛ã➈ ➻ê✛ã➈❯ò➻ê✛❆Û✺✕▲②✚➏➞➨✇.❂➛é❅✡❯❫✮Û ➟▲➠✛➻ê,➃✡é➜❦❻❺✯✴➊✛✡✮,➃⑦⑦ò➜✛ã➈↔➧Ñ ✺. ✗➻ê y = f(x) ➼➶✸ê✽A.❿■➨→þ✛✿✽ G(f) = {(x, y)|x ∈ A , y = f(x)} →➃➻ê y = f(x) ✸ê✽Aþ✛ã➈,④→➻ê y = f(x) ✛ã➈.✇✱,❿ ■➨→þ✛➌❻✿✽G➫✱❻➻êã➈✛✼❻➾➞❫❻➫,➨✶ y ➯✛③ ❫❺❶❺✿✽G➊õ❦➌❻✂✿. ❦✡❆Ï✛➻ê➾Ø➫❫✮Û➟❽Ñ✛,Ùé❆✬❳➫❫✴➌é④✵❽ Ñ✛,❫❆➼✛❰Ò❷➧▲➠,✱✷↔➧➜✛ã➈,➻ê✛❆Û✺✕➀➌ ✽✡✱.⑦❳
1.“Hx∈R,对应的y是不个过x的限大整数.”显然，x∈R都对应唯一 一个y这是一个函数（如图1.3），表为y=[,即 [2.5=2,3]=3,[0]=0,【-m=-4 多1.1雨数 s1.3 第二章极限 $22收敛数列 3 2 访问主页 1 标题页 -4-3-2 -2 第5页共513页 -3 返回 图 1.3 全屏显示 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 15 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1.✴∀ x ∈ R,é❆✛y➫Ø❻▲x✛⑩➀✒ê.✵✇✱,∀x ∈ RÑé❆➁➌ ➌❻y.ù➫➌❻➻ê(❳ã1.3),▲➃y = [x],❂ [2.5] = 2, [3] = 3, [0] = 0, [−π] = −4
2.“Vx∈R,对应的=x-[z.”这是一超函数（系图1.4），表为y= 1.1雨数 s1.3 第二章极限 $22收敏数列 -2 -1 1 23 访问主页 标题页 图 1.4 炒 {x,即 第16页共513页 {2.5}=2.5-2.5]=2.5-2=0.5. 返回 {5}=5-[51=5-5=0. 全屏显示 {-3.14}=-3.14-[-3.14=-3.14-(-4)=0.86. 关闭 退出
❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 16 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2.✴∀ x ∈ R,é❆✛y = x − [x].✵ù➫➌❻➻ê(❳ã1.4),▲➃y = {x},❂ {2.5} = 2.5 − [2.5] = 2.5 − 2 = 0.5. {5} = 5 − [5] = 5 − 5 = 0. {−3.14} = −3.14 − [−3.14] = −3.14 − (−4) = 0.86