6,xJ=0,6j=xy) a,.x,]=2ia:.ay.x:]=2ia,.[a:.x,]=2ia 首先证明S2,Q=0,因为 5,a小=b++,a, =g,a,小+ba,小b,a,小+ =2ao,a.-0a,+0a,+0,a小上0 同理有S2,0,y小=0，S2,0小=0，所以有 s2,g=0 再证明卫2，Q=0 因为层=2+S+L,S+S,人，其中52，小-0不需证明，利用L与x的对易关系 LL,x,小上hE联x,得 L.ax+a,y+a.=iL-a,+-Lo,-Lya.-yLa.) ,0x+0y+o=il-L,0,-,0+L,xo+xL,o) L.ox+dy+a.=J=ih Lya,+Lyo,-Lxo,+xLo,) ,小-0a,+lay2oa-m,o 同理可以计算出L,0,Gxla,L,G等，最后得出，Q=0 同理可以证明[卫，Q]=0,因此地S2,J户，J以及Q相互对易。 【1.18】设A,B,C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为 B=∑AB,日x-∑e喻A,B, a,B,y=x,,:,6a为Lcvi-civita符号，试验证 a.色xc)-axlc=∑ewAB,C, (1) ax6xc-a.Bc-a.。 (2)
26 [ ] ⎣⎦ ⎣⎦ [ ] x y z y z x z x y i j x i x i x i x i j x y z σ σ σ σ σ σ σ , 2 , , 2 , , 2 , 0,( , , , ) = = = = = 首先证明[ , ] 0 2 S Q = ，因为 [ ] [ ] ( ) [ ][ ][ ] 2 ( ) 0 4 , , , 4 , 4 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − + + = = + + + = + + y z z y z y y z x x y x z x x x y z x ix x x x S x x σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ h h h 同理有[ , ] 0, [ , ] 0 2 2 S σ y y = S σ z z = ，所以有 [ , ] 0 2 S Q = 再证明[ , ] 0 2 J Q = 因为 x Lx Sx LxSx SxLx J = + + + 2 2 2 ，其中[ , ] 0 2 S Q = 不需证明，利用 L 与 x 的对易关系 ⎣ i j⎦ ijk k L , x = ihε x ，得 [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] L x z i L y y i L y L x y z i L y L y L x xL L x y z i L z zL L x xL L x y z i L z zL L y yL x x y x x z z x x z x x y z z x z x z y z y x x y z y x y x y z y z x x y z x y x y x z z σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ h h h h h h h ⋅ = + − − + + = + − + + + = − − + + + + = + − − 2 2 , , , , , 2 2 2 同理可以计算出 ⎣L x⎦ [ ] L x y y x x σ ,σ ⋅ , σ ,σ ⋅ 等，最后得出[ , ] 0 2 J Q = 同理可以证明[ ] J ,Q = 0 z ，因此地 z S , J ,J 2 2 以及 Q 相互对易。 【1.18】设 A ， B ，C 为矢量算符， A 和 B 的标积和矢积定义为 ⋅ = ∑ ( × ) = ∑ αβγ αβγ α β α α α A B A B , A B ε A B α, β,γ = x, y,z ， αβγ ε 为 Levi-civita 符号，试验证 ( ) ( ) γ αβγ αβγ α β A⋅ B ×C = A× B ⋅C = ∑ε A B C （1） [ ( )] ( ) ( ) A B C A BαC A B Cα × × = ⋅ − ⋅ （2）
axkd-a.bc-a6d司 (3) 证明： (1)式左端 =7BxC)=A,(B.C:-B,C:)+A,(B.C,-B.C:)+4.(B.C,-B,C:) =∑8wA,B,C, (1)式右端也可以化成 自xc=∑5wA,B,C (1)式得证。 (2)式左端 =×6xc以=A,BxC-4,BxCn(a=lB=2.y=3) =Ap(B.Ca-BaC.)-A,(B.C.-B.C,)=AgB.Ca+A,B.C,-(AgBa+A.B.C. (2)式右端 =a.c-6a.。 =Aa BaCa+Ap B.Cp+A,BaCy-Aa BaCa-Ap BpCa-Ay B.Ca =AgB.Ca+A,B.Cy-(ApBg A,B,Ca 故(2)式成立。 (3)式验证可仿(2)式。 【1.18】设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明 F,4.B =F,4-B+4.F,B (1) 上，a×-F,B+AxF,司 (2 证：(1)式右端=FA-F}B+a.FB-时) FA-B-AF.B+4-FB-4.BF =FaB-AF=F,A副4)式左端 (2)式右端=FA-FkB+AxB-F) FAx B-AFxB+Ax FB-Ax BF =FAxB-AxF=F,Ax=(2)式左端 27
27 [(A× B)×C] = A⋅(B C)− A (B ⋅C) α α α （3） 证明： （1） 式左端 ( ) ( ) ( ) ( ) A B ×C = Ax ByCz − ByCz + Ay BzCx − BxCz + Az BxCy − ByCx = ⋅ γ αβγ αβγ α β = ∑ε A B C （1）式右端也可以化成 ( ) γ αβγ αβγ α β A× B ⋅C = ∑ε A B C （1）式得证。 （2）式左端 [ ( )] ( ) ( ) = A× B ×C α = Aβ B ×C γ − Aγ B ×C β （α = 1, β = 2,γ = 3 ） ( ) ( ) ( ) = Aβ BαCβ − BβCα − Aγ BγCα − BαCγ = AβBαCβ + AγBαCγ − AβBβ + AγBγ Cα （2）式右端 ( ) ( ) A BαC A B Cα = ⋅ − ⋅ ( ) β α β γ α γ β β γ γ α α α α β α β γ α γ α α α β β α γ γ α A B C A B C A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C = + − + = + + − − − 故（2）式成立。 （3）式验证可仿（2）式。 【1.18】设 A 与 B 为矢量算符， F 为标量算符，证明 [F, A⋅ B]= [F, A]⋅ B + A⋅[F,B] （1） [F, A× B]= [F, A]× B + A× [F,B] （2） 证：（1）式右端 = (F A − AF)⋅ B + A⋅(FB − BF) = F A⋅ B − AF ⋅ B + A⋅ FB − A⋅ BF = F A⋅ B − A⋅ BF = [F, A⋅ B]= （1）式左端 （2）式右端= (F A − AF)× B + A× (FB − BF) = F A× B − AF × B + A× FB − A× BF = F A× B − A× BF = [F, A× B]= （2）式左端
【1.19】设F是由严，P构成的标量算符，证明 E小华n-m 证： EF小-，F+,Fi+,F灰 (2 [Lx.F]=[yp:-=py.F]=ylp:.F]+[y.Flp:-:lp,.F]-[=.Flp 茫晋2+答紫A aF 3 同理可证， 小能劉 4 k小儒割 (5 将式(3、(4)、(5)代入式(2)，于是(1)式得证。 【1.20】证明 pxi+i×p=2ihp 6×i-i×p=,月 :pxL+Lxph-p.L.-p.L,+L,p.-L.p,=lp,.L.J+L.p:] 利用基本对易式 Lo,pJ小=pa,L小上=isp, 即得 bxi+ixp=2i柳，. 因此 pxi+i×p=2ihp 其次，由于P和乙对易，所以
28 【1.19】设 F 是由 r ， p 构成的标量算符，证明 [ ] r F p i r p F L F i ∂ ∂ × − × ∂ ∂ , = h h （1） 证： [L F] [ ] L F i [L F]j [ ] L F k x y z , = , + , + , （2） [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (4.2 ) , , , , , , 题 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = − = − = + − − y F z z F p i y p F p p F i p p F i y F p i z y F i z F i y Lx F ypz zpy F y p F y F p z p F z F p y z z y y z z z z y y h h h h h h x x r F p i r p F i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ∂ ∂ = h h （3） 同理可证， [ ] y y y r F p i r p F L F i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ∂ ∂ , = h h （4） [ ] z z z r F p i r p F L F i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ∂ ∂ , = h h （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。 【1.20】证明 p × L + L × p = 2ih p i (p L L p) [L , p] 2 h × − × = 。 证：( ) [ ] [ ] p L L p x py Lz pz Ly Ly pz Lz py py Lz Ly pz × + × = − + − = , + , 利用基本对易式 [ ] [ ] α β α β αβγ γ L , p = p , L = ihε p 即得 ( )x px p × L + L × p = 2ih 。 因此 p × L + L × p = 2ih p 其次，由于 px 和 Lx 对易，所以
[E,p.]-=,p.小b2,p.=,p.k,+L,,p.小+，p.k.+,p.l =ih-p:L,L,p:p,L.+L:P) =ilp,L.-pL,）-(,p.-LP,小 =ih(pxL-Ixp 因此，6xi-ix动-上，司 【121】证明 L=r'p-+ir.p x成=6x式=-在x6x)=Ep (2) -(pxI}(Ixp)-Lp'+4hp (3) 怎xpk丘x=-hip2 (4) 证：(1D利用公式，A-BxC)-ax卧C,有 =-6x小(x动-6x小p=成-6i =6r2小p-6. 其中pr2=r2p-r）=r2p-2 pxr=r.p-ihv.r=rp-3h 因此2=r2p-(+rp （2)利用公式，x斗p=i-6×小=0 (△) 可符-x6x)=亿x水2 =6-pi=p2-0以i=p 丘x=x×)=i-bx(x别 =i.p'L-(p.Dp]=Ep (pxIF=(pxI)-(pxi)=(pxixp.I =Lp'-pL.p)L=Lp' 由①②③，则(2)得证。 (3)-6x(×p@6x)6xi-2mp
29 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [] ( ) [ ] ( )( ) ( )x y z z y y z z y z y y z y z z y x y x Z x y x y y y x z x z z z x i p L L p i p L p L L p L p i p L L p p L L p L p L p L p L p L L L p L p L L L p = × − × = − − − = − − + + = + = + + + h h h , , , , , , , 2 2 2 因此，i (p L L p) [L , p] 2 h × − × = 【1.21】证明 L = r p − (r ⋅ p)+ ihr ⋅ p 2 2 2 （1） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 L × p = p × L = − L × p ⋅ p × L = L p （2） ( ) ( ) 2 2 2 2 − p × L ⋅ L× p = L p + 4h p （3） ( ) ( ) 2 L× p × L × p = −ihLp （4） 证: （1）利用公式 ， A⋅(B×C) = (A× B)⋅C ，有 ( ) ( ) [( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) p r P ( ) p r ( ) r p L p r r p p r r p p r r p r r p = ⋅ − ⋅ ⋅ = − × ⋅ × = − × × ⋅ = ⋅ − ⋅ 2 2 其中 p r r p ih( ) r r p 2ihr 2 2 2 2 = − ∇ = − p × r = r ⋅ p − ih(∇ ⋅r) = r⋅ p − 3ih 因此 L = r ⋅ p − ( ) r ⋅ p + ihr ⋅ p 2 2 2 2 （2）利用公式， (L × p)⋅ p = L ⋅(p × p) = 0 （Δ） 可得 − (L× p)⋅(p × L) = −[(L × p)× p]⋅ L [ ( ) ( ) ] ( ) ([ ] 0) 2 0 L, 2 2 2 = L p ⋅ p − L ⋅ p p ⋅ L = Lp − ⋅ L = L p P = ① ( ) L × p = ( ) L × p ⋅( ) L × p = L ⋅[p × (L × p)] 2 [ ( ) ] ([ ] 0) 2 L, 2 2 2 = L ⋅ p L − p ⋅ L p = L p P = ② ( ) p × L = ( ) p × L ⋅( ) p × L = [ ] ( ) p × L × p ⋅ L 2 [ ( )] 2 2 2 = Lp − p L ⋅ p ⋅ L = L p ③ 由①②③，则（2）得证。 （3） ( ) p L ( ) L p ( ) p L (p L 2ih p) 4.7 ) (1) − × ⋅ × × ⋅ × −
=(pxIJ-2in(pxI)p p-2mp-Ixpppp (4)就此式的一个分量加以证明， ix店xc=a.Bc-a.。 Exp水xp以-xp北p-Ex业.， 其中4，p=L+.e-p,g （即k,p.i+p,j+p.0+柳j-柳，) Lixp)(ixp).-(ixp)pL.+mlixp)(p.c.-p,e)-lixp)ib =正xpxp=匠pb-6p =ihip')=-int,p 类似地。可以得到y分量和：分量的公式，故(4)题得证。 【122】定义径向动量算符 n-p+p 证明：(a) p,=p, n=8+月 (),p,]=h, 得是景 (e) P-+p 证： (a)(ABC)'=C.BA' ·p非p+p9周 5小=n 即P,为厄米算符
30 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 4.7 ) (1) L p i i p L p p L p p p L i p L p h h h h − − × ⋅ + = × − × ⋅ Δ （4）就此式的一个分量加以证明， [ ( )] ( ) ( ) A B C α A BαC A B Cα × × = ⋅ − ⋅ [( ) ( )] ( ) ( ) [( ) ] L p L p x L p Lx p L p L px × × × = × ⋅ − × ⋅ ， 其中 ( ) x x z z y y L p = pL + ih p e − p e （即[L p i p j p k] i p j i p k x x + y + z = 0 + h z − h y , ） [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [( ) ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 i Lp i L p i L p p i L p p L p p L p L p L p pL i L p p e p e L p L p x x x x x x z z y y z h h h h h = − = − = × × = ⋅ − ⋅ × × × = × ⋅ + × ⋅ − − × ⋅ 类似地。可以得到 y 分量和 z 分量的公式，故（4）题得证。 【1.22】定义径向动量算符 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + ⋅ r r p p r r pr 1 1 2 1 证明：( ) a pr = pr + ， ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = − r r b p i r 1 h ， ( ) c [ ] r p ih , r = ， ( ) r r r r r r r d pr ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 h h ， ( ) 2 2 2 2 1 L pr r e p = + 证： () ( ) + + + + a Q ABC = C B A ， r 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 r p p r r p r r p r r p r r r p p r r pr ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ = ⋅ + ⋅ + + + + + + + + 即 r p 为厄米算符