鲁东大学：《高等量子力学》课程教学资源（讲义）高等量子力学习题集（共八章）

1、先计算j=+1的C-G系数，对于确定的m,三个C-G系数是 (m-l+1,m以m,0+l,m与(m+1,-lj+1m）,他们之间的关系由递推关系给 出。 当m=1时，有 2ji-m+10以m-L,方+lm）= 2j+mj,-m+1以m,0,+1,m (1) 当m0时，有 2jim,0i+1,m）=V2j-m+10U1+m)(m-1,1j+1m） (2) +2j1+m+10j1-m)以m+l,-1j+1,m） 当m1时，有 2j+m+1以m+1,-1j+1,m)= (3) √2j,-m,+m+10m,0j,+1,m 以上三式是C-G系数的齐次方程组，只能给出相对比值。由(1)式给出 (m-1,1,+1,m） +m (4) (m,0+1,m V2i-m+1) 由(3)式给出 m+1-+1m.-m （m,0j+1,m) V2j,+m+1) (5) 由(4)，(5)式给出 (m-l,+l,m =(+m)(+m+1) (m+1,-1j+1,m)VU1-mj-m-) (6) 利用C-G系数的正交条件： Km-11j+1.m+km+1-1+1,m+m.0j+1.m)=1 由(4)(5)(6)式给出 Km-+1mf1+4-m-m+D+2U=m+-1 +m+m-) +m丁 求出 Km-l以+1m=+m+m+山 (21+1021+2) 21

21 1 、先计算 j = j1+1 的 C-G 系数，对于确定的 m ，三个 C-G 系数是 m −1,1 j1 +1,m 、m,0 j1 +1,m 与 m +1,−1 j1 +1,m ，他们之间的关系由递推关系给 出。 当 m2=1 时，有 j m j m m j m j m m j m 2( )( 1) ,0 1, 2( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 1 + − + + − + − + = （1） 当 m2=0 时，有 j m j m m j m j m j m j m j m m j m 2( 1)( ) 1, 1 1, 2 ,0 1, 2( 1)( ) 1,1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + − + − + + = − + + − + （2） 当 m2=-1 时，有 j m j m m j m j m m j m 2( )( 1) ,0 1, 2( 1) 1, 1 1, 1 1 1 1 1 − + + + + + + − + = （3） 以上三式是 C-G 系数的齐次方程组，只能给出相对比值。由（1）式给出 ,0 1, 2( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 − + + = + − + j m j m m j m m j m （4） 由（3）式给出 ,0 1, 2( 1) 1, 1 1, 1 1 1 1 + + − = + + − + j m j m m j m m j m （5） 由（4），（5）式给出 ( )( 1) ( )( 1) 1, 1 1, 1,1 1, 1 1 1 1 1 1 − − − + + + = + − + − + j m j m j m j m m j m m j m （6） 利用 C-G 系数的正交条件： 1,1 1, 1, 1 1, ,0 1, 1 2 1 2 1 2 m − j1 + m + m + − j + m + m j + m = 由（4）（5）（6）式给出 1 2( 1 ( )( 1) ( )( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + + − − − + − + + j m j m j m j m j m j m m j m 求出 (2 1)(2 2) ( )( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 2 1 + + + + + − + = j j j m j m m j m

考虑到当m=广=方+1时的系数，j+1,+11,所以上式开方取正号，得到 (m-1,1j+L,m）= ☑+m,+m+D (7) (21+10(2j+2) 代回到(4)(6)式，给出 (m,0j1+1,m）= ☑，-m+1,+m+) (8) Y(2j,+10,+1) m+1-1+lm叫=2+2+2) -m-m+1) (9) 2、然后利用递推公式计算j=方时的C-G系数。 当m=0时，有 -2m-111,m）=√2i+mji-m+1(m,0ji,m〉 (1) 当m0时，有 -2(m.0jm)=2(+m)(-m+1)(m-1.1 j,m) (2) +√2-m,+m+1m-l,-lj,m） 当m1时，有 2mm+1,-lji,m）=√2-m)j+m+1Dm,0j,m）(3) 以上三式是j=方时的C-G系数的齐次方程组，只能给出许相对比值。由(1)式给出 2m aok网=2+m0-m+可-则 (4 由(3)与(4)式给出 a+l-网=2U-m0+m+Dm0人，时 2m (5) ao- 利用C-G系数的归一化条件，由(4)与(5)式得到 km-lm-mXh+m+1) 2m2 =1 ,+m),-m+1)+mj-m+] 求出

22 考虑到当 1 m = j = j1 + 时的系数 ,1 1, 1 1 j1 j1 + j1 + ，所以上式开方取正号，得到 (2 1)(2 2) ( )( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 1 + + + + + − + = j j j m j m m j m （7） 代回到（4）（6）式，给出 (2 1)( 1) ( 1)( 1) ,0 1, 1 1 1 1 1 + + − + + + + = j j j m j m m j m （8） (2 1)(2 2) ( )( 1) 1, 1 1, 1 1 1 1 1 + + − − + + − + = j j j m j m m j m （9） 2、然后利用递推公式计算 j = j1 时的 C-G 系数。 当 m2=0 时，有 − 2 m −1,1 j1 ,m = 2( j1 + m)( j1 − m +1) m,0 j1 ,m （1） 当 m2=0 时，有 j m j m m j m m j m j m j m m j m 2( )( 1) 1, 1 , 2 ,0 , 2( )( 1) 1,1 , 1 1 1 1 1 1 1 + − + + − − − = + − + − （2） 当 m2=-1 时，有 2m m +1,−1 j1 ,m = 2( j1 − m)( j1 + m +1) m,0 j1 ,m （3） 以上三式是 j = j1 时的 C-G 系数的齐次方程组，只能给出许相对比值。由（1）式给出 m j m j m j m m m j m 1,1 , 2( )( 1) 2 ,0 , 1 1 1 1 − + − + = − （4） 由（3）与（4）式给出 m j m j m j m j m j m m j m m j m j m m j m 1,1 , ( )( 1) ( )( 1) ,0 , 2 2( )( 1) 1, 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + = − + + + − = （5） 利用 C-G 系数的归一化条件，由（4）与（5）式得到 1 ( )( 1) 2 ( )( 1) ( )( 1) 1,1 , 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + − + − + + − + j m j m m j m j m j m j m m j m 求出

km-1hmy-h +mXh-m+D) 2(山+) (6) 此时开方后的正负号还不能确定。可以利用，m)的正交性确定(6)式开方后的正负 号。为此利用上面求出的j=+1的C-G系数，把j,m)=j,+1j)用m-m2,m2） 展开，展开式中共有两项，m-m2,m〉=方-1，，0〉，相应当的C-G系数分别是 -1,+1}= A+- V 即有 4--后 (7) 同样，把，m)=}用m-m2,m2〉展开，得到 〉=，-1j-1,+,0li,,0) +,+1,-1+1,-1) (8 利用，+1，与，)之间正交的条件，计算(7)与(8)式的标量积，得到 0-么-高 (9) 这表明m=0的(U,0j,与m=1的(，-1,1，〉相差一个负号，按照相位约定，要求 C-G系数(，0，〉=，1-山，》为正数，则-1,1，)必为负数。由(6)式得 到 ,+mj,-m+1) (m-11j.m)=-2,+1) (10) 进一步利用(4)与(5)式，得到 m0,m-U+可 m (11) -m)+m+) (m+l-1,m)=2+0 (12) 3、对于=一1的系数也可按照同样的方法求出

23 2 ( 1) ( )( 1) 1,1 , 1 1 1 1 2 1 + + − + − = j j j m j m m j m （6） 此时开方后的正负号还不能确定。可以利用 j,m 的正交性确定（6）式开方后的正负 号。为此利用上面求出的 j = j1+1 的 C-G 系数，把 1 1 2 2 j,m = j +1, j 用 m − m ,m 展开，展开式中共有两项， , 1,1 , ,0 2 2 1 1 m − m m = j − j ，相应当的 C-G 系数分别是： 1 1 ,0 1, 1 1,1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + − + = j j j j j j j j j 与 即有 ,0 1 1 1,1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 j j j j j j j + − + + + = （7） 同样，把 1 1 j,m = j , j 用 2 2 m − m ,m 展开，得到 1, 1 , 1, 1 , 1,1 , 1,1 ,0 , ,0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + − + − = − − + j j j j j j j j j j j j j j （8） 利用 1 1 1 1 j +1, j 与 j , j 之间正交的条件，计算（7）与（8）式的标量积，得到 1 1 ,0 , 1 0 1,1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = − j j j j j j j j j （9） 这表明 m=0 的 1 1 1 1 1 1 j ,0 j , j 与m = 1的 j −1,1 j , j 相差一个负号，按照相位约定，要求 C-G 系数 j ,0 j , j j , j j j, j 1 1 1 = 1 − 1 为正数，则 1 1 1 j −1,1 j , j 必为负数。由（6）式得 到 2 ( 1) ( )( 1) 1,1 , 1 1 1 1 1 + + − + − = − j j j m j m m j m （10） 进一步利用（4）与（5）式，得到 ( 1) ,0 , 1 1 1 + = j j m m j m (11) 2 ( 1) ( )( 1) 1, 1 , 1 1 1 1 1 + − + + + − = j j j m j m m j m (12) 3、对于 j = j1－1 的系数也可按照同样的方法求出

(m-11方-1，m）= ☑1-mj+m+1) 2(2+1) ☑-m+m (m01-1m叫=-j2,+0 (m+l,-lj-l,m）= ,+mU,+m+1) Y2,(2+1) 【1.16】设粒子的磁矩为=山，在磁场B中的哈密顿算符为H=山B。把该粒子置入 磁场B(I)=Bcosoti+Bsinc训中，求证哈密顿算符可以写成 【解】(1)我们用类比的方法证明。首先我们按照题设条件给出哈密顿算符的表示为 H=u.B=uBcoso uBsin ot/ 设H=2(即设外场B=Bk),利用海森堡绘景中的运动方程 n=O).H] d 求出运动微分方程 h,0=-,0 利用初条件J(1=0)=J,我们容易求出 J(t)=J.cos21-Js1n2山 J,(t)=J,cosr+J,singr 可以利用么正算符U1,0)=exp(-iQJ./h的么正变换 J)=U°(L,0)JU,0) 这给出关系 J(1)=U'J,U=J cosQt-Jy sinOr J.(t)=U'J,U=J,cosQr+J.sinQr

24 2 (2 1) ( )( 1) 1, 1 1, (2 1) ( )( ) ,0 1, 2 (2 1) ( )( 1) 1,1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + − − = + − + − = − + − + + − − = j j j m j m m j m j j j m j m m j m j j j m j m m j m 【1.16】设粒子的磁矩为 μ = μJ ，在磁场 B 中的哈密顿算符为 H = μ ⋅ B 。把该粒子置入 磁场 B(t) = Bcosωti + Bsinωtj 中，求证哈密顿算符可以写成 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − h h z x z i tJ J i tJ H B ω ω μ exp exp 【解】（1）我们用类比的方法证明。首先我们按照题设条件给出哈密顿算符的表示为 x y H = μ ⋅ B = μBcosωtJ + μBsinωtJ 设 z H = ΩJ （即设外场 B = Bk ），利用海森堡绘景中的运动方程 [ ] J t H dt dJ t i ( ), ( ) h = 求出运动微分方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −Ω = −Ω ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) J t dt d J t J t dt d J t J t dt d z y x x y 利用初条件 J (t = 0) = J ，我们容易求出 J t J t J t J t J t J t y y x x x y = Ω + Ω = Ω − Ω ( ) cos sin ( ) cos sin 可以利用么正算符 ( ,0) exp( / h z U t = −iΩtJ 的么正变换 J (t) U (t,0)JU(t,0) + = 这给出关系 J t U J U J t J t J t U J U J t J t y y y x x x x Y = = Ω + Ω = = Ω − Ω + + ( ) cos sin ( ) cos sin

上式两边左乘U,右乘U*给出 J,=UJ,U'cost-UJ,U+singt J=UJ,U*cost+UJU'singr 上式乘以cos2与下式乘以sin2后相加给出 J,cost+J sin t exp(-itJ./h)J ,exp(iJ./h) 把上式中的2换成o就是我们要证明的结论。 (2)我们也可以直接证明。利用角动量本征态的完备条件给出 exp(-i@tJ:/h)J.exp(iotJ:Ih) =>exp(-iotJ:/h)Jj,m)j,mexp(i@tJ./h) 利用关系 J:jm）=√j+1)-mm±)j,m±1) 人=0.+=u-) 上式右边化成 +eauj资*-mm-可m-W.ame长ou -exp(-iot)J.lj.mXj.ml+exp(iot)1J.lj.mXj.ml -exp(-iol)jJ.+exp(iol)jJ =cos,+sin 结论得证。 【1.17】粒子角动量算符为J=L+S,S=。是自旋为方粒子的自旋角动量算符，L为 2 轨道角动量算符，利用坐标算符x定义个算符Q=S·x小=S·x°，，求证 SJ,J.以及Q相到对易。 【证明】算符S,J2,J相互对易是显然的，只需讨论它们与Q相互对易即可。按照定义 0=26,x+a,y+a 利用

25 上式两边左乘 U，右乘 U + 给出 J UJ U t UJ U t J UJ U t UJ U t y y x x x Y = Ω + Ω = Ω − Ω + + + + cos sin cos sin 上式乘以cosΩt 与下式乘以sin Ωt 后相加给出 cos sin exp( / h) exp( / h) x y z x z J Ωt + J Ωt = −iΩtJ J iΩtJ 把上式中的Ω 换成ω 就是我们要证明的结论。 （2）我们也可以直接证明。利用角动量本征态的完备条件给出 exp( / ) , , exp( / ) exp( / ) exp( / ) h h h h z x z m z x z i tJ J j m j m i tJ i tJ J i tJ ω ω ω ω = ∑ − − 利用关系 ( ) 2! 1 ( ), 2 1 ( 1) ( 1) , 1 + − + − ± = + = − = + − ± ± J J J J J J J jm j j m m j m x Y h 上式右边化成 x y m z z m z M z tJ tJ i t J i t J i t J j m j m i t J j m j m tJ i tJ j j m m j m j m i tJ i tJ j j m m j m j m i ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω cos sin 2 1 exp( ) 2 1 exp( ) , , 2 1 , , exp( ) 2 1 exp( ) ( 1) ( 1) , 1 , exp 2 exp ( 1) ( 1) , 1 , exp 2 exp = + = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − ∑ + − ∑ ∑ h h h h h h 结论得证。 【1.17】粒子角动量算符为 σ 2 , h J = L + S S = 是自旋为 h 2 1 粒子的自旋角动量算符，L 为 轨道角动量算符，利用坐标算符 x 定义个算符 / , 0 Q = S ⋅ x x = S ⋅ x ，求证 z z z S , J , J 以及 Q 相到对易。 【证明】算符 z S , J , J 2 2 相互对易是显然的，只需讨论它们与 Q 相互对易即可。按照定义 Q ( ) x y z = σ x +σ y +σ z 2 h 利用