中国科学技术大学1极限17数学分析(B1)习题课讲义=0,1m(2)定义Riemann函数R(r)=(m,n)=1, 证明: Vao ER, lim R(r)=0t福n'nT0,TERIQ.7Cesaro求和极限设(an为实数数列，我们定义算术平均值数列ai +a2 +...+an(nEN*).On=n我们已证明命题：设liman=a，则有limon=a，并举了逆命题不成立的反例.现在我-2们考虑如下问题：(1)是否存在数列[an)使得对VnEN*,均有 an>0且lim supan=8o但 lim On=0?22-11 nkbk(2)对kEN*，记bk=ak+1-ak.证明：对Vn≥2,均有an-On=nk=1(3）设limnbn=0,并且on)收敛.证明：[anl亦收敛；(4)设数列(nbn）有界，并且limn=.证明：liman=0.8连分数我们进行如下过程：对正数a，选取小于a的最大自然数 ko，令a=ko+ro,其中0≤ro<1.若ro=0,则该过程终止；若ro>0,则选取小于a的最大自然数ki，令=k1+r1,其中0≤r1<1.若ri=0,则该过程终止；若r1>0,则选取小于α的最大自然ro数kz,令1=k2+r2，其中0≤r2<1.以此类推下去，我们得到连分数的定义，其展开式记ri作：1a=ko+ ki+ k+kt例如，元的连分数展开式是：1元=3.14159265..=3+7+115+1+37的连分数展开式，并证明：正数α是有理数的充要条件是存在(1）直接写出3.245和97自然数m，使得rm=0.此时1a=ko+ki+ kat+被称为有限连分数1po, ko +Pn, (Pn, n) = 1.(2）若正数α是无理数.记ko=ki + k2+qoqn(a)若对任意自然数n，均有kn=1,直接写出a的值（化简后的分式)；(b)直接写出V2的连分数展开式(c)证明：对任意正整数n，均有qn≥n-1;(d) 证明: 对任意自然数 n, 均有 P2n <P2n+2 <α<P2n+3<1P2n+1q2nq2n+2q2n+3q2n+1(e) 证明: lim = 0.n-→00qn
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 17 (2) 定义 Riemann 函数 R(x) = 1, x = 0, 1 n , x = m n , (m, n) = 1, 0, x ∈ R \ Q. 证明: ∀x0 ∈ R, limx→x0 R(x) = 0. 7 Cesàro 求和极限 设 {an} 为实数数列, 我们定义算术平均值数列 σn = a1 + a2 + · · · + an n (n ∈ N ∗ ). 我们已证明命题: 设 limn→∞ an = a, 则有 limn→∞ σn = a, 并举了逆命题不成立的反例. 现在我 们考虑如下问题: (1) 是否存在数列 {an} 使得对 ∀n ∈ N ∗ , 均有 an > 0 且 lim sup n→∞ an = ∞ 但 limn→∞ σn = 0? (2) 对 k ∈ N ∗ , 记 bk = ak+1 − ak. 证明: 对 ∀n ⩾ 2, 均有 an − σn = 1 n Xn−1 k=1 kbk; (3) 设 limn→∞ nbn = 0, 并且 {σn} 收敛. 证明: {an} 亦收敛; (4) 设数列 {nbn} 有界, 并且 limn→∞ σn = σ. 证明: limn→∞ an = σ. 8 连分数 我们进行如下过程: 对正数 a, 选取小于 a 的最大自然数 k0, 令 a = k0 + r0, 其中 0 ⩽ r0 < 1. 若 r0 = 0, 则该过程终止; 若 r0 > 0, 则选取小于 a 的最大自然数 k1, 令 1 r0 = k1 + r1, 其中 0 ⩽ r1 < 1. 若 r1 = 0, 则该过程终止; 若 r1 > 0, 则选取小于 a 的最大自然 数 k2, 令 1 r1 = k2 + r2, 其中 0 ⩽ r2 < 1. 以此类推下去, 我们得到连分数的定义, 其展开式记 作: a = k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 k3+ 1 . . . . 例如, π 的连分数展开式是: π = 3.14159265 · · · = 3 + 1 7 + 1 15+ 1 1+ 1 . . . . (1) 直接写出 3.245 和 37 97 的连分数展开式, 并证明: 正数 a 是有理数的充要条件是存在 自然数 m, 使得 rm = 0. 此时 a = k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 . . .+ 1 km 被称为有限连分数. (2) 若正数 a 是无理数. 记 k0 = p0 q0 , k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 . . .+ 1 kn = pn qn , (pn, qn) = 1. (a) 若对任意自然数 n, 均有 kn = 1, 直接写出 a 的值 (化简后的分式) ; (b) 直接写出 √ 2 的连分数展开式; (c) 证明: 对任意正整数 n, 均有 qn ⩾ n − 1; (d) 证明: 对任意自然数 n, 均有 p2n q2n < p2n+2 q2n+2 < a < p2n+3 q2n+3 < p2n+1 q2n+1 ; (e) 证明: limn→∞ pn qn = a
中国科学技术大学数学分析(B1）习题课讲义1极限18(3）设n是无平方因子的正整数，证明：Vn的连分数展开式中数列（kn）从某项开始是周期数列
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 18 (3) 设 n 是无平方因子的正整数, 证明: √ n 的连分数展开式中数列 {kn} 从某项开始是周 期数列
中国科学技术大学数学分析(B1)习题课讲义2函数的连续性19第2章函数的连续性2.1命题判断及推理判断下列命题或推断是否成立，并说明理由2.1.1A组f(a)在(a,b)内每一个闭子区间上连续一f(a)在（a,b)上一致连续12若f(a)在(a,b)上连续,则f(a)在(a,b)上一致连续一lim f(a),lim f(r)存在.3f(r)在(a,b)上一致连续f(r)在(a,b)上有界4(1)设在ro处f(r)连续，而g(r)不连续，判断函数f(r)土g(r)，f(r)g(r)在点o处的连续性；(2)设在co处f(),g(a)都不连续，判断函数f(α)土g(),f(a)g(r)在点o处的连续性f(α）在区间I上连续一If(r)I在区间I上连续56f(r),g(r)在区间1上连续一M(r)=max(f(r),g(r)),m(r)=min(f(r),g(r))在区间I上连续7存在函数f()，满足f(）处处不连续但lf()处处连续8若f(r),g(r)在R上连续，则f(α)=g(a)对Va Q成立一f(a)=g(r)对VaER成立9开区间I上的单调函数无第二类间断点.2.1.2B组1存在R上的处处不连续但值域是区间的函数f()2f(r),g(r)具有介值性一f(r)+g(r)具有介值性3存在R上的连续函数f(r),满足f:Q→R\Q，R\Q→Q4存在处处不单调的连续函数f(r).2.1.3参考答案－A组1.反例： f(r)=tana,e(01.lim f(ar),=a,2→.用Cauchy准则形式证明；一。构造F(r)=f(a),E(a,b),证明(lim f(a), = b.F(α)在[a,可]上连续，从而F(r)在[a,可]上一致连续
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 19 第 2 章 函数的连续性 2.1 命题判断及推理 判断下列命题或推断是否成立, 并说明理由. 2.1.1 A 组 1 f(x) 在 (a, b) 内每一个闭子区间上连续 ⇐⇒ f(x) 在 (a, b) 上一致连续. 2 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存 在. 3 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ f(x) 在 (a, b) 上有界. 4 (1) 设在 x0 处 f(x) 连续, 而 g(x) 不连续, 判断函数 f(x) ± g(x), f(x)g(x) 在点 x0 处的 连续性; (2) 设在 x0 处 f(x), g(x) 都不连续, 判断函数 f(x) ± g(x), f(x)g(x) 在点 x0 处的连续性. 5 f(x) 在区间 I 上连续 ⇐⇒ |f(x)| 在区间 I 上连续. 6 f(x), g(x) 在区间 I 上连续 =⇒ M(x) = max {f(x), g(x)} , m(x) = min {f(x), g(x)} 在区间 I 上连续. 7 存在函数 f(x), 满足 f(x) 处处不连续但 |f(x)| 处处连续. 8 若 f(x), g(x) 在 R 上连续, 则 f(x) = g(x) 对 ∀x ∈ Q 成立 =⇒ f(x) = g(x) 对 ∀x ∈ R 成立. 9 开区间 I 上的单调函数无第二类间断点. 2.1.2 B 组 1 存在 R 上的处处不连续但值域是区间的函数 f(x). 2 f(x), g(x) 具有介值性 =⇒ f(x) + g(x) 具有介值性. 3 存在 R 上的连续函数 f(x), 满足 f : Q → R \ Q, R \ Q → Q. 4 存在处处不单调的连续函数 f(x). 2.1.3 参考答案 - A 组 1 ≠⇒ . 反例: f(x) = tan x, x ∈ − π 2 , π 2 ; ⇐= . 2 =⇒ . 用 Cauchy 准则形式证明; ⇐= . 构造 F(x) = lim x→a+ f(x), x = a, f(x), x ∈ (a, b), lim x→b− f(x), x = b. 证明 F(x) 在 [a, b] 上连续, 从而 F(x) 在 [a, b] 上一致连续
中国科学技术大学数学分析（B1）习题课讲义函数的连续性22013一.见2；午f(）=,rE (0,1)sin4(1)函数f(c)土g(）在点ro处不连续（反证法)，函数f(r)g(r)在点o处连续性无法判断（考虑函数f(α）在o处是否为0);(2)均无法判断.TEQ,定义Dirichlet函数D(r)证明：对VaoER，limD(r）不存在；0,aQ1.TEQ,5一.注意到lf()-f(co)≤[f()-f(αo)l;午：反例:f(r)1,RQ6一:注意到 M(r)+m(r)= f(r)+g(r),M(r)-m(a)=If(a)-g(r)/都在 I 上连续即可.[1,TEQ,7正确.f(r)-1,TERIQ8一.利用有理数的稠密性，对无理点通过有理数列逼近即可9正确.对VrEI，考虑定义域中的点列(anl,满足an+ao.由单调有界原理知limf（co)存在.同理可知，limf(ro）存在1→0r-→302.1.4参考答案-B组01.EQ,T1正确.例如：g(r)f(r) =±0,g(r)2TERIQ.c.1(g(0),T2[sin!1+0,sin#+ 0,ac2专.反例：f(r)：g(r)[1,10,= 0.=0.0.+0则 (f +g)(r)=(1, =0.3错误.反证：假设存在，令g(c)=f(r)-a,则g(R)CR/Q.而g(a)在R上连续由连续函数的介值性知g(a)=C,cER|Q.而f(c)=2cER|Q,这与:R|Q→Q矛盾 fo(4k-1r)2.其中 f(a)是周期为1且当≤2正确。例如：f(a)=4 时，满足4k-1fo(c)=的周期函数2.2专题选讲
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 20 3 =⇒ . 见 2 ; ̸⇐= .f(x) = sin 1 x , x ∈ (0, 1). 4 (1) 函数 f(x) ± g(x) 在点 x0 处不连续 (反证法), 函数 f(x)g(x) 在点 x0 处连续性无法判 断 (考虑函数 f(x) 在 x0 处是否为 0); (2) 均无法判断. 定义 Dirichlet 函数 D(x) = 1, x ∈ Q, 0, x ̸∈ Q. 证明: 对 ∀x0 ∈ R, limx→x0 D(x) 不存在; 5 =⇒ . 注意到 ||f(x)| − |f(x0)|| ⩽ |f(x)−f(x0)|; ̸⇐= . 反例: f(x) = 1, x ∈ Q, −1, x ∈/ R \ Q. 6 =⇒ . 注意到 M(x) + m(x) = f(x) + g(x), M(x) − m(x) = |f(x) − g(x)| 都在 I 上 连续即可. 7 正确. f(x) = 1, x ∈ Q, −1, x ∈/ R \ Q. 8 =⇒ . 利用有理数的稠密性, 对无理点通过有理数列逼近即可. 9 正确. 对 ∀x ∈ I, 考虑定义域中的点列 {an}, 满足 an ↓ x0. 由单调有界原理知 lim x→x + 0 f (x0) 存在. 同理可知, lim x→x − 0 f(x0) 存在. 2.1.4 参考答案 - B 组 1 正确. 例如: g(x) = 1 − x, x ∈ Q, x. x ∈ R \ Q. f(x) = g 1 2 , x = 0, g(x), x ̸= 0, 1 2 , g(0), x = 1 2 . 2 ≠⇒ . 反例: f(x) = sin 1 x , x ̸= 0, 1, x = 0. g(x) = − sin 1 x , x ̸= 0, 0, x = 0. 则 (f + g)(x) = 0, x ̸= 0, 1, x = 0. 3 错误. 反证: 假设存在, 令 g(x) = f(x) − x, 则 g (R) ⊆ R \ Q. 而 g(x) 在 R 上连续, 由连续函数的介值性知 g(x) ≡ c, c ∈ R \ Q. 而 f(c) = 2c ∈ R \ Q, 这与 f : R \ Q → Q 矛盾. 4 正确. 例如: f(x) = X +∞ k=1 f0(4k−1x) 4 k−1 . 其中 f0(x) 是周期为 1 且当 |x| ⩽ 1 2 时, 满足 f0(x) = |x| 的周期函数. 2.2 专题选讲
中国科学技术大学2函数的连续性21数学分析（B1）习题课讲义2.2.1连续与一致连续定义2.1（(逐点）连续）“f在o处（逐点）连续6”Ve>03>0，当-ol<时,有 If(α)一f(ro)/<.定义2.2（一致连续）“f在区间I上一致连续”Ve>0,3S>0,对V,CoEI,当[-rol <8 时,有 If()-f(ro)/<.注意给定ε>0,对不同的o,S(e,o)可能不同1一致连续等价刻画(1)Cauchy判别准则形式：Ve>0,s>0,对Vai,2EI，当[ri-2<时，有If(1) -f(2)/<;(2)极限表达形式：limsupIf(r1)-f(r2)/=0.6-0+ 32连续与一致连续的区别(1）“出牌”顺序不同：从定义看，逻辑顺序上连续是先o后，一致连续是先后Co(2)研究对象不同：连续的研究对象是Co一个点，表示局部性质；一致连续的研究对象是整个区间I，表示整体性质(3)的依赖性不同：连续中的8由8(e,ao）体现，8依赖于ε,o两个变量；一致连续中的s由inf8(e)体现，8仅依赖于一个变量3Cantor定理有界闭区间上的连续函数一定一致连续4一致连续的补充命题以下命题请读者自证，部分命题亦留作补充习题常用判别法若于在区间丨上可导，则}有界微分中值定理于在1上一致连续Lipschit命题2.1若f(r)在(a,b)上连续，则f(a)在(a,b)上一致连续limf(r),limf(r)存在命题2.2若f(a）在I上一致连续，则对Vrn)，{yn)CI，lim(rn-yn=0一lim (f(cn)-f(yn))= 0注意逆命题不成立.例如：f(r)=V,a≥0.命题2.3若f在[a,+o）上连续，且limf(a)存在且有限，则f在[a,+oo）上有界且一致收敛命题2.4f在a,b],[b,c)上一致连续一于在（a,c)上一致连续.命题2.5f,g在[a,+）上有界且一致连续一fg在[a,+oo）上一致连续注意有界不能省略，反例：f(r）=g(）=a,cER+.若把无穷区间换成有穷区间，则有界可省略，因为有穷区间的一致连续性包含有界，命题2.6（一致连续的相容性）设z=g(y）在区间J上一致连续，设y=f(c）在区间I上一致连续且f(I)CJ.则z=g(f(ar))在区间上一致连续.若f(a)在(a,b)上连续，则f(a)在(a,b)上一致连续limf(r),limf(r)存在.命题2.7在R上连续且f是周期函数一f在R上一致连续6连续最原始的定义针对的是一点而不是区间。事实上，我们当然有于在区间I上连续的说法，但其实质上表示的是f在I上每个点处处连续7实际上，一致连续的研究对象是点集即可，只不过我们一般都在区间上讨论一致连续性
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 21 2.2.1 连续与一致连续 定义 2.1 ((逐点) 连续) “f 在 x0 处 (逐点) 连续6 ” ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 |x−x0| < δ 时, 有 |f(x) − f(x0)| < ε. 定义 2.2 (一致连续) “f 在区间 I 上一致连续” ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 对 ∀x, x0 ∈ I, 当 |x − x0| < δ 时, 有 |f(x) − f(x0)| < ε. 注意 给定 ε > 0, 对不同的 x0, δ(ε, x0) 可能不同. 1 一致连续等价刻画 (1) Cauchy 判别准则形式: ∀ε > 0, ∃δ > 0, 对 ∀x1, x2 ∈ I, 当 |x1 − x2| < δ 时, 有 |f(x1) − f(x2)| < ε; (2) 极限表达形式: lim δ→0+ sup ∀x1,x2∈I |x1−x2|<δ |f(x1) − f(x2)| = 0. 2 连续与一致连续的区别 (1) “出牌” 顺序不同: 从定义看, 逻辑顺序上连续是先 x0 后 δ, 一致连续是先 δ 后 x0. (2) 研究对象不同: 连续的研究对象是 x0 一个点, 表示局部性质; 一致连续的研究对象是 整个区间7 I, 表示整体性质. (3) δ 的依赖性不同: 连续中的 δ 由 δ(ε, x0) 体现, δ 依赖于 ε, x0 两个变量; 一致连续中的 δ 由 inf x0∈I δ(ε) 体现, δ 仅依赖于 ε 一个变量. 3 Cantor 定理 有界闭区间上的连续函数一定一致连续. 4 一致连续的补充命题 以下命题请读者自证, 部分命题亦留作补充习题. 常用判别法 若 f 在区间 I 上可导, 则 f ′ 有界 微分中值定理 −−−−−−−→ Lipschitz f 在 I 上一致连续. 命题 2.1 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在. 命题 2.2 若 f(x) 在 I 上一致连续, 则对 ∀ {xn} , {yn} ⊂ I, limn→∞ (xn − yn) = 0 =⇒ limn→∞ (f(xn) − f(yn)) = 0. 注意 逆命题不成立. 例如: f(x) = √ x, x ⩾ 0. 命题 2.3 若 f 在 [a, +∞) 上连续, 且 lim x→+∞ f(x) 存在且有限, 则 f 在 [a, +∞) 上有界且 一致收敛. 命题 2.4 f 在 (a, b], [b, c) 上一致连续 =⇒ f 在 (a, c) 上一致连续. 命题 2.5 f, g 在 [a, +∞) 上有界且一致连续 =⇒ fg 在 [a, +∞) 上一致连续. 注意 有界不能省略, 反例: f(x) = g(x) = x, x ∈ R +. 若把无穷区间换成有穷区间, 则有 界可省略, 因为有穷区间的一致连续性包含有界. 命题 2.6 (一致连续的相容性) 设 z = g(y) 在区间 J 上一致连续, 设 y = f(x) 在区间 I 上一致连续且 f(I) ⊂ J. 则 z = g (f(x)) 在区间 I 上一致连续. 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在. 命题 2.7 f 在 R 上连续且 f 是周期函数 =⇒ f 在 R 上一致连续. 6连续最原始的定义针对的是一点而不是区间. 事实上, 我们当然有 f 在区间 I 上连续的说法, 但其实质上表 示的是 f 在 I 上每个点处处连续 7实际上, 一致连续的研究对象是点集即可, 只不过我们一般都在区间上讨论一致连续性