第四章功率谱估计 EILMOINO2)]=E JO1 N e e N ∑∑∑∑R(mR(k)R(P)R(q) P Elx(n)x(k)x(p)x(gle Jon(n-keJ02(P-q) 利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式,有 E[x(n)x(kx(p)x(q)=E[x(n)x(k)E[x(p)x(q)+E[x(p)x(q)E[x(k)x(q) elx(nx(qjelx(kx(p) k ELx(n)x(k)x( ql p=g,p=n, g=k,g=n, p k 0其它
第四章 功 率 谱 估 计 -j ( ) -j ( ) 2 2 j 2 j 1 2 2 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( ) ( )]e e ( ) ( ) ( ) ( ) 1 (e ) (e ) 1 [ ( ) ( )] n k p q N N N q N n k p N N N N E x n x k x p x q R n R k R p R q N X X N E I I E − − = = 利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] E x n x q E x k x p E x n x k x p x q E x n x k E x p x q E x p x q E x k x q + = + = = = = = = = 0 其它 , , , ; , [ ( ) ( ) ( )] 4 k n p q p n q k q n p k E x n x k x q x
第四章功率谱估计 将上式代入周期图的均方值公式中,得到 4 E[(O1)/x(O02) =o1+a+2)My?5 N2+2∑ j(n-k)@+O2) N n=0k=0 m(+D2/+5nM27 (O1-O2)/2 将a=01=2代入上式,得到 (4.2.14) EIINOI 2+ sin (no) Nsin(o) 2 sin ( no) varII(O]=0+1+ (4.2.15) Nsin(o)
第四章 功 率 谱 估 计 将上式代入周期图的均方值公式中， 得到 − − + + + = + = + + − = − = − = − − = + 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 0 1 0 1 0 ( )( ) 1 0 2 ( )( ) 2 4 1 2 sin( )/ 2 sin( ) / 2 sin( )/ 2 sin( ) / 2 1 [ ( ) ( )] e e 1 2 1 2 N N N N N N E I I x N n N n N k j n-k N k x j n-k N N 将ω (4.2.14) =ω1 =ω2代入上式，得到 = + = + 2 4 2 4 sin( ) sin( ) var[ ( )] 1 sin( ) sin( ) [ ( )] 2 N N I N N E I N x N x (4.2.15)
第四章功率谱估计 显然,当M于无限大时,周期图的方差并不趋于0,而趋 于功率谱真值的平方,即 var[IN(O]-N>0 (4.2.16) 这里无论怎样选择M,周期图的方差总是和σ4同一个数量 级。我们知道,信号的功率谱真值是σ2,说明周期图的方差很 大,周期图的均方误差也是非常大。用这种方法估计的功率谱 在σ2附近起伏很大,故周期图是非一致估计,是一种很差的 功率谱估计方法
第四章 功 率 谱 估 计 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而趋 于功率谱真值的平方，即 4 var[ ( )] N N x I ⎯⎯⎯→ → (4.2.16) 这里无论怎样选择N，周期图的方差总是和σ4 x同一个数量 级。我们知道,信号的功率谱真值是σ2 x,说明周期图的方差很 大，周期图的均方误差也是非常大。用这种方法估计的功率谱 在σ2 x附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的 功率谱估计方法
第四章功率谱估计 为了进一步说明数据长度N对功率谱估计的影响,下面求 两个频率处的协方差函数 covI()2k(2)=11(4)(2)-[(O01)(C2) 将(42.13)式和(42.14)式代入上式,得到 COVIINOINO 2刀=a4snN(01+m2)/2 7. sin N()0,)/271 II Nsin(0,+o2)/2 Nsin(0-02)/2 令:1=2πkN,2=2πWN,式中k,l均是整数,得到 COVIINOINO2)=Oi Sn[丌(k+D) sn[π(k-l) Nsin[π(k+/N]丿(Nsn(k-/N (4217)
第四章 功 率 谱 估 计 为了进一步说明数据长度N对功率谱估计的影响，下面求 两个频率处的协方差函数。 cov[ ( ), ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] N 1 N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 I I = I I I − E I I 将（4.2.13）式和(4.2.14)式代入上式, 得到 − − + + + = 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 1 2 sin( )/ 2 sin ( )/ 2 sin( )/ 2 sin ( )/ 2 cov[ ( ) ( )] N N N N I I N N x 令: ω1=2πk/N, ω2=2πl/N, 式中k, l均是整数，得到 − − + + + = 2 2 4 1 2 sin[ π( )/ ] sin[ π( )] sin[ π( )/ ] sin[ π( )] cov[ ( ) ( )] N k l N k l N k l N k l I I N N x (4.2.17)
5 4 N=32 N=64 3 /π O/π 4 N=128 3 0 0 2 D/元 SoI →<(o)图4.2.2白噪声的周期图
第四章 功 率 谱 估 计 图 4.2.2 白噪声的周期图 0 1 2 3 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 5 4 3 2 1 0 Pxx(e j ) Pxx(e j ) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 0 1 2 3 5 4 3 2 1 0 Pxx(e j ) Pxx(e j ) / / (a) (b) / / (c) (d ) N＝ 3 2 N＝ 6 4 N＝ 256 N＝ 128