第四章功率谱估计 r,(m)w(m) 0≤m≤M-1 Sx(m)={0 M≤m≤L-M-1 x(m-D(m-D)L-M≤m≤D1 (4.2.7 按照(4.2.1)式估计自相关函数,我们已经证明这是渐近一 致估计,但经过傅里叶变换得到功率谱的估计,功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计,可以证明它是非一致估计,是一种 不好的估计方法。下面我们将证明:BT法中用有偏自相关函数 进行估计时,它和用周期图法估计功率谱是等价的,因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的
第四章 功 率 谱 估 计 (4.2.7) − − = ˆ ( ) ( ) 0 ˆ ( ) ( ) ( ) r m L w m L r m w m S m xx xx xx 0≤m≤M-1 M≤m≤L-M-1 L-M≤m≤L-1 按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一 致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种 不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数 进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的
第四章功率谱估计 4.2.2周期图法 将功率谱的另一定义(4.1.6)式重写如下 P ( e)=lim El x(n)e Jon N→>2N+1 n=-N 如果忽略上式中求统计平均的运算,观测数据为x(n)0≤m<N-l, 便得到周期图法的定义 e Jo x(n)e ]on n=0 (4.28)
第四章 功 率 谱 估 计 4.2.2 周期图法 将功率谱的另一定义（4.1.6）式重写如下: + = =− → 2 j j ( )e 2 1 1 (e ) lim N n N n N xx x n N P E 如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为:x(n) 0≤n≤N-1， 便得到周期图法的定义: 2 1 0 j -j ( )e 1 (e ) ˆ − = = N n n xx x n N P (4.2.8)
第四章功率谱估计 观测数据(n) FFT 取模 的平方 e 图421用周期图法计算功率谱框图
第四章 功 率 谱 估 计 图 4.2.1 用周期图法计算功率谱框图 观测数据x(n) FFT 取 模 的平方 1 /N Pxx( ej ) ^
第四章功率谱估计 1.周期图与B法的等价关系 周期图法的功率谱估计公式用(4.2.8)式表示,下面由 该公式出发推导它们的等价关系 (e")=2x(n Jon x(ne Jon ∑∑x(k)x'(n)e jo(k-n) N ∑x(k)em∑ =0 N 令m=k-n,即k=m+n,则 e J0) N ∑ * x (nx(m+nle jo(k-n) 0
第四章 功 率 谱 估 计 1. 周期图与BT法的等价关系 周期图法的功率谱估计公式用（4.2.8）式表示，下面由 该公式出发推导它们的等价关系。 − = − = − − − = − = − − = − = = = 1 0 1 0 * ( ) 1 0 * 1 0 2 1 0 ( ) ( )e 1 ( )e ( )e 1 ( )e 1 (e ) ˆ N k N n j k n N n j n N k j n N n j j n xx x k x n N x k x n N x n N P 令 m=k-n, 即k=m+n，则 ( ) 1 0 j * ( ) ( ) e 1 (e ) ˆ j k n N m n xx x n x m n N P − − − − = = +
第四章功率谱估计 上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式,因此得到 e)=∑(ml∞m N ∑x(m)x(m+ n=0 f(e°)=fBr(e/ 因此证明了利用有偏自相关函数的BT法和周期图法的等价关系
第四章 功 率 谱 估 计 上式中的方括号部分正是有偏自相关函数的计算公式, 因此得到 j m xx N m N Pxx r m − − =− − (e ) = ˆ ( )e ˆ 1 ( 1) j ( ) ( ) 1 ˆ ( ) * 1 | | 0 x n x m n N r m N m n xx = + − − = (e ) ˆ (e ) ˆ BT j j Pxx = P 因此证明了利用有偏自相关函数的BT法和周期图法的等价关系