第四章功率谱估计 2.周期图法谱估计质量分析 1)周期图的偏移 已知自相关函数的估计值(m),m=-(N-1),N,-N+1,…,0 1,2,…N-1,按照(42.,2)式求功率谱的统计平均值,得到 E[P(e)=∑b[e(m小m (N-1) 有偏自相关函数统计平均值已由第一章(1.3.30)式确定,将该 式代入上式,得到 E[(e)=∑ N r(m)e m=-(N-1) N
第四章 功 率 谱 估 计 2. 周期图法谱估计质量分析 1) 已知自相关函数的估计值 ，m=-(N-1), -N, -N+1, …, 0, 1, 2, …,N-1，按照（4.2.2）式求功率谱的统计平均值， 得到 r ˆ (m) xx n xx N m N E Pxx E r m -j 1 ( 1) j (e )] ˆ ( ) e ˆ [ − =− − = 有偏自相关函数统计平均值已由第一章(1.3.30)式确定，将该 式代入上式,得到 n xx N m N xx r m N N m E P -j 1 ( 1) j ( )e | | (e )] ˆ [ − = − =− −
第四章功率谱估计 E[(e)=∑w(m)(mem(429) 式中 N-ml I mk n B (42.10) 0 ElP(e 其它 (42.9)式中,两序列乘积的傅里叶变换,在频域服从卷积关系, 得到 E[Pe")=We(0)d9(42) 式中 e
第四章 功 率 谱 估 计 =− = m n E Pxx wB m rxx m j -j (e )] ( ) ( )e ˆ [ （4.2.9） 式中 − = 0 其它 | | | | ( ) m N N N m wB m （4.2.10） (4.2.9)式中， 两序列乘积的傅里叶变换， 在频域服从卷积关系， 得到 1 (e )] ˆ [ j = E Pxx − − = E P W Ω j B j xx (e )d 2π 1 (e )] ˆ [ ( ) （4.2.11） 式中 P (e ) FT[r (m)] xx j xx =
第四章功率谱估计 WR(e/)=ftir(ml= 1 sin( No/2) (4.2.12) N、si(O/2) Wg(ej)称为三角谱窗函数。(4.2.11)式表明,周期图的统计 平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数,因此周期图是有偏估 计,但当→∞时,哂(m→1,三角谱窗函数趋近于δ函数,周 期图的统计平均值趋于它的真值,因此周期图属于渐近无偏估 计
第四章 功 率 谱 估 计 2 sin( / 2) 1 sin( / 2) (e ) [ ( )] = = N N W FT wB m j B (4.2.12) WB(ejω)称为三角谱窗函数。（4.2.11）式表明，周期图的统计 平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估 计，但当N→∞时，wB(m)→1，三角谱窗函数趋近于δ函数，周 期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估 计
第四章功率谱估计 2)周期图的方差 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗,为分析简单起见, 通常假设x(m)是实的零均值的正态白噪声信号,方差是a2, 即功率谱是常数ax2,其周期图用n(a)表示,N表示观测数 据的长度。按照周期图的定义,周期图表示为 N-IN () ∑∑x(k)x(n)el N n=0k=0 varII(O]=EIINO-ELN(OI 下面先求周期图的均值,再求其均方值: 1(O)=∑∑Ex(m)x(k)R(m)R(k)el0n k
第四章 功 率 谱 估 计 2) 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗，为分析简单起见， 通常假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是σ x 2 ， 即功率谱是常数σ x 2 ，其周期图用IN(ω)表示，N表示观测数 据的长度。 按照周期图的定义，周期图表示为 var[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )e e 1 | (e )| 1 ( ) 2 2 -j 1 0 1 0 j 2 j N N N n N n N k k N I E I E I x k x n N X N I = − = = − = − = 下面先求周期图的均值，再求其均方值： -j ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )e 1 [ ( )] n-k N k N n N E x n x k R n R k N E I =− =− =
第四章功率谱估计 式中 ELx(n)x(k=r,(n-k=oS(n-k) =k 6(n-k)= 0 n≠k ELOI N ∑R3(n)a2 (42.13) 上式说明周期图是无偏估计,但前面已推导出周期图是有偏估计 (一般情况),这里由于对信号作了实白噪声的假设,才有无偏 估计的结果。在求均方值时,先求两个频率a1和a2处的均方值, 最后令a=a1=C2
第四章 功 率 谱 估 计 式中 = − = = − = − n k n k n k E x n x k r n k n k xx x 0 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 1 [ ( )] x n N RN n x N E I =− = = （4.2.13） 上式说明周期图是无偏估计，但前面已推导出周期图是有偏估计 （一般情况），这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏 估计的结果。在求均方值时，先求两个频率ω1和ω2处的均方值， 最后令ω=ω1 =ω2