p〉=∑n)wn(x) (器（品 在母函数公式中1=口 到 叭-(m+w+} 【1.12】求证一维谐振子能量表象中坐标X动量p算符的矩阵元分别是 5a-受 +a-a-26+2a+ 2 2 pmgn5s-n +n--i-+02at 2 2 其中a=√mo/方，进一步计算x与r的矩阵元。 【证明】利用基本关系式 +小b+d N=a"a,a,a"aa'-a"a=aa"-N =1 takeaketa 22元f+2w+c+k+d =6ery+2a+a+aw+2a+aw+2a+o 利用
16 0 2 exp 2 ! ( ) ! ( ) ( ) 2 0 4 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∑ ∑ = + π ω ω ω ψ h h mh p H m p n i n m a p n x n n n n n n 在母函数公式中 2 + = ia t ，得到 0 2 2 2 exp 2 2 4 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + a ipa m m m p p π ω ω ω h h h 【1.12】求证一维谐振子能量表象中坐标 x 3 动量 p 3 算符的矩阵元分别是 ⎥ ⎦ − − + − + ⎤ + ⎢ ⎣ ⎡ + = + − − + − + , 3 , 3 , 3 , 1 , 1 3 2 ( 1)( 2)( 3) 2 ( 1)( 2) 2 1 3( 1) 2 3 2 1 ( ) m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n a x δ δ δ δ ⎥ ⎦ + − + ⎤ − − − + + ⎢ + + ⎣ ⎡ = − − + − + , 3 , 3 , 1 , 1 3 3 , 3 2 ( 1)( 2)( 3) 2 ( 1)( 2) 2 1 3( 1) 2 3 2 ( ) m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n i a p δ δ δ δ h 其中 a = mω / h ，进一步计算 x 4 与 px 的矩阵元。 【证明】利用基本关系式 ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 , , 1 2 1 2 a Na a aN a a N Na a a a N a a a a a a a a a a a x N a a a a aa a a aa N a a a a a m x = + + + + + + + = + + + + = + + + = = − = − = = + = + + + + + + + + + + + + + + + + + ω h 利用
a*月m）=√n+3n+2n+In+3） (a川n）=√n(n-10n-2)n-3 Nn）=Hn） (ml）=6 得到矩阵元是 w5au厚 风a画+g2o 2 2 同样，可以计算出矩阵元利用条件 (okn tXn:36.. Vnn-可j6.2+(2n+16] (x)n=∑(n2仆n） =C+W0+26a+-6a+2+ +n+n+2j6a+mn-l6aa+(2n+16} (+Xm+23. +4n0n+10n+262+2(3n3+2n+1)6。 +(4n-2n-0n6-2+2an-0n-2jn-36] 同样的方法求出 r- =(6y+2o+a+w-w-2a-2a+副 (Pa +-a-可6-+2a+可6} + 2 而px的矩阵元是
17 ( ) ( ) m n mn N n n n a n n n n n a n n n n n = δ = = − − − = + + + + + ( 1)( 2) 3 ( 3)( 2)( 1) 3 3 3 得到矩阵元是 ⎥ ⎦ + + + ⎤ + − − + ⎢ ⎣ ⎡ + = + + − + − + , 3 , 3 , 3 , 1 , 1 3 2 ( 1)( 2)( 3) 2 ( 1)( 2) 2 1 3( 1) 2 3 2 1 ( ) m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n a x δ δ δ δ 同样，可以计算出矩阵元(x 4 )m,n. 利用条件 [ ] m n m n m n m n n n n n n a x m x n , 2 , 2 , 2 2 2 , ( 1) (2 1) ( 1)( 2) 2 1 δ δ δ − + + = = + + + − + {[ ] [ ]} [ ] , 2 , 4 , 3 , 2 4 , 4 , 2 , 2 , 1 4 ,1 2 ,1 2 , 1 2 2 , 4 (4 2) ( 1) 2 ( 1)( 2)( 3) 4 ( 1)( 2) 2(3 2 1) ( 1)( 2)( 3)( 4) 4 1 ( 1)( 2) ( 1) (2 1) ( 1)( 2) ( 1) (2 1) 4 1 ( ) − − + + + − + − + − − + − − − + + + + + + = + + + + + + + + − + + = + + + − + + = ∑ ∑ m n m n m n m n m n l n l n l n m m m l m n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n n n n l l l l l a x n x l l x n δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 同样的方法求出 ( ) ( ) ( ) ; 2 ( 1)( 2)( 3) 2 ( 1)( 2) 2 1 3( 1) 2 3 2 ( ) 2 2 2 3 2 , 3 , 3 , 1 , 1 3 3 , 3 3 3 3 3 3 3 ⎥ ⎦ + + + ⎤ − − − + ⎢ ⎣ ⎡ + = − + + − + + + − − − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + − + + + + + + m n m n m n m n m n n n n n n n n n n n i a p a Na a N aN Na a a a i a a ia p δ δ δ δ h h h 而 px 的矩阵元是
(0px-6+a-6ta+2n+i.） 【1.13】证明下式成立 j,m 2” amu 【证明】利用基本关系 Jj,m)=(j-m+1j+m)hj,m) Jj,m+1)=(j-mx(j+m+1)hj,m) U1,m+2〉=JV-m-1U+m+2)j,m+1) =(j-m-IX(j-mX(j+m+lXj+m+2)hj,m-1) 一般情况有 y|i》=V12…-U-m-10j-m)× VG+m+1J+m+2)…(2j-12jh-,m 、2l-mn-U,m -(j+m)! 因而 网-r 同样可以证明另一种表示。 【1.14】利用上式定义的角动量本征态j,m),通过计算验证角动量耦合系数 (1,m,j2,m2j,m) (2j)(22U+m)U-m)1 =2+mU-mU+m,U-m月 式中j=方+j2,m=m1+m2是角动量算符J=J1+J2相应当最子数。 【证明】利用角动量本征态的表达式，角动量耦合系数写成 网，人m-=么m,m片广小m (j+m)! 利用
18 ( ) ( ) , , , 2 , 2 ( 1) ( 2)( 1) 2 m n = m n + n n − m n− + n + n + m n+ i px δ δ δ h 【1.13】证明下式成立 j j J j j m j m j j J j j m j m j m j m j m ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = + + − − , (2 )!( )! ( )! , (2 )!( )! ( )! , h h 【证明】利用基本关系 ( ) ( 1)( )( 1)( 2) , 1 , 2 ( 1)( 2) , 1 , 1 ( )( 1) , , ( 1)( ) , 2 2 = − − − + + + + − + = − − + + + + = − + + = − + + − − − − j m j m j m j m j m J j m J j m j m j m J j m j m j m j m J j m j m j m j m h h h h 一般情况有 ( ) j m j m j j m j m j m j j j m J jj j m j m j m j m j m , ( )! (2 )!( )! ( 1)( 2) (2 1)2 , 1.2 ( 1)( ) − − − − + − = + + + + − = − − − × h L h L 因而 j j J j j m j m jm j m , (2 )!( )! ( )! − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = h 同样可以证明另一种表示。 【1.14】利用上式定义的角动量本征态 j,m ，通过计算验证角动量耦合系数 2 )!( )!( )!( )!( )! (2 )!(2 )!( )!( )! , , , , 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 j j m j m j m j m j j j m j m j m j m j m + − + − + − = 式中 1 2 1 2 j = j + j ,m = m + m 是角动量算符 1 2 J = J + J 相应当量子数。 【证明】利用角动量本征态的表达式，角动量耦合系数写成 (2 )!( )! ( )! , , , , , , , , 1 1 2 2 1 1 2 2 j j m j m j j J j m j m j m j m j m j m − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − h 利用
J=J1+J2j,》=i,j2,2》 =.W小-2 ,(-m! ,m,m.m=Um,m+广x ,小a0-m +m) U+m！ ,2,2 V(2)(j-m) 考虑到，m,2,m,〉正交条件，上式C-G系数不断零时，要求 k=-m,了-k-m=2-m利用 小-产r- 则j=方1+2，m=m+m2时的角动量耦合系数为 (i,m,j2,m2j,m） (j-m)! 2)j-m、 (-m)!(-m2)!(+m)! 22)12-m2)1U+m)1 V(U2+m2)V(2jU-m)川 (2)(22)U+m)-m1■ Y2U+mU-mU+m,)2-m,月。 【115】利用关系式J户=J?+J?+2J1·J2,推导j与m都相同时的C-G系数的递推公式， 并计算1时的C-G系数。 【解】把关系式 J2=J+3+2J2 =+++.+25 作用到，m)=∑，m-m,2,mX1,m-m,2,m,,m〉两边，利用关系式 Jj,m）=√U+1)-m(m(±1)，m±1) =年mj±m+1Dj,m±)
19 (2 )!( )! ( )! , , , , , !( )! ( )! (2 )!( )! ( )! , , , , , , , , , !( )! ( )! ( ) , , , , 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 j j m j m j j j j J J j m j m k j m k j m j j m j m j j j j J J j m j m j m j m j m J J k j m k j m J J J J J J j j j j j j k j m k k j m k j m j m K j m k − + ⎟ × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − + ⎟ × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − − = + = = + = − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − ∑ ∑ h h h 考虑到 1 1 2 2 j ,m , j ,m 正交条件，上式 C-G 系数不断零时，要求 1 1 2 2 k = j − m , j − k − m = j − m 利用 j m n j m j m n j m j m n J j m n n − − + − + − + − = , ( )!( )! ( )!( )! , h 则 1 2 1 2 j = j + j ,m = m + m 时的角动量耦合系数为 。 j j m j m j m j m j j j m j m j j m j m j m j j m j m j j m j m j m j m j m j m j m (2 )!( )!( )!( )! )! (2 )!(2 )!( )!( )! (2 )!( )! ( )! ( )! (2 )!( )! ( )! (2 )!( )! ( )!( )! ( )! , , , , 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 + − + − + − = − + + − × + − − − − = 【1.15】利用关系式 1 2 2 2 2 1 2 J = J + J + 2J ⋅ J ，推导 j 与 m 都相同时的 C-G 系数的递推公式， 并计算 j2=1 时的 C-G 系数。 【解】把关系式 z z J J J J J J J J J J J J J 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 = + + + + = + + ⋅ + − − + 作用到 = ∑ − − 2 1 2 2 2 1 2 2 , , , , , , , , 2 m j m j m m j m j m m j m j m 两边，利用关系式 ( )( 1) , 1 , ( 1) ( ( 1) , 1 = ± + ± ± = + − ± ± j m j m j m J j m j j m m j m m h h
得到 jU+)∑j,m-m2,2,m2,m-m2,2,m2j,m） =∑i+)+2U2+l)+2m,(m-m]x 1,m-m2,2,m2X1,m-m2,mj,m） +∑(J4J2-+JJ2+,m-m2,2,m21,m-m2,j2,m2j,m） =∑U(i+1)+22+)+2m,(m-m,】× hm-mz.jz.m2Xj.m-mz.jz.mlj.m) +∑VG-m+m+m-m:+1:+m-m:+可× ,m-m2+1,j2,m3-1X1,m-m2,2,m2j,m） +∑V+m-m,-m+m+U方-m方+m+× 1,m-m2-l,2,m2+1j1m-m2,j2,m2j,m 整理上式，得 ∑U+)-U+)-.,+1)-2m,(m-m,x 1,m-m2,j2,m1,m-m2,2,m2,m》 三C-m+m++m-m:+m+-m× j.m-mz.jz.m2 Xi.m-m -1j2m +1j.m) ++m-%+-m+m-m+:+网 i,m-m2,2,m,m-m+12,m2-j,m〉 两边乘以(1，m-m2,2,m,并利用C-G系数的正交性，得到j与m都相同时的C-G系 数的递推公式 [UU+)-,U+)-2(2+1)-2m,(m-m小× (,m-m2,2,m2j,m） =V-m+m2+1+m-m22+m2+1U2-m2)× (J,m-(m2+1)j2,(m2+10j,m） +V,+m-m2+10j-m+m2U2-m2+12+m2)× （1,m-(m2-10j2,(m2-lj,m) 下面利用这个递推公式，计算=l时的C-G系数，这种情况下m2=0,士L,而j=±Ljp 30
20 得到 [ ] [ ] j m m j m j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m m j m j m j j j j m m m J J J J j m m j m j m m j m j m j m m j m j m m j m j m j j j j m m m j j j m m j m j m m j m j m m m m m m m , 1, , 1 , , , , ( )( 1)( )( 1) , 1, , 1 , , , , ( )( 1)( )( 1) , , , , , , , ( 1) ( 1) 2 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , , , ( 1) ( 1) 2 ( ( 1) , , , , , , , 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − + − + + − − + + − + + × − + − − + − + + − + + − + × − − = + + + + − × + + − − − − = + + + + − × + − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + − − + 整理上式，得 [ ] j m m j m j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m m j m j m j j j j j j m m m m m m m m , , , , 1, , 1 , ( 1)( )( 1)( , , , , 1, , 1 , ( 1)( )( 1)( , , , , , , , ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( ) ' 2 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 1 2 1 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 1 2 1 ' 2 2 ' 2 2 ' 1 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 1 2 ' 2 2 ' 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ' 2 2 ' 2 2 − − + − + + − + − + − + + × − − − + = − + + + − + + − × − − + − + − + − − × ∑ ∑ ∑ = + = − 两边乘以 1 2 2 2 j ,m − m , j ,m ，并利用 C-G 系数的正交性，得到 j 与 m 都相同时的 C-G 系 数的递推公式 [ ] j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m j m m j m m j m j m j m m j m j m j j j j j j m m m , ( 1), ,( 1) , ( 1)( )( 1)( ) , ( 1), ,( 1) , ( 1)( )( 1)( ) , , , , ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 − − − + + − + − + − + + × − + + = − + + + − + + − × − + − + − + − − × 下面利用这个递推公式，计算 j2=1 时的 C-G 系数，这种情况下 m2 = 0,±1,而 j = j1 ±1, j1