第四章功率谱估计 423经典谱估计方法改进 1.平均周期图法 平均周期图法是基于这样的思想:对一个随机变量进行观 测,得到L组独立记录数据,用每一组数据求其均值,然后将L 个均值加起来求平均。这样得到的均值,其方差将是用一组数 据得到的均值的方差的1 假设随机信号x(m)的观测数据区间为:0≤m≤M-1,共进行了 L次独立观测,得到L组记录数据,每一组记录数据用x、m),i=1, 2,3,,L表示,第i组的周期图用下式表示: Ⅰ,(O) (4.2.18)
第四章 功 率 谱 估 计 4.2.3 经典谱估计方法改进 1. 平均周期图法 平均周期图法是基于这样的思想：对一个随机变量进行观 测，得到L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将L 个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差将是用一组数 据得到的均值的方差的1/L。 假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0≤n≤M-1，共进行了 L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi (n), i=1, 2, 3, …,L表示，第i组的周期图用下式表示： 2 1 0 ( ) 1 ( ) − = − = M n j n i i x n e M I (4.2.18)
第四章功率谱估计 将得到的L个周期图进行平均,作为信号x(n)的功率谱估计, 公式如下 (e)=∑/(a) (4.2.19) L 为了分析偏移,对上式求统计平均,得到 ElP(e= I IT WB(es)Px e (4.2.20) 2 周期图的统计平均值已经求出,如(4.2.11)、(4.2.12)式所示, 重写如下: WB(eo=ftlwg(mI sin( Mo/2) (4.2.21) M sin(o/2)
第四章 功 率 谱 估 计 将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下： = = L i xx i I L P 1 j ( ) 1 (e ) ˆ (4.2.19) 为了分析偏移，对上式求统计平均，得到 2 j j j ( - ) π -π j sin( / 2) 1 sin( / 2) (e ) [ ( )] (e ) (e ) 2π 1 (e )] ˆ [ = = = M M W FT w m E P W P d B B xx B xx (4.2.20) (4.2.21) 周期图的统计平均值已经求出， 如（4.2.11）、 (4.2.12)式所示， 重写如下：
第四章功率谱估计 上式表明,平均周期图仍然是有偏估计,偏移和每一段的 数据个数M有关;由于κM,平均周期图的偏移比周期图的偏移 大,表现在三角谱窗主瓣的宽度比周期图主瓣的宽度宽。由 于三角谱窗主瓣的宽度变宽,分辨率更加降低,因此也可以说, 偏移的大小反映分辨率的低与高。 按照(4.2.19)式求方差,由于是L次独立观测,L个周期 图相互独立,因此平均周期图的方差为 var [P(e)]=varl(oI (42.22) L 即平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L。显然,是以分 辨率的降低换取了估计方差的减少,当然,估计的均方误差也减 少
第四章 功 率 谱 估 计 上式表明,平均周期图仍然是有偏估计， 偏移和每一段的 数据个数M有关；由于M<N,平均周期图的偏移比周期图的偏移 大， 表现在三角谱窗主瓣的宽度比周期图主瓣的宽度宽。由 于三角谱窗主瓣的宽度变宽，分辨率更加降低，因此也可以说， 偏移的大小反映分辨率的低与高。 按照（4.2.19）式求方差，由于是L次独立观测，L个周期 图相互独立，因此平均周期图的方差为 var[ ( )] 1 (e )] ˆ var[ i j xx I L P = （4.2.22） 即平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L。显然，是以分 辨率的降低换取了估计方差的减少，当然, 估计的均方误差也减 少
第四章功率谱估计 N=256,L=2 N=256,L=4 3 O/π /π (b) N=256,L=8 O/π 图423平均周期图法
第四章 功 率 谱 估 计 图 4.2.3 平均周期图法 Pxx(e j ) / 0 3 2 1 0 1 2 3 0 3 2 1 0 1 2 3 0 3 2 1 0 1 2 3 Pxx(e j ) / Pxx(e j ) / (a) (b) (c) N＝ 256，L＝ 2 N＝ 256，L＝ 4 N＝ 256，L＝ 8
第四章功率谱估计 2.窗函数法 这种方法是用一适当的功率谱窗函数W(ejo)与周期图进行 卷积,来达到使周期图平滑的目的的。 T e (Ow(e)d0(4223 2丌 式中 N 0) ,(m)e m=-(N-1) x(m)是有偏自相关函数 v(n)= W(eo)edo-(Ml)≤n≤M1 e(4.2.24)
第四章 功 率 谱 估 计 2. 这种方法是用一适当的功率谱窗函数W(ejω)与周期图进行 卷积，来达到使周期图平滑的目的的。 ( ) (e )d 2π 1 (e ) ˆ ( ) π − − = j N l w Pxx I W （4.2.23） 式中 m xx N m N I N r m -j 1 ( 1) ( ) ˆ ( )e − =− − = r ˆ xx (m) 是有偏自相关函数 (e )e d 2π 1 ( ) j j π π n w n W − = -(M-1)≤n≤M-1 （4.2.24）