(+B= =0 多2anmi:r- 三控1+r身： 29e宁 【128】若两个互不对易的算符A与B皆与它们的对易子=[A,B]对易，用另外的方 法证明哥劳勃公式 ea-eee守 证明用另外的方法也可以证明哥芳勃公式，令 T(s)=eeb 式中s为参数。将(1)式两端对s求导，得到 会ro)=iee+eae=d+eaen0a 利用对易关系 [B,A]=n4-[B,A (3) 可知 a-三a-2gra- 三品成： 三a小a为 (4) 于是得到 e"iBe-=esite-B-se-1B,Al)=B-s1B.A (5) 将(5)式代入(2)式，得到关于s的一阶微分方程 rs=d+ekn=a+i-anso 上述一阶微分方程的初始条件为 T(0)=1 36
36 c A B c A B i A B i n i i n n n i i n i n n A B e e e e e C e i c A B i n i c A B n i i n n A B n e ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ] ˆ ˆ [ 0 2 0 0 2 0 0 0 ˆ ˆ ) 2 ˆ ( ! 1 ) 2 ˆ ] }( ˆ ˆ [ ( 2 )! 1 { ! 1 ) 2 ˆ ] ( ˆ ˆ [ ( 2 )! ! ! ! 1 ) ˆ ˆ ( ! 1 − − + + ∞ = − ∞ = ∞ = − ∞ = ∞ = ∞ = + − = = + − = − + − = − = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 【1.28】 若两个互不对易的算符 Aˆ 与 Bˆ 皆与它们的对易子cˆ =[ Aˆ ， Bˆ ]对易，用另外的方 法证明哥劳勃公式 c A B A B e e e e ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ − + = 证明 用另外的方法也可以证明哥劳勃公式，令 sA sB T s e e ˆ ˆ ( ) = (1) 式中 s 为参数。将（1）式两端对 s 求导，得到 ) ( ) ˆ ˆ ( ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T s Ae e e Be A e Be T s ds d sA sB sA sB sA −sA = + = + （2） 利用对易关系 ]ˆ ,ˆ [ ˆ ] ˆ ,ˆ [ 1 B A nA B A n n− = （3） 可知 ] (4) ˆ ,ˆ ] [ ˆ ,ˆ [ ˆ ( 1)! ( ) ]ˆ ,ˆ [ ˆ ( 1)! ( ) ]ˆ ,ˆ [ ˆ ! ( ) ] ˆ ,ˆ [ ! ( ) , ] ˆ [ ˆ 1 1 0 1 0 1 0 0 ˆ A B A se B A n s s A B A n s nA B A n s B A n s B e n sA n n n n n n n n n n n sA − − ∞ − = − ∞ = − ∞ = ∞ = − = − − − − = − − = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ 于是得到 ]ˆ ,ˆ [ ˆ ]} ˆ ,ˆ [ ˆ { ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e Be e e B se B A B s B A sA sA sA sA sA = − = − − − − （5） 将（5）式代入（2）式，得到关于 s 的一阶微分方程 ]} ( ) ˆ ,ˆ [ ˆ ˆ ) ( ) { ˆ ( ) ( ˆ ˆ T S A e Be T s A B s B A T s ds d sA sA = + = + − − （6） 上述一阶微分方程的初始条件为 T（0）=1 (7)
由于A+B与对易AB]对易，故可以对(6)式进行积分，于是得到 To=ee9=eiae[a间 若取s=1,则有 ee=eiea间 (9) 或则写成 oins-elee (10) 此即哥劳勃公式
37 由于 Aˆ + Bˆ 与对易[ A Bˆ ,ˆ ]对易，故可以对（6）式进行积分，于是得到 ]ˆ ,ˆ ( ) [ 2 2 1 ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ T s e e e e A B s sA sB s A+B = = (8) 若取 s=1,则有 ]ˆ ,ˆ [2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e A B A B A+B = （9） 或则写成 C A B A B e e e e ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ − + = （10） 此即哥劳勃公式
第二章运动方程与路径积分 【21】一维运动的自由粒子哈米领量为H=,设=0时粒子在坐标表象中的波函数为 2m (0)=Ne云+片A,小这里N是归一化常黄，这个波高煮称为高斯波包· (1)求坐标及动量算符x0),x20,p): (2)求1时刻会标表象中的波函数Wx,): G》计算1时刻坐标算特的均方差A-女o小-(， 【解】(1)利用基本关系 F(t)=exp(iHt/)F exp(-iHt/h) 在动量表象计算 =周 + 所以 0-+网+ 算符)在坐标表象是 0=x-0 (1) 由此求出 利用了坐标、动量算符的对易关系[x,P]=,在坐标表象是 r0=x-h0-2hx0加 m &x mx (2) dx m 38
38 第二章 运动方程与路径积分 【2.1】一维运动的自由粒子哈米顿量为 m p H 2 2 = ，设 t = 0 时粒子在坐标表象中的波函数为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + p x i a x x N 2 0 2 2 ( ,0) exp h ψ ，这里 N 是归一化常数，这个波函数称为高斯波包。 （1）求坐标及动量算符 ( ), ( ), ( ) 2 x t x t p t ； （2）求 t 时刻会标表象中的波函数ψ (x,t) ； （3）计算 t 时刻坐标算符的均方差 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x t x t x t = − Δ 。 【解】（1）利用基本关系 F(t) = exp(iHt / h)F exp(−iHt / h) 在动量表象计算 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = − m pt Ht x i m p t i m pt p i m p t i m p t i p xe i Ht h h h h h h h exp 2 exp 2 exp 2 ˆ exp 2 2 2 / 所以 m pt Ht x i m pt Ht x i x t ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = h h ( ) exp exp 算符 x(t)在坐标表象是 m x t x t x i ∂ ∂ ( ) = − h （1） 由此求出 m it xp m t m t p x m pt x t x h ⎟ = + + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 利用了坐标、动量算符的对易关系[x, p] = ih ，在坐标表象是 m i t x x m t i m x t x t x h h h − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 （2）
动量算符也可以这样计算，给出结果是 也可以用海森堡绘景中算符的运动方程求解， (2)计算(x,)。按照演化方程，得 w(x.t)=(xexp(-ip-t/2m)w(0)) =(xexp(-ip-t/2mh)pXplw(0))dp -小话m-} a若+a-mh "e+-r小e若+，x x2 利用积分公式 Lc-辰u (3) 完成对p的积分 式中，风的”)）是自由的子传错香数，因此益题可以起入代销 m 2ht 函数进行计算。利用积分公式继续完成对X的积分 =细立}会-} a'm a'(ipot-imx)imx2 =Nam+me02am-而+2m (4) 计算坐标算符的均方差本质上是计算坐标算符的平均值，在薛定谔绘景或海森堡绘景计 算的结果是一样的。以上已经求出了海森堡绘景中的算符，所以在海森堡绘景中进行计算。 抒波函数改写成
39 动量算符也可以这样计算，给出结果是 x p t p i ∂ ∂ ( ) = = − h 也可以用海森堡绘景中算符的运动方程求解。 （2）计算ψ (x,t) 。按照演化方程，得 ' ' 2 ' ( ') exp 2 exp 2 ( ) ' ' 2 ' exp 2 exp 2 1 exp( / 2 ) (0) ( , ) exp( / 2 ) (0) 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 p x dpdx i a x p x x i m p t i N p p x dpdx i a x N m p t px i i x ip t m p p dp x t x ip t m ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − = − ∫ ∫∫ ∫ h h h h h h h h h π π ψ ψ ψ 利用积分公式 ∫ ∞ −∞ − + = ax bx b a e a dxe / 4 2 π 2 （3） 完成对 p 的积分 ' 2 ( ') exp 2 ' 2 ' ( , ) exp 2 2 0 2 dx t im x x i t m p x i a x x t N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ∫ h πh h ψ 式中， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − t im x x i t m h 2h ( ') exp 2 2 π 就是自由粒子传播函数。因此该题可以直接代入传播 函数进行计算。利用积分公式继续完成对 x' 的积分 (4) 2 ( ) 2 ( ) exp ' 2 exp ' ' 2 1 2 exp 2 ( , ) 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ t imx t ia m t a ip t imx a m itm a m N dx t imx x t ip imx x t a im i t m x t N h h h h πh h h h ψ 计算坐标算符的均方差本质上是计算坐标算符的平均值，在薛定谔绘景或海森堡绘景计 算的结果是一样的。以上已经求出了海森堡绘景中的算符，所以在海森堡绘景中进行计算。 抒波函数改写成
ux-ve云+jerr. 式中=Ne岩》显然有关到P达=1.这#有 (x》=「w'(x)x)w(x)d -je有a-m品uex]h =可加达-en有a小 {serar =0-品w层e达-品会达=兽 (5) 式中，=o达=Ne可-}本=0，达是因为波积数是型标 的奇函数，这给出坐标算符的平均值为零，即(y)=0。同样(5)式中第一个积分也为零， 第二个积分利用了条件[2(x)k=1。 由此求出 a (6) 同样我们计算(x(),按照x2()的表示式(2)，需分别计算出x,p2与p的平均值。其 (x2〉=∫w'(xx2w(x)d =N2∫xr2exp(-x21a2)d 站辰 ⊙ 计算(p2)与(p)
40 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + p x i p x x i a x x N 2 0 0 2 ( ) exp 2 ( ,0) exp h h ψ φ 式中 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 2 ( ) exp a x φ x N ，显然有关系 ∫ ( ) = 1 2 φ x dx ，这样有 0 ( ) ( ) ( ) (5) ( )exp ( ) ( ) ( )exp 1 ( )exp ( )exp ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 2 0 0 0 0 0 * ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟× ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = m tp x dx ip m t x dx i dx d x m t i p x dx i x dx d p x i x m t x x x dx i x p x dx dx d m t p x x i i x x t x x t x dx φ φ φ φ φ φ φ φ φ ψ ψ h h h h h h h h h 式中，∫ ∫ ∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) ( ) = ( ) = exp − 0 2 2 * 2 2 xdx a x φ x xφ x dx xφ x dx N ，这是因为被积函数是坐标 的奇函数，这给出坐标算符的平均值为零，即 x = 0 。同样（5）式中第一个积分也为零， 第二个积分利用了条件 ∫ ( ) = 1 2 φ x dx 。 由此求出 2 2 0 2 2 ( ) m t p x t = （6） 同样我们计算 ( ) 2 x t ，按照 x 2 (t)的表示式（2），需分别计算出 x 2 ，p 2与 xp 的平均值。其 中 (7) 2 2 1 exp( / ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a N N x x a dx x x x x dx = = = − = − − • ∫ ∫ π ψ ψ 计算 p 与 xp 2