第四章功率谱估计 现代谱估计以信号模型为基础,图4.1.1表示的是x(m的 信号模型,输入白噪声κη)均值为0,方差为σ2y,x(n)的功率 谱由下式计算: P(el0)=a2|H(e°)2 (4.1.7) 如果由观测数据能够估计出信号模型的参数,信号的功率谱可 以按照(4.1.7)式计算出来,这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类,例如 AR模型、MA模型等等,针对不同的情况,合适地选择模型, 功率谱估计质量比较经典谱估计的估计质量有很大的提高。遗 憾的是,尚无仼何理论能指导我们选择一个合适的模型,我们 只能根据功率谱的一些先验知识,或者说一些重要的谱特性, 选择模型
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ2 w，x(n)的功率 谱由下式计算： j 2 j 2 (e ) | (e )| Pxx = w H （4.1.7） 如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA 模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型， 功率谱估计质量比较经典谱估计的估计质量有很大的提高。遗 憾的是，尚无任何理论能指导我们选择一个合适的模型，我们 只能根据功率谱的一些先验知识，或者说一些重要的谱特性， 选择模型
第四章功率谱估计 (n) x(n H(=) 图41.1平稳随机序列的信号模型
第四章 功 率 谱 估 计 H(z) w(n) x(n) 图4.1.1 平稳随机序列的信号模型
第四章功率谱估计 42经典谱估计 42.1BT法 BT法是先估计自相关函数,然后按照(41.1)式进行傅里叶变 换得到功率谱。设对随机信号x(m),只观测到一段样本数据, n=0,1,2,…,N-1。关于如何根据这一段样本数据估计自相关函 数,第一章已经作了详细介绍,结果是共有两种估计方法,即有 偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估 计的误差相对较小,这种估计是一种渐近一致估计,将该估计 公式重写如下: N-|m-1 (m)=7∑x(m)x(n+m)(421)
第四章 功 率 谱 估 计 4.2 经 典 谱 估 计 4.2.1 BT法 BT法是先估计自相关函数, 然后按照(4.1.1)式进行傅里叶变 换得到功率谱。设对随机信号x(n)，只观测到一段样本数据， n=0, 1, 2, …, N-1。 关于如何根据这一段样本数据估计自相关函 数, 第一章已经作了详细介绍，结果是共有两种估计方法， 即有 偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估 计的误差相对较小，这种估计是一种渐近一致估计， 将该估计 公式重写如下： − − = = + | | 1 0 * ( ) ( ) 1 ˆ ( ) N m n xx x n x n m N r m （4.2.1）
第四章功率谱估计 对上式进行傅里叶变换,得到BT法的功率估计值为 BT (e0)=∑n(m) (4.2.2) h=-0 为了减少谱估计的方差,经常用窗函数w(m)对自相关函数 进行加权,此时谱估计公式为 p(e)=∑1(mle0(423) m=-(M-1) 式中 W(m)v(m)(M1)≤m≤(M) 0 其它 ,M≤N (42.4)
第四章 功 率 谱 估 计 对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率估计值为 =− = m jωω xx j P r m - BT (e ) ˆ ( )e ˆ (4.2.2) 为了减少谱估计的方差，经常用窗函数w(m)对自相关函数 进行加权， 此时谱估计公式为 jωω xx m M j P r m - ( 1) BT (e ) ˆ ( )e ˆ =− − = （4.2.3） 式中 = 0 ( ) ( ) w m w m -(M-1)≤m≤(M-1) 其它 , M≤N （4.2.4）
第四章功率谱估计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的,这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则,即它的傅里叶变换必须是非负的,例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FT计算(4.2.3)式,设FFT的变换域为(0L-1), 必须将求和域(-M1,M-1)移到(0L-1),功率谱的计算公式 如下 BT(e ∑ S,(m)e m=0 Pn(k)=FFS(m)]k=0,1,2,…,L1
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)， 必须将求和域(-M+1, M-1)移到（0~L-1），功率谱的计算公式 如下： ( ) ( ) ˆ (e ) ( )e ˆ BT 1 0 jω -j BT P k FFT S m P S m xx L m ωm xx = = − = k=0, 1, 2, …, L-1