例5-2电路如图5-4(a)所示,开关S闭合前电路无储能, 开关S在t=0时闭合,试求1、i2、3、2、1的初 始值。 i(0+)10 i2O+) 30Q 2H2uL c(0+) a(0 (6) 图5-4例5-2图 解(1)由题意c(0)=0 知: i3(0)=i2(0)=0 (2)由换路定理得c(04)=lc(0)=0 (04)=i2(0) 16
16 例5-2 电路如图5-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能， 开关S在 t=0时闭合，试求 i 1 、i 2 、i 3、 uc、uL的初 始值。 图 5-4 例5-2 图 解（1）由题意 知： (0 ) (0 ) 0 (0 ) 0 3 = = = − − − L C i i u （2）由换路定理得 (0 ) (0 ) 0 (0 ) (0 ) 0 = = = = + − + − L L C C i i u u
因此,在t0.电路中,电容应该用短路线代替, 电感以开路代之。得到t=0,电路,如图5-4(b)所示 (3)在t=0电路中,应用直流电阻电路的分析方 法求得 9 i(0)=2(04) 0.3A 10+20 (0+)0 l(0)202404)20×0.3-=6V 通过以上例题,可以归纳出求初始值的一般步骤如 下 (1)根据t=0.时的等效电路,求出u(0)及(0) (2)作出t=0时的等效电路,并在图上标出各待求量 (3)由t=0等效电路,求出各待求量的初始值 17
17 因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替， 电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图5-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方 法求得 通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如 下： (1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC (0- ) 及iL (0- )。 (2) 作出t=0+时的等效电路，并在图上标出各待求量。 (3) 由t=0+等效电路，求出各待求量的初始值。 i i 0.3A 10 20 9 (0 ) (0 ) 1 2 = + + = + = i 3 (0+ )=0 uL (0+ )=20i 2 (0+ )=20×0.3=6V
5.3零输入响应 当外加激励为零仅有动态元件初始储能所产生的电 流和电压,称为动态电路的零输入响应 53.1RC电路的零输入响应 图5-5(a)所示的电路中,在t<时开关在位置1,电容 被电流源充电,电路已处于稳态,电容电压uc(0.)=Ros, t=0时,开关扳向位置2,这样在亡0时,电容将对R放电, 电路如图5-5(b)所示,电路中形成电流i。故t>0后,电路 中无电源作用,电路的响应均是由电容的初始储能而产生, 故属于零输入响应。 Ro R R 图5-5RC电路的零输入响应(b) 18
18 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电 流和电压,称为动态电路的零输入响应. 图5-5 RC电路的零输入响应 1 i + - UC IS R0 R 2 C (a) uR + - + - C uC i (b) 5.3 零 输 入 响 应 图5-5 (a) 所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容 被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC (0- )=R0 I S， t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电， 电路如图5-5 (b)所示，电路中形成电流 i。故 t>0后，电路 中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生， 故属于零输入响应。 5.3.1 RC电路的零输入响应
换路后由图(b)可知,根据KVL有 +L.=0 而v=iR,i=CC,代入上式可得 RC +Ln=0 1式 dt 上式是一阶常系数齐次微分方程,其通解形式为 ael t>0 2式 式中A为待定的积分常数,可由初始条件确定。p为 1式对应的特征方程的根。将2式代入1式可得特征 方程为 RCP+1=0 19
19 -uR+uc =0 而uR =iR, dt du i C C = − ，代入上式可得 + C = 0 C u dt du RC 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t≥0 ２式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为 １式对应的特征方程的根。将２式代入１式可得特征 方程为 RCP+1=0 １式 换路后由图（b）可知，根据KVL有
从而解出特征根为 p- RC 则通解 Ae 3式 将初始条件l(0)=Rls代入3式,求出积分常数A为 c(0+)=A=R0 将12(0+)代入上式,得到满足初始值的微分方程 的通解为 uc=uc(o, )e rc= roIse c to 4 rt 放电电流为 7=、dhko1seC=(0)eRCt05式 R
20 从而解出特征根为 RC p 1 = − 则通解 RC t u Ae C − = ３式 将初始条件 uc (0+ )=R0 IS 代入3式，求出积分常数A为 C S u A R I 0 (0+ ) = = 将 代入上式，得到满足初始值的微分方程 的通解为 (0 ) uc + RC t S RC t C C u u e R I e − − = + = 0 (0 ) 放电电流为 RC t RC t C S e i e R R I dt du i C − + − = − = = (0 ) 0 t≥0 ４式 t≥0 ５式