非n月-形小形小a引 -同-0明 -成得+月 k小g月听层剖) 四层g会月 层g割 (e)正=r2·p2-Gp+irp 其中 p-mp=咖是 因而 rp+器+2别 以之左乘上式各项，即得 P-E- 【123】设有矩阵A,B,C,S等，证明 det(B)=det()-det(B).det(S-45)=detA Tr(AB)=Tr(BA).Tr(S-AS)=TrA,Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(CAB)
31 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ ∂ ∂ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − ∇ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∇ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + ⋅ r r i r r i r i r r r r i r i r r r r i r r i r i r p r r r r p i r r p r r r r p p r r b p 1 3 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 r h h h h h h h h h ( ) [ ] h h h h h i r r r i r r r r i r r i r r r c r p i r r ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − ∂ ∂ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ = − 1 , 1 , , ( ) ( ) 2 2 2 1 b r r d pr ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = −h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − 2 2 2 2 1 1 1 r r r r r r h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − r r r r r r r r r r 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 2 2 1 h ( ) e L = r ⋅ p − (r ⋅ p) + ihr ⋅ p 2 2 2 2 . 其中 r r p i r i r ∂ ∂ ⋅ = − h ⋅∇ = − h ， 因而 r r r r r L r p r ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = + 2 2 2 2 2 h h ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + r r r r p r 2 2 2 2 2 2 2 h 以 −2 r 左乘上式各项，即得 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − r r r L r p 1 2 2 2 2 2 2 2 h = 2 2 2 1 r L p r + 【1.23】设有矩阵 A, B,C, S 等，证明 det( ) () () AB = det A ⋅ det B ，det(S AS) det A 1 = − ， Tr( ) () AB = Tr BA ，Tr(S AS ) = TrA −1 ，Tr(ABC) = Tr(BCA) = Tr(CAB)
dtA表示矩阵A相应的行列式得值，TA代表矩阵A的对角元素之和。 detA=∑P6…nhwa…a 证：(1)由定义 「1当6…in是…n)的偶置换 P…in)=-1当，…in是(…n)的奇置换 0其他情形 detA=∑P6…in)）PU,jna…ah 故上式可写成： 其中0…j)是…n)的任意一个置换。 detc-det)CC =PkEaabsa,b ,%a-g6a… =PUAaoEtWhbs =det A.det B (2)det)=dets-det AdetS=detsdets.det =det(S-s).det4=detA (3) aB)=∑oe=∑beas=B (4)T-AS=TrS-'(4s=r【4S)s-]=Tr(4Ss-）=TA TH(ABC)->obc-bc,-Tr(BCA)-ca,b -Tr(CAB) (5) 【1.24】若5为任意一个么正算符，4与B为任意厄米算符，且Alp）-a.9。>,证明。 (SAS)S"lo)=as"lo) sABS=F6,丽 Tr(S*AS)=TrA deu(SA5)=dstA 证明用5从左作用算符A满足的本征方程，得到 32
32 det A表示矩阵 A 相应的行列式得值，TrA 代表矩阵 A 的对角元素之和。 证：（1）由定义 ( ) n n i i ni i i A P i Lin a a La L 1 2 1 det = ∑ 1 1 2 ， ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − 0 1 1 1 1 1 1 1 其他情形 当 是 的奇置换 当 是 的偶置换 i i n i i n P i i n n n L L L L L 故上式可写成： ( ) ( ) n n n j i j i j i i i A P i Lin P j L jn a a La L 1 1 2 2 1 det = ∑ 1 1 ， 其中( ) n j L j 1 是( ) 1Ln 的任意一个置换。 () ( ) n n i i ni i i C AB P i Lin C C LC L 1 2 1 det det 1 1 2 ∴ = = ∑ = ∑ ∑ ( ) n n n n n i j i j n a j bj i a j bj i anj bj i P i i L L L L 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 ∑ ∑ ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n n j i j i j j nj n j i j i j i a a a P i i b b b L L L L L 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ∑ ∑ ( ) ( )( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = n n n n n j i j i n j j nj n n j i j i j i P j j a a a P i i P j j b b b L L L L L L L 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 = det A⋅ det B （2）det(S AS) det S det A det S det S det S det A 1 1 1 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − − − det(S S) det A det A 1 = ⋅ = − （3） Tr( ) AB a b b a Tr(BA) ik ki ik ik = ∑ ik ki = ∑ = （4）Tr(S AS) = Tr[S ( ) AS ] = Tr[(AS)S ] = Tr(ASS ) = TrA −1 −1 −1 −1 （5） Tr( ) ABC a b c b c a Tr(BCA) () c aijbjk Tr CAB ijk ij ki ijk jk ki ijk = ∑ ij jk ki = ∑ = = ∑ = 【1.24】若 sˆ 为任意一个幺正算符， Aˆ 与 Bˆ 为任意厄米算符，且 Aˆ ϕn =a n |ϕn >,证明。 [ ][ ] S AS dstA Tr S AS TrA S A B S S AS S BS S AS S n anS n ˆ ) ˆ ˆ ˆ det( ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( = = = = + + + + + + + + ϕ ϕ 证明 用 sˆ 从左作用算符 Aˆ 满足的本征方程，得到
s4e)=a5lp） 1 利用么正算符的性质 5=$3=1 (2 可知 (4slp）=a5lp》 上式表明，么正变换不改变算符的本征值。 同理可知，变换不改变算符对易关系为 [S'AS.S'BS]=S*ASS'BS-S"BSS*AS= (4 S'ABS-S'BAS=SLA.BIS 上式表明，么正变换不改变算符之间的对易关系。 由阵迹的性质与封闭关系可知，变换后的算符的阵迹为 ra=∑sam）= ∑s∑k4∑水m） ΣΣΣsX4》= ΣΣs4)=Σ∑4)= ∑4）=a (5) 上式表明，正么变换不改变符的阵迹。 由行列式的性质可知 det()=det AdetB (6) 于是有 det(55)=det s"det AdetB= dets*detSdet=det(S5)det=det 9 上式表明，么正变换不改变算符行列式的值。 【125】若两个互不对易的算符A与B皆与它们的对易子C=[A创对易，则有
33 S Aϕn anS ϕn + + = ˆ ˆ ˆ （1） 利用幺正算符的性质 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = = + + S S SS （2） 可知 S AS S ϕn anS ϕn + + + = ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( （3） 上式表明，幺正变换不改变算符的本征值。 同理可知，变换不改变算符对易关系为 S ABS S BAS S A B S S AS S BS S ASS BS S BSS AS ˆ ]ˆ ,ˆ [ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ] ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ [ + + + + + + + + + − = = − = (4) 上式表明，幺正变换不改变算符之间的对易关系。 由阵迹的性质与封闭关系可知，变换后的算符的阵迹为 (5) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ( j A j TrA j SS j j A j j i i A j j S n n S i i A j n S i i A j j S n Tr S AS n S AS n j i j i j i j n n i j n = = 〈 = = 〈 〈 = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + + + + 上式表明，正幺变换不改变符的阵迹。 由行列式的性质可知 AB A Bˆ det ˆ ) det ˆ ˆ det( = (6) 于是有 (7) ˆ det ˆ )det ˆ ˆ det( ˆ det ˆ det ˆ det ˆ det ˆ det ˆ ) det ˆ ˆ ˆ det( S S A S S A A S AS S A B = = = = + + + + 上式表明，幺正变换不改变算符行列式的值。 【1.25】若两个互不对易的算符 Aˆ 与 Bˆ 皆与它们的对易子 ]ˆ ,ˆ [ Cˆ = A B 对易，则有
(+B)+]=+B-nCta+BT- 其中，[4+”不是通常的两个算符之和的次冥，它不顾及算符之间的对易关系，在展开 式的每一项中，总是把算符A写在算符B的前面，即 品a-咖产京 【i+r- 证明利用[A+]”可知 a+a+旷=d+r+会aa (1) 当两个互不对易的线性算符A与B皆与它们的对易C=[A,)对易时，满足如下对易关系 B.4*=k-B (2) 将(2)式代入(1)式，得到 ≤a-ir8。 (a+训a+部=a+前+，m 2am-48-a-0ciny8。 AA+”+2M Ai+r+anmrg c空广 +B+14+BTB-nCtA+BT-= [+BI-nCIA+B]"- 此既欲证之式。 【1.26】若两个互不对易的算符A与B皆与它们的对易子C=[A,B]对易证明 a+r-2a-2ni+r(- 证明利用数学归纳法证明之。 当n=1时，有 （+B-2a-2ni+r--a:向 (1)
34 1 1 ] ˆ ˆ [ˆ ] ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ )[ ˆ ˆ ( + − + + = + − + n n n A B A B A B nC A B 其中， n A B] ˆ ˆ [ + 不是通常的两个算符之和的 n 次冥，它不顾及算符之间的对易关系，在展开 式的每一项中，总是把算符 Aˆ 写在算符 Bˆ 的前面，即 n i i i n A B n i i n A B ˆ ˆ ( )! ! ! ] ˆ ˆ [ 0 − ∞ = − + = ∑ 证明 利用 n A B] ˆ ˆ [ + 可知 n j J j n n BA B n j j n A B A B A A B ˆ ˆ ˆ ( )! ! ! ] ˆ ˆ [ˆ ] ˆ )[ ˆ ˆ ( 0 − ∞ = − + + = + +∑ （1） 当两个互不对易的线性算符 Aˆ 与 Bˆ 皆与它们的对易 ]ˆ ,ˆ [ Cˆ = A B 对易时，满足如下对易关系 ]ˆ ,ˆ [ ˆ ] ˆ ,ˆ 1 B A kA B A K K − = （2） 将（2）式代入（1）式，得到 1 1 1 1 0 1 0 1 0 n ] ˆ ˆ [ˆ ] ˆ ˆ [ ] ˆ ˆ [ ˆ ˆ ] ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ [ˆ ( 1 )! ! ( 1) ˆ !( )! ! ! ] ˆ ˆ [ˆ ˆ } ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ { !( )! ! ! A + Bˆ ] + ˆ A[ ˆ ˆ ˆ ( )! ! ! ] ˆ ˆ [ˆ ] ˆ ˆ )[ ˆ ˆ ( + − − − − ∞ = − + ∞ = − − − ∞ = − ∞ = + − + + + + − + = = − − − − − + + − − = − = − + + = + + ∑ ∑ ∑ ∑ n n n n n n i i i n i i i n n i n i i i n i i i o n n A B nC A B A A B A B B nC A B A B n i i n n C A B i n i i n A A B A B n i CA B i n i i n BA B n i i n A B A B A A B 此既欲证之式。 【1.26】若两个互不对易的算符 Aˆ 与 Bˆ 皆与它们的对易子cˆ =[ Aˆ ， Bˆ ]对易证明 n i i i n C A B n i i n A B ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 )! ! ! ) ˆ ˆ ( 2 0 + − − + = − ∞ = ∑ 证明 利用数学归纳法证明之。 当 n=1 时，有 ] ˆ ˆ ) [ 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ (1 2 )! ! 1 B) Aˆ ˆ （( 1 2 0 A B c A B i i i i i + − = + − + = − ∞ = ∑ （1）
显然欲证之式成立。 设=k时欲证之式成立，即 a+献-2mi+n-9 利用上题的结果 (+B)+B=14+BT-nd+B 推导nk+1时的公式 (+=(( 三2md++(- 三i+r--2ii+9-- 三号r-9+ 三--wa+-9 2k! 了 含un+r-号： 三-2U-i+nw- 2则 豆i+n (4) 于是证明了当=k+1时原式成立。 【1.27】若两个互不对易的算符A与B皆与它们的对易子C-A,B]对易，证明哥劳勃公 式 eih-efee 证明利用上题的结果，有
35 显然欲证之式成立。 设 n=k 时欲证之式成立，即 K i i i k C A B k i i k A B ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 )! ! ! ) ˆ ˆ ( 2 0 + − − + = − ∞ = ∑ （2） 利用上题的结果 1 1 ] ˆ ˆ ] ˆ[ ˆ ˆ ] [ ˆ ˆ )[ ˆ ˆ ( + − + + = + − + n n n A B A B A B nc A B (3) 推导 n=k+1 时的公式 ) (4) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 1 2 )! ! ( 1)! ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 1)!( 1)! 2 ! ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 )! ! ! ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 1)! ! 2 ! ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 )! ! ! ) 2 ˆ ] }( ˆ ˆ ] ( 2 )ˆ[ ˆ ˆ {[ ( 2 )! ! ! ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ )[ ˆ ˆ ( ( 2 )! ! ! ) ˆ ˆ )( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( 1 2 0 2 1 0 2 1 0 2 1 1 0 2 1 0 2 1 2 1 0 2 0 1 K i i i K J J i K i i i K i i i K i i i K i K i i i K i i k k C A B k i i k C A B k i j k C A B k i i k C A B k i i k C A B k i i k C A B k i c A B k i i k i C A B A B k i i k A B A B A B + − + − + + − = − + − + − + − + − = − − + − + − + − − + − = − + + − = − + = + + = + − ∞ = − + ∞ = − + ∞ = − − + ∞ = − + ∞ = − + − − ∞ = − ∞ = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 于是证明了当 n=k+1 时原式成立。 【1.27】若两个互不对易的算符 Aˆ 与 Bˆ 皆与它们的对易子cˆ =[ Aˆ ， Bˆ ]对易，证明哥劳勃公 式 c A B A B e e e e ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ − + = 证明 利用上题的结果，有